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Popular Trigonometría >

(2tan(x))/(1-tan^2(x))=sqrt(3)

Solución

\frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} = 3

Solución

x = \frac{2 π}{3} + πn, x = \frac{π}{6} + πn

Grados

x = 12 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Pasos de solución

\frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} = 3

Usando el método de sustitución

\frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} = 3

Sea:

tan (x) = u

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} = 3

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} = 3 : u = - 3, u = \frac{3}{3}

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} = 3

Multiplicar ambos lados por

1 - u^{2}

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} = 3

Multiplicar ambos lados por

1 - u^{2}

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2}) = 3 (1 - u^{2})

Simplificar

2 u = 3 (1 - u^{2})

2 u = 3 (1 - u^{2})

Resolver

2 u = 3 (1 - u^{2}) : u = - 3, u = \frac{3}{3}

2 u = 3 (1 - u^{2})

Desarrollar

3 (1 - u^{2}) : 3 - 3 u^{2}

3 (1 - u^{2})

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = u^{2}

= 3 \cdot 1 - 3 u^{2}

= 1 \cdot 3 - 3 u^{2}

Multiplicar:

1 \cdot 3 = 3

= 3 - 3 u^{2}

2 u = 3 - 3 u^{2}

Intercambiar lados

3 - 3 u^{2} = 2 u

Desplace

2 u

a la izquierda

3 - 3 u^{2} = 2 u

Restar

2 u

de ambos lados

3 - 3 u^{2} - 2 u = 2 u - 2 u

Simplificar

3 - 3 u^{2} - 2 u = 0

3 - 3 u^{2} - 2 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 3 u^{2} - 2 u + 3 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 3 u^{2} - 2 u + 3 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 3, b = - 2, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) 3}{2 ( - 3 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) 3}{2 ( - 3 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 3) 3 = 4

(- 2)^{2} - 4 (- 3) 3

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 433

(- 2)^{2} = 2^{2}

(- 2)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2}

433 = 12

433

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

33 = 3

= 4 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 3 = 12

= 12

= 2^{2} + 12

2^{2} = 4

= 4 + 12

Sumar:

4 + 12 = 16

= 16

Descomponer el número en factores primos:

16 = 4^{2}

= 4^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

4^{2} = 4

= 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 4}{2 ( - 3 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 4}{2 ( - 3 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 4}{2 ( - 3 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 4}{2 ( - 3 )} : - 3

\frac{- ( - 2 ) + 4}{2 ( - 3 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 4}{- 2 3}

Sumar:

2 + 4 = 6

= \frac{6}{- 2 3}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{2 3}

Dividir:

\frac{6}{2} = 3

= \frac{3}{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

3 = 3^{\frac{1}{2}}

= \frac{3}{3 ^{\frac{1}{2}}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{3 ^{1}}{3 ^{\frac{1}{2}}} = 3^{1 - \frac{1}{2}}

= 3^{1 - \frac{1}{2}}

Restar:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= 3^{\frac{1}{2}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

3^{\frac{1}{2}} = 3

= - 3

u = \frac{- ( - 2 ) - 4}{2 ( - 3 )} : \frac{3}{3}

\frac{- ( - 2 ) - 4}{2 ( - 3 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 4}{- 2 3}

Restar:

2 - 4 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 3}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{2 3}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{1}{3}

Racionalizar

\frac{1}{3} : \frac{3}{3}

\frac{1}{3}

Multiplicar por el conjugado

\frac{3}{3}

= \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

33 = 3

= 3

= \frac{3}{3}

= \frac{3}{3}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - 3, u = \frac{3}{3}

u = - 3, u = \frac{3}{3}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 1, u = - 1

Tomar el(los) denominador(es) de

\frac{2 u}{1 - u ^{2}}

y comparar con cero

Resolver

1 - u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

1 - u^{2} = 0

Desplace

1

a la derecha

1 - u^{2} = 0

Restar

1

de ambos lados

1 - u^{2} - 1 = 0 - 1

Simplificar

- u^{2} = - 1

- u^{2} = - 1

Dividir ambos lados entre

- 1

- u^{2} = - 1

Dividir ambos lados entre

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Simplificar

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Los siguientes puntos no están definidos

u = 1, u = - 1

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = - 3, u = \frac{3}{3}

Sustituir en la ecuación

u = tan (x)

tan (x) = - 3, tan (x) = \frac{3}{3}

tan (x) = - 3, tan (x) = \frac{3}{3}

tan (x) = - 3 : x = \frac{2 π}{3} + πn

tan (x) = - 3

Soluciones generales para

tan (x) = - 3

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{2 π}{3} + πn

x = \frac{2 π}{3} + πn

tan (x) = \frac{3}{3} : x = \frac{π}{6} + πn

tan (x) = \frac{3}{3}

Soluciones generales para

tan (x) = \frac{3}{3}

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{6} + πn

x = \frac{π}{6} + πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{2 π}{3} + πn, x = \frac{π}{6} + πn

Gráfica

Ejemplos populares

tan(x)= 59/56

cos(θ)= 5/(5sqrt(2))

arccos(x)=arcsin(9/41)

solvefor x,-ysin(x)=0

2sin(x/2+pi/3)=sqrt(3)