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Popular Trigonometría >

sin(x-(5pi)/3)+sin(x+(5pi)/3)=1

Solución

sin (x - \frac{5 π}{3}) + sin (x + \frac{5 π}{3}) = 1

Solución

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Grados

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

sin (x - \frac{5 π}{3}) + sin (x + \frac{5 π}{3}) = 1

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (x - \frac{5 π}{3}) + sin (x + \frac{5 π}{3})

Utilizar la identidad suma-producto:

sin (s) + sin (t) = 2 sin (\frac{s + t}{2}) cos (\frac{s - t}{2})

= 2 sin (\frac{x - \frac{5 π}{3} + x + \frac{5 π}{3}}{2}) cos (\frac{x - \frac{5 π}{3} - ( x + \frac{5 π}{3} )}{2})

Simplificar

2 sin (\frac{x - \frac{5 π}{3} + x + \frac{5 π}{3}}{2}) cos (\frac{x - \frac{5 π}{3} - ( x + \frac{5 π}{3} )}{2}) : sin (x)

2 sin (\frac{x - \frac{5 π}{3} + x + \frac{5 π}{3}}{2}) cos (\frac{x - \frac{5 π}{3} - ( x + \frac{5 π}{3} )}{2})

\frac{x - \frac{5 π}{3} + x + \frac{5 π}{3}}{2} = x

\frac{x - \frac{5 π}{3} + x + \frac{5 π}{3}}{2}

x - \frac{5 π}{3} + x + \frac{5 π}{3} = 2 x

x - \frac{5 π}{3} + x + \frac{5 π}{3}

Agrupar términos semejantes

= x + x - \frac{5 π}{3} + \frac{5 π}{3}

Sumar elementos similares:

x + x = 2 x

= 2 x - \frac{5 π}{3} + \frac{5 π}{3}

Sumar elementos similares:

- \frac{5 π}{3} + \frac{5 π}{3} = 0

= 2 x

= \frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

= 2 sin (x) cos (\frac{x - ( x + \frac{5 π}{3} ) - \frac{5 π}{3}}{2})

\frac{x - \frac{5 π}{3} - ( x + \frac{5 π}{3} )}{2} = - \frac{5 π}{3}

\frac{x - \frac{5 π}{3} - ( x + \frac{5 π}{3} )}{2}

Simplificar

x - \frac{5 π}{3} - (x + \frac{5 π}{3})

en una fracción:

- \frac{10 π}{3}

x - \frac{5 π}{3} - (x + \frac{5 π}{3})

Convertir a fracción:

x = \frac{x 3}{3}, (x + \frac{5 π}{3}) = \frac{( x + \frac{5 π}{3} ) 3}{3}

= \frac{x \cdot 3}{3} - \frac{5 π}{3} - \frac{( x + \frac{5 π}{3} ) \cdot 3}{3}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x \cdot 3 - 5 π - ( x + \frac{5 π}{3} ) \cdot 3}{3}

Expandir

x \cdot 3 - 5 π - (x + \frac{5 π}{3}) \cdot 3 : - 10 π

x \cdot 3 - 5 π - (x + \frac{5 π}{3}) \cdot 3

= 3 x - 5 π - 3 (x + \frac{5 π}{3})

Expandir

- 3 (x + \frac{5 π}{3}) : - 3 x - 5 π

- 3 (x + \frac{5 π}{3})

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = - 3, b = x, c = \frac{5 π}{3}

= - 3 x + (- 3) \frac{5 π}{3}

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a

= - 3 x - 3 \cdot \frac{5 π}{3}

3 \cdot \frac{5 π}{3} = 5 π

3 \cdot \frac{5 π}{3}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 π 3}{3}

Eliminar los terminos comunes:

3

= 5 π

= - 3 x - 5 π

= x \cdot 3 - 5 π - 3 x - 5 π

Simplificar

x \cdot 3 - 5 π - 3 x - 5 π : - 10 π

x \cdot 3 - 5 π - 3 x - 5 π

Agrupar términos semejantes

= 3 x - 3 x - 5 π - 5 π

Sumar elementos similares:

3 x - 3 x = 0

= - 5 π - 5 π

Sumar elementos similares:

- 5 π - 5 π = - 10 π

= - 10 π

= - 10 π

= \frac{- 10 π}{3}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{10 π}{3}

= \frac{- \frac{10 π}{3}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{10 π}{3}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{10 π}{3}}{2} = \frac{10 π}{3 \cdot 2}

= - \frac{10 π}{3 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 2 = 6

= - \frac{10 π}{6}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{5 π}{3}

= 2 cos (- \frac{5 π}{3}) sin (x)

cos (- \frac{5 π}{3}) = \frac{1}{2}

cos (- \frac{5 π}{3})

Utilizar la siguiente propiedad:

cos (- x) = cos (x)

cos (- \frac{5 π}{3}) = cos (\frac{5 π}{3})

= cos (\frac{5 π}{3})

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

cos (π) cos (\frac{2 π}{3}) - sin (π) sin (\frac{2 π}{3})

cos (\frac{5 π}{3})

Escribir

cos (\frac{5 π}{3})

como

cos (π + \frac{2 π}{3})

= cos (π + \frac{2 π}{3})

Utilizar la identidad de suma de ángulos:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (π) cos (\frac{2 π}{3}) - sin (π) sin (\frac{2 π}{3})

= cos (π) cos (\frac{2 π}{3}) - sin (π) sin (\frac{2 π}{3})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

cos (π) = (- 1)

cos (π)

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= (- 1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

cos (\frac{2 π}{3}) = - \frac{1}{2}

cos (\frac{2 π}{3})

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= - \frac{1}{2}

Utilizar la siguiente identidad trivial:

sin (π) = 0

sin (π)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 0

Utilizar la siguiente identidad trivial:

sin (\frac{2 π}{3}) = \frac{3}{2}

sin (\frac{2 π}{3})

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{3}{2}

= (- 1) (- \frac{1}{2}) - 0 \cdot \frac{3}{2}

Simplificar

= \frac{1}{2}

= 2 \cdot \frac{1}{2} sin (x)

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2} sin (x)

Eliminar los terminos comunes:

2

= sin (x) \cdot 1

Multiplicar:

sin (x) \cdot 1 = sin (x)

= sin (x)

= sin (x)

sin (x) = 1

Soluciones generales para

sin (x) = 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

-sec(x/2)=2csc(x/2)

sec^2(θ)-sec(θ)=2,θ[0, pi/2 ]

solvefor x,sin(x)=-0.5

tan(2θ)=1,0<= θ<= 2pi

0.4=0.4cos^2(θ)