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Beliebt Trigonometrie >

8sin(θ)cos(θ)tan(θ)=csc(θ)

Lösung

8 sin (θ) cos (θ) tan (θ) = csc (θ)

Lösung

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Grad

θ = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

8 sin (θ) cos (θ) tan (θ) = csc (θ)

Subtrahiere

csc (θ)

von beiden Seiten

8 sin (θ) cos (θ) tan (θ) - csc (θ) = 0

Drücke mit sin, cos aus

- csc (θ) + 8 cos (θ) sin (θ) tan (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - \frac{1}{sin ( θ )} + 8 cos (θ) sin (θ) tan (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{1}{sin ( θ )} + 8 cos (θ) sin (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Vereinfache

- \frac{1}{sin ( θ )} + 8 cos (θ) sin (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{- 1 + 8 sin ^{3} ( θ )}{sin ( θ )}

- \frac{1}{sin ( θ )} + 8 cos (θ) sin (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

8 cos (θ) sin (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = 8 sin^{2} (θ)

8 cos (θ) sin (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( θ ) \cdot 8 cos ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (θ)

= sin (θ) \cdot 8 sin (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= 8 sin^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 8 sin^{2} (θ)

= - \frac{1}{sin ( θ )} + 8 sin^{2} (θ)

Wandle das Element in einen Bruch um:

8 sin^{2} (θ) = \frac{8 sin ^{2} ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

= - \frac{1}{sin ( θ )} + \frac{8 sin ^{2} ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 + 8 sin ^{2} ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

- 1 + 8 sin^{2} (θ) sin (θ) = - 1 + 8 sin^{3} (θ)

- 1 + 8 sin^{2} (θ) sin (θ)

8 sin^{2} (θ) sin (θ) = 8 sin^{3} (θ)

8 sin^{2} (θ) sin (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (θ) sin (θ) = sin^{2 + 1} (θ)

= 8 sin^{2 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 8 sin^{3} (θ)

= - 1 + 8 sin^{3} (θ)

= \frac{- 1 + 8 sin ^{3} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{- 1 + 8 sin ^{3} ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{- 1 + 8 sin ^{3} ( θ )}{sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 1 + 8 sin^{3} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 1 + 8 sin^{3} (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

- 1 + 8 u^{3} = 0

- 1 + 8 u^{3} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, u = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

- 1 + 8 u^{3} = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

- 1 + 8 u^{3} = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

- 1 + 8 u^{3} + 1 = 0 + 1

Vereinfache

8 u^{3} = 1

8 u^{3} = 1

Teile beide Seiten durch

8

8 u^{3} = 1

Teile beide Seiten durch

8

\frac{8 u ^{3}}{8} = \frac{1}{8}

Vereinfache

u^{3} = \frac{1}{8}

u^{3} = \frac{1}{8}

Für

x^{3} = f (a)

sind die Lösungen

Wende Radikal Regel an:

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

Faktorisiere die Zahl:

8 = 2^{3}

Wende Radikal Regel an:

= 2

Wende Regel an

= \frac{1}{2}

Vereinfache

Wende Radikal Regel an:

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

Faktorisiere die Zahl:

8 = 2^{3}

Wende Radikal Regel an:

= 2

Wende Regel an

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 3 i}{2}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot ( - 1 + 3 i )}{2 \cdot 2}

1 \cdot (- 1 + 3 i) = - 1 + 3 i

1 \cdot (- 1 + 3 i)

Multipliziere:

1 \cdot (- 1 + 3 i) = (- 1 + 3 i)

= (- 1 + 3 i)

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= - 1 + 3 i

= \frac{- 1 + 3 i}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 1 + 3 i}{4}

Schreibe

\frac{- 1 + 3 i}{4}

in der Standard komplexen Form um:

- \frac{1}{4} + \frac{3}{4} i

\frac{- 1 + 3 i}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + 3 i}{4} = - \frac{1}{4} + \frac{3 i}{4}

= - \frac{1}{4} + \frac{3 i}{4}

= - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} i

Vereinfache

Wende Radikal Regel an:

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

Faktorisiere die Zahl:

8 = 2^{3}

Wende Radikal Regel an:

= 2

Wende Regel an

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 - 3 i}{2}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot ( - 1 - 3 i )}{2 \cdot 2}

1 \cdot (- 1 - 3 i) = - 1 - 3 i

1 \cdot (- 1 - 3 i)

Multipliziere:

1 \cdot (- 1 - 3 i) = (- 1 - 3 i)

= (- 1 - 3 i)

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= - 1 - 3 i

= \frac{- 1 - 3 i}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 1 - 3 i}{4}

Schreibe

\frac{- 1 - 3 i}{4}

in der Standard komplexen Form um:

- \frac{1}{4} - \frac{3}{4} i

\frac{- 1 - 3 i}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 - 3 i}{4} = - \frac{1}{4} - \frac{3 i}{4}

= - \frac{1}{4} - \frac{3 i}{4}

= - \frac{1}{4} - \frac{3}{4} i

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, u = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, sin (θ) = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, sin (θ) = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

sin (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4} :

Keine Lösung

sin (θ) = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (θ) = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4} :

Keine Lösung

sin (θ) = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

(cot(θ))/(sec(θ))=sin(θ)