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Beliebt Trigonometrie >

3cosh(2x)=5

Lösung

3 cosh (2 x) = 5

Lösung

x = \frac{1}{2} ln (3), x = - \frac{1}{2} ln (3)

Grad

x = 31.47292 \dots^{\circ}, x = - 31.47292 \dots^{\circ}

Schritte zur Lösung

3 cosh (2 x) = 5

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

3 cosh (2 x) = 5

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

3 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 5

3 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 5

3 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 5 : x = \frac{1}{2} ln (3), x = - \frac{1}{2} ln (3)

3 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 5

Wende Exponentenregel an

3 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 5

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{2 x} = (e^{x})^{2}, e^{- 2 x} = (e^{x})^{- 2}

3 \cdot \frac{( e ^{x} ) ^{2} + ( e ^{x} ) ^{- 2}}{2} = 5

3 \cdot \frac{( e ^{x} ) ^{2} + ( e ^{x} ) ^{- 2}}{2} = 5

Schreibe die Gleichung um mit

e^{x} = u

3 \cdot \frac{( u ) ^{2} + ( u ) ^{- 2}}{2} = 5

Löse

3 \cdot \frac{u ^{2} + u ^{- 2}}{2} = 5 : u = 3, u = - 3, u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

3 \cdot \frac{u ^{2} + u ^{- 2}}{2} = 5

Fasse zusammen

\frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2 u ^{2}} = 5

Multipliziere beide Seiten mit

u^{2}

\frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2 u ^{2}} = 5

Multipliziere beide Seiten mit

u^{2}

\frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2 u ^{2}} u^{2} = 5 u^{2}

Vereinfache

\frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2} = 5 u^{2}

\frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2} = 5 u^{2}

Löse

\frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2} = 5 u^{2} : u = 3, u = - 3, u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

\frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2} = 5 u^{2}

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2} = 5 u^{2}

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2} \cdot 2 = 5 u^{2} \cdot 2

Vereinfache

3 (u^{4} + 1) = 10 u^{2}

3 (u^{4} + 1) = 10 u^{2}

Schreibe

3 (u^{4} + 1)

um:

3 u^{4} + 3

3 (u^{4} + 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 3, b = u^{4}, c = 1

= 3 u^{4} + 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 3 u^{4} + 3

3 u^{4} + 3 = 10 u^{2}

Verschiebe

10 u^{2}

auf die linke Seite

3 u^{4} + 3 = 10 u^{2}

Subtrahiere

10 u^{2}

von beiden Seiten

3 u^{4} + 3 - 10 u^{2} = 10 u^{2} - 10 u^{2}

Vereinfache

3 u^{4} + 3 - 10 u^{2} = 0

3 u^{4} + 3 - 10 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

3 u^{4} - 10 u^{2} + 3 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

v = u^{2}

und

v^{2} = u^{4}

3 v^{2} - 10 v + 3 = 0

Löse

3 v^{2} - 10 v + 3 = 0 : v = 3, v = \frac{1}{3}

3 v^{2} - 10 v + 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

3 v^{2} - 10 v + 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 3, b = - 10, c = 3

v_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3}{2 \cdot 3}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3}{2 \cdot 3}

(- 10)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 8

(- 10)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 10)^{2} = 1 0^{2}

= 1 0^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 3 = 36

= 1 0^{2} - 36

1 0^{2} = 100

= 100 - 36

Subtrahiere die Zahlen:

100 - 36 = 64

= 64

Faktorisiere die Zahl:

64 = 8^{2}

= 8^{2}

Wende Radikal Regel an:

8^{2} = 8

= 8

v_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm 8}{2 \cdot 3}

Trenne die Lösungen

v_{1} = \frac{- ( - 10 ) + 8}{2 \cdot 3}, v_{2} = \frac{- ( - 10 ) - 8}{2 \cdot 3}

v = \frac{- ( - 10 ) + 8}{2 \cdot 3} : 3

\frac{- ( - 10 ) + 8}{2 \cdot 3}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{10 + 8}{2 \cdot 3}

Addiere die Zahlen:

10 + 8 = 18

= \frac{18}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{18}{6}

Teile die Zahlen:

\frac{18}{6} = 3

= 3

v = \frac{- ( - 10 ) - 8}{2 \cdot 3} : \frac{1}{3}

\frac{- ( - 10 ) - 8}{2 \cdot 3}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{10 - 8}{2 \cdot 3}

Subtrahiere die Zahlen:

10 - 8 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{2}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

v = 3, v = \frac{1}{3}

v = 3, v = \frac{1}{3}

Setze

v = u^{2} w i e d er e in,

löse für

u

Löse

u^{2} = 3 : u = 3, u = - 3

u^{2} = 3

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = 3, u = - 3

Löse

u^{2} = \frac{1}{3} : u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

u^{2} = \frac{1}{3}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

\frac{1}{3} = \frac{1}{3}

\frac{1}{3}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{3}

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

1 = 1

= \frac{1}{3}

- \frac{1}{3} = - \frac{1}{3}

- \frac{1}{3}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{1}{3}

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

1 = 1

= - \frac{1}{3}

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

Die Lösungen sind

u = 3, u = - 3, u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

u = 3, u = - 3, u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

3 \frac{u ^{2} + u ^{- 2}}{2}

und vergleiche mit Null

Löse

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Wende Regel an

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 3, u = - 3, u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

u = 3, u = - 3, u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

Setze

u = e^{x} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

e^{x} = 3 : x = \frac{1}{2} ln (3)

e^{x} = 3

Wende Exponentenregel an

e^{x} = 3

Wende Exponentenregel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

3 = 3^{\frac{1}{2}}

e^{x} = 3^{\frac{1}{2}}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (3^{\frac{1}{2}})

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (3^{\frac{1}{2}})

Wende die log Regel an:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln (3^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} ln (3)

x = \frac{1}{2} ln (3)

x = \frac{1}{2} ln (3)

Löse

e^{x} = - 3 :

Keine Lösung für

x \in R

e^{x} = - 3

a^{f (x)}

darf nicht null oder negativ sein

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Löse

e^{x} = \frac{1}{3} : x = - \frac{1}{2} ln (3)

e^{x} = \frac{1}{3}

Wende Exponentenregel an

e^{x} = \frac{1}{3}

Wende Exponentenregel an:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{1}{3} = 3^{- \frac{1}{2}}

e^{x} = 3^{- \frac{1}{2}}

Wende Exponentenregel an:

3^{- \frac{1}{2}} = 3^{- \frac{1}{2}}

e^{x} = 3^{- \frac{1}{2}}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (3^{- \frac{1}{2}})

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (3^{- \frac{1}{2}})

Wende die log Regel an:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln (3^{- \frac{1}{2}}) = - \frac{1}{2} ln (3)

x = - \frac{1}{2} ln (3)

x = - \frac{1}{2} ln (3)

Löse

e^{x} = - \frac{1}{3} :

Keine Lösung für

x \in R

e^{x} = - \frac{1}{3}

Wende Exponentenregel an

e^{x} = - \frac{1}{3}

Wende Exponentenregel an:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{1}{3} = 3^{- \frac{1}{2}}

e^{x} = - 3^{- \frac{1}{2}}

e^{x} = - 3^{- \frac{1}{2}}

a^{f (x)}

darf nicht null oder negativ sein

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

x = \frac{1}{2} ln (3), x = - \frac{1}{2} ln (3)

x = \frac{1}{2} ln (3), x = - \frac{1}{2} ln (3)

Graph

Beliebte Beispiele

tan(2θ)=(2tan(θ))/(1-tan(θ))

sqrt(2)cos(θ)+1=0

4sqrt(2)tan(x)-sqrt(2)=3sqrt(2)tan(x)

7sin(2x)+12cos(x)=0

solvefor θ,cos(θ)=-cos(40)