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Popular Trigonometría >

sin(θ)-cos(θ)=sqrt(3/2),θ[(3pi)/2 ,2pi]

Solución

sin (θ) - cos (θ) = \frac{3}{2}, θ [\frac{3 π}{2}, 2 π]

Solución

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para θ \in R

Pasos de solución

sin (θ) - cos (θ) = \frac{3}{2}, θ [\frac{3 π}{2}, 2 π]

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (θ) - cos (θ)

sin (θ) - cos (θ) = 2 sin (θ - \frac{π}{4})

sin (θ) - cos (θ)

Reescribir como

= 2 (\frac{1}{2} sin (θ) - \frac{1}{2} cos (θ))

Utilizar la siguiente identidad trivial:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Utilizar la siguiente identidad trivial:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (θ) - sin (\frac{π}{4}) cos (θ))

Utilizar la identidad de suma de ángulos:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= 2 sin (θ - \frac{π}{4})

= 2 sin (θ - \frac{π}{4})

2 sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{3}{2}

Dividir ambos lados entre

2

2 sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{3}{2}

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 sin ( θ - \frac{π}{4} )}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( θ - \frac{π}{4} )}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( θ - \frac{π}{4} )}{2} : sin (θ - \frac{π}{4})

\frac{2 sin ( θ - \frac{π}{4} )}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= sin (θ - \frac{π}{4})

Simplificar

\frac{\frac{3}{2}}{2} : \frac{3}{2}

\frac{\frac{3}{2}}{2}

\frac{3}{2} = \frac{3}{2}

\frac{3}{2}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3}{2}

= \frac{\frac{3}{2}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3}{2 2}

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{3}{2}

sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{3}{2}

sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{3}{2}

sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{3}{2}

Soluciones generales para

sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{3}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + 2 πn, θ - \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3} + 2 πn

θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + 2 πn, θ - \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Resolver

θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + 2 πn : θ = 2 πn + \frac{7 π}{12}

θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + 2 πn

Desplace

\frac{π}{4}

a la derecha

θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + 2 πn

Sumar

\frac{π}{4}

a ambos lados

θ - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + 2 πn + \frac{π}{4}

Simplificar

θ - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + 2 πn + \frac{π}{4}

Simplificar

θ - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} : θ

θ - \frac{π}{4} + \frac{π}{4}

Sumar elementos similares:

- \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = 0

= θ

Simplificar

\frac{π}{3} + 2 πn + \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{7 π}{12}

\frac{π}{3} + 2 πn + \frac{π}{4}

Agrupar términos semejantes

= 2 πn + \frac{π}{3} + \frac{π}{4}

Mínimo común múltiplo de

3, 4 : 12

3, 4

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

3 : 3

3

3

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 3

Descomposición en factores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

3

4

= 3 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 2 \cdot 2 = 12

= 12

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{π}{3} :

multiplicar el denominador y el numerador por

4

\frac{π}{3} = \frac{π 4}{3 \cdot 4} = \frac{π 4}{12}

Para

\frac{π}{4} :

multiplicar el denominador y el numerador por

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

= \frac{π 4}{12} + \frac{π 3}{12}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 4 + π 3}{12}

Sumar elementos similares:

4 π + 3 π = 7 π

= 2 πn + \frac{7 π}{12}

θ = 2 πn + \frac{7 π}{12}

θ = 2 πn + \frac{7 π}{12}

θ = 2 πn + \frac{7 π}{12}

Resolver

θ - \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3} + 2 πn : θ = 2 πn + \frac{11 π}{12}

θ - \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Desplace

\frac{π}{4}

a la derecha

θ - \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Sumar

\frac{π}{4}

a ambos lados

θ - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3} + 2 πn + \frac{π}{4}

Simplificar

θ - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3} + 2 πn + \frac{π}{4}

Simplificar

θ - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} : θ

θ - \frac{π}{4} + \frac{π}{4}

Sumar elementos similares:

- \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = 0

= θ

Simplificar

\frac{2 π}{3} + 2 πn + \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{11 π}{12}

\frac{2 π}{3} + 2 πn + \frac{π}{4}

Agrupar términos semejantes

= 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{2 π}{3}

Mínimo común múltiplo de

4, 3 : 12

4, 3

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Descomposición en factores primos de

3 : 3

3

3

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 3

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

4

3

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para