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Popular Trigonometría >

3cos(x)+2sin(x)=sqrt(3)

Solución

3 cos (x) + 2 sin (x) = 3

Solución

x = - 0.48170 \dots + 2 πn, x = π - 1.48388 \dots + 2 πn

Grados

x = - 27.59941 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 94.97955 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

3 cos (x) + 2 sin (x) = 3

Restar

2 sin (x)

de ambos lados

3 cos (x) = 3 - 2 sin (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(3 cos (x))^{2} = (3 - 2 sin (x))^{2}

Restar

(3 - 2 sin (x))^{2}

de ambos lados

9 cos^{2} (x) - 3 + 43 sin (x) - 4 sin^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 3 - 4 sin^{2} (x) + 9 cos^{2} (x) + 4 sin (x) 3

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 3 - 4 sin^{2} (x) + 9 (1 - sin^{2} (x)) + 4 sin (x) 3

Simplificar

- 3 - 4 sin^{2} (x) + 9 (1 - sin^{2} (x)) + 4 sin (x) 3 : 43 sin (x) - 13 sin^{2} (x) + 6

- 3 - 4 sin^{2} (x) + 9 (1 - sin^{2} (x)) + 4 sin (x) 3

= - 3 - 4 sin^{2} (x) + 9 (1 - sin^{2} (x)) + 43 sin (x)

Expandir

9 (1 - sin^{2} (x)) : 9 - 9 sin^{2} (x)

9 (1 - sin^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 9 \cdot 1 - 9 sin^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 sin^{2} (x)

= - 3 - 4 sin^{2} (x) + 9 - 9 sin^{2} (x) + 4 sin (x) 3

Simplificar

- 3 - 4 sin^{2} (x) + 9 - 9 sin^{2} (x) + 4 sin (x) 3 : 43 sin (x) - 13 sin^{2} (x) + 6

- 3 - 4 sin^{2} (x) + 9 - 9 sin^{2} (x) + 4 sin (x) 3

Agrupar términos semejantes

= - 4 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x) + 43 sin (x) - 3 + 9

Sumar elementos similares:

- 4 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x) = - 13 sin^{2} (x)

= - 13 sin^{2} (x) + 43 sin (x) - 3 + 9

Sumar/restar lo siguiente:

- 3 + 9 = 6

= 43 sin (x) - 13 sin^{2} (x) + 6

= 43 sin (x) - 13 sin^{2} (x) + 6

= 43 sin (x) - 13 sin^{2} (x) + 6

6 - 13 sin^{2} (x) + 4 sin (x) 3 = 0

Usando el método de sustitución

6 - 13 sin^{2} (x) + 4 sin (x) 3 = 0

Sea:

sin (x) = u

6 - 13 u^{2} + 4 u 3 = 0

6 - 13 u^{2} + 4 u 3 = 0 : u = - \frac{- 2 3 + 3 10}{13}, u = \frac{2 3 + 3 10}{13}

6 - 13 u^{2} + 4 u 3 = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 13 u^{2} + 43 u + 6 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 13 u^{2} + 43 u + 6 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 13, b = 43, c = 6

u_{1, 2} = \frac{- 4 3 \pm ( 4 3 ) ^{2} - 4 ( - 13 ) \cdot 6}{2 ( - 13 )}

u_{1, 2} = \frac{- 4 3 \pm ( 4 3 ) ^{2} - 4 ( - 13 ) \cdot 6}{2 ( - 13 )}

(43)^{2} - 4 (- 13) \cdot 6 = 610

(43)^{2} - 4 (- 13) \cdot 6

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (43)^{2} + 4 \cdot 13 \cdot 6

(43)^{2} = 4^{2} \cdot 3

(43)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 4^{2} (3)^{2}

(3)^{2} : 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 3

= 4^{2} \cdot 3

4 \cdot 13 \cdot 6 = 312

4 \cdot 13 \cdot 6

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 13 \cdot 6 = 312

= 312

= 4^{2} \cdot 3 + 312

4^{2} \cdot 3 = 48

4^{2} \cdot 3

4^{2} = 16

= 16 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

16 \cdot 3 = 48

= 48

= 48 + 312

Sumar:

48 + 312 = 360

= 360

Descomposición en factores primos de

360 : 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5

360

360

divida por

2360 = 180 \cdot 2

= 2 \cdot 180

180

divida por

2180 = 90 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 90

90

divida por

290 = 45 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 45

45

divida por

345 = 15 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 15

15

divida por

315 = 5 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

= 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5

= 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 2 \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2^{2} 3^{2} 2 \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2 3^{2} 2 \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

3^{2} = 3

= 2 \cdot 3 2 \cdot 5

Simplificar

= 610

u_{1, 2} = \frac{- 4 3 \pm 6 10}{2 ( - 13 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 4 3 + 6 10}{2 ( - 13 )}, u_{2} = \frac{- 4 3 - 6 10}{2 ( - 13 )}

u = \frac{- 4 3 + 6 10}{2 ( - 13 )} : - \frac{- 2 3 + 3 10}{13}

\frac{- 4 3 + 6 10}{2 ( - 13 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 4 3 + 6 10}{- 2 \cdot 13}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 13 = 26

= \frac{- 4 3 + 6 10}{- 26}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 4 3 + 6 10}{26}

Cancelar

\frac{- 4 3 + 6 10}{26} : \frac{3 10 - 2 3}{13}

\frac{- 4 3 + 6 10}{26}

Factorizar

- 43 + 610 : 2 (- 23 + 310)

- 43 + 610

Reescribir como

= - 2 \cdot 23 + 2 \cdot 310

Factorizar el termino común

2

= 2 (- 23 + 310)

= \frac{2 ( - 2 3 + 3 10 )}{26}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{- 2 3 + 3 10}{13}

= - \frac{3 10 - 2 3}{13}

= - \frac{- 2 3 + 3 10}{13}

u = \frac{- 4 3 - 6 10}{2 ( - 13 )} : \frac{2 3 + 3 10}{13}

\frac{- 4 3 - 6 10}{2 ( - 13 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 4 3 - 6 10}{- 2 \cdot 13}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 13 = 26

= \frac{- 4 3 - 6 10}{- 26}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 43 - 610 = - (43 + 610)

= \frac{4 3 + 6 10}{26}

Factorizar

43 + 610 : 2 (23 + 310)

43 + 610

Reescribir como

= 2 \cdot 23 + 2 \cdot 310

Factorizar el termino común

2

= 2 (23 + 310)

= \frac{2 ( 2 3 + 3 10 )}{26}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{2 3 + 3 10}{13}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{- 2 3 + 3 10}{13}, u = \frac{2 3 + 3 10}{13}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = - \frac{- 2 3 + 3 10}{13}, sin (x) = \frac{2 3 + 3 10}{13}

sin (x) = - \frac{- 2 3 + 3 10}{13}, sin (x) = \frac{2 3 + 3 10}{13}

sin (x) = - \frac{- 2 3 + 3 10}{13} : x = arcsin (- \frac{- 2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{- 2 3 + 3 10}{13}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = - \frac{- 2 3 + 3 10}{13}

Soluciones generales para

sin (x) = - \frac{- 2 3 + 3 10}{13}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{- 2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{- 2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn

sin (x) = \frac{2 3 + 3 10}{13} : x = arcsin (\frac{2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn

sin (x) = \frac{2 3 + 3 10}{13}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{2 3 + 3 10}{13}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{2 3 + 3 10}{13}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arcsin (- \frac{- 2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

3 cos (x) + 2 sin (x) = 3

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arcsin (- \frac{- 2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn :

Verdadero

arcsin (- \frac{- 2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arcsin (- \frac{- 2 3 + 3 10}{13}) + 2 π 1

Multiplicar

3 cos (x) + 2 sin (x) = 3

por

x = arcsin (- \frac{- 2 3 + 3 10}{13}) + 2 π 1

3 cos (arcsin (- \frac{- 2 3 + 3 10}{13}) + 2 π 1) + 2 sin (arcsin (- \frac{- 2 3 + 3 10}{13}) + 2 π 1) = 3

Simplificar

1.73205 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

π + arcsin (\frac{- 2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn :

Falso

π + arcsin (\frac{- 2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

π + arcsin (\frac{- 2 3 + 3 10}{13}) + 2 π 1

Multiplicar

3 cos (x) + 2 sin (x) = 3

por

x = π + arcsin (\frac{- 2 3 + 3 10}{13}) + 2 π 1

3 cos (π + arcsin (\frac{- 2 3 + 3 10}{13}) + 2 π 1) + 2 sin (π + arcsin (\frac{- 2 3 + 3 10}{13}) + 2 π 1) = 3

Simplificar

- 3.58519 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

arcsin (\frac{2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn :

Falso

arcsin (\frac{2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arcsin (\frac{2 3 + 3 10}{13}) + 2 π 1

Multiplicar

3 cos (x) + 2 sin (x) = 3

por

x = arcsin (\frac{2 3 + 3 10}{13}) + 2 π 1

3 cos (arcsin (\frac{2 3 + 3 10}{13}) + 2 π 1) + 2 sin (arcsin (\frac{2 3 + 3 10}{13}) + 2 π 1) = 3

Simplificar

2.25285 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

π - arcsin (\frac{2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn :

Verdadero

π - arcsin (\frac{2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

π - arcsin (\frac{2 3 + 3 10}{13}) + 2 π 1

Multiplicar

3 cos (x) + 2 sin (x) = 3

por

x = π - arcsin (\frac{2 3 + 3 10}{13}) + 2 π 1

3 cos (π - arcsin (\frac{2 3 + 3 10}{13}) + 2 π 1) + 2 sin (π - arcsin (\frac{2 3 + 3 10}{13}) + 2 π 1) = 3

Simplificar

1.73205 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow Verdadero

x = arcsin (- \frac{- 2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 3 + 3 10}{13}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = - 0.48170 \dots + 2 πn, x = π - 1.48388 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

sin(x)-1=sqrt(3)cos(x)

cos(3x)=-cos(x)

sqrt(3)sin(x)-((sqrt(3)sin(x))-1)=1n

3=3-3cos(θ)

cos(x)=-cos(pi/7)