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Beliebt Trigonometrie >

4cos(θ)-1=2sin(θ)tan(θ)

Lösung

4 cos (θ) - 1 = 2 sin (θ) tan (θ)

Lösung

θ = 0.84106 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Grad

θ = 48.18968 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 311.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 cos (θ) - 1 = 2 sin (θ) tan (θ)

Subtrahiere

2 sin (θ) tan (θ)

von beiden Seiten

4 cos (θ) - 1 - 2 sin (θ) tan (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + 4 cos (θ) - 2 sin (θ) tan (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - 1 + 4 cos (θ) - 2 sin (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

2 sin (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{2 sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

2 sin (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( θ ) \cdot 2 sin ( θ )}{cos ( θ )}

sin (θ) \cdot 2 sin (θ) = 2 sin^{2} (θ)

sin (θ) \cdot 2 sin (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= 2 sin^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2 sin^{2} (θ)

= \frac{2 sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

= - 1 + 4 cos (θ) - \frac{2 sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 1 - \frac{2 ( 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{cos ( θ )} + 4 cos (θ)

Ziehe Brüche zusammen

- \frac{2 ( - cos ^{2} ( θ ) + 1 )}{cos ( θ )} + 4 cos (θ) : \frac{- 2 + 6 cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

- \frac{2 ( - cos ^{2} ( θ ) + 1 )}{cos ( θ )} + 4 cos (θ)

Wandle das Element in einen Bruch um:

4 cos (θ) = \frac{4 cos ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )}

= - \frac{2 ( 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{cos ( θ )} + \frac{4 cos ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 2 ( 1 - cos ^{2} ( θ ) ) + 4 cos ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )}

- 2 (1 - cos^{2} (θ)) + 4 cos (θ) cos (θ) = - 2 (1 - cos^{2} (θ)) + 4 cos^{2} (θ)

- 2 (1 - cos^{2} (θ)) + 4 cos (θ) cos (θ)

4 cos (θ) cos (θ) = 4 cos^{2} (θ)

4 cos (θ) cos (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= 4 cos^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 4 cos^{2} (θ)

= - 2 (- cos^{2} (θ) + 1) + 4 cos^{2} (θ)

= \frac{- 2 ( - cos ^{2} ( θ ) + 1 ) + 4 cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

Multipliziere aus

- 2 (1 - cos^{2} (θ)) + 4 cos^{2} (θ) : - 2 + 6 cos^{2} (θ)

- 2 (1 - cos^{2} (θ)) + 4 cos^{2} (θ)

Multipliziere aus

- 2 (1 - cos^{2} (θ)) : - 2 + 2 cos^{2} (θ)

- 2 (1 - cos^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 2 \cdot 1 - (- 2) cos^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 + 2 cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 + 2 cos^{2} (θ)

= - 2 + 2 cos^{2} (θ) + 4 cos^{2} (θ)

Addiere gleiche Elemente:

2 cos^{2} (θ) + 4 cos^{2} (θ) = 6 cos^{2} (θ)

= - 2 + 6 cos^{2} (θ)

= \frac{- 2 + 6 cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{- 2 + 6 cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )} - 1

- 1 + \frac{- 2 + 6 cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )} = 0

- 1 + \frac{- 2 + 6 cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )} = 0

Löse mit Substitution

- 1 + \frac{- 2 + 6 cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )} = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- 1 + \frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u} = 0

- 1 + \frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u} = 0 : u = \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{2}

- 1 + \frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

- 1 + \frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

- 1 \cdot u + \frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u} u = 0 \cdot u

Vereinfache

- 1 \cdot u + \frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u} u = 0 \cdot u

Vereinfache

- 1 \cdot u : - u

- 1 \cdot u

Multipliziere:

1 \cdot u = u

= - u

Vereinfache

\frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u} u : - 2 + 6 u^{2}

\frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - 2 + 6 u ^{2} ) u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= - - 2 + 6 u^{2}

Vereinfache

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

- u - 2 + 6 u^{2} = 0

- u - 2 + 6 u^{2} = 0

- u - 2 + 6 u^{2} = 0

Löse

- u - 2 + 6 u^{2} = 0 : u = \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{2}

- u - 2 + 6 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

6 u^{2} - u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

6 u^{2} - u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 6, b = - 1, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 2 )}{2 \cdot 6}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 2 )}{2 \cdot 6}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 6 (- 2) = 7

(- 1)^{2} - 4 \cdot 6 (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 2

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 6 \cdot 2 = 48

4 \cdot 6 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 6 \cdot 2 = 48

= 48

= 1 + 48

Addiere die Zahlen:

1 + 48 = 49

= 49

Faktorisiere die Zahl:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Wende Radikal Regel an:

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 7}{2 \cdot 6}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 7}{2 \cdot 6}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 7}{2 \cdot 6}

u = \frac{- ( - 1 ) + 7}{2 \cdot 6} : \frac{2}{3}

\frac{- ( - 1 ) + 7}{2 \cdot 6}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 7}{2 \cdot 6}

Addiere die Zahlen:

1 + 7 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{8}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{2}{3}

u = \frac{- ( - 1 ) - 7}{2 \cdot 6} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 7}{2 \cdot 6}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 7}{2 \cdot 6}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 7 = - 6

= \frac{- 6}{2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 6}{12}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= - \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{2}

u = \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{2}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

- 1 + \frac{- 2 + 6 u ^{2}}{u}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = \frac{2}{3}, cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = \frac{2}{3}, cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = \frac{2}{3} : θ = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{2}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{2}{3}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{2}{3}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 0.84106 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2sec^2(x)-5sec(x)+2=0,0<= x<= 360