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Populaire Trigonométrie >

3cos^2(x)-2sqrt(3)cos(x)=sin^2(x)

Solution

3 cos^{2} (x) - 23 cos (x) = sin^{2} (x)

Solution

x = 1.80125 \dots + 2 πn, x = - 1.80125 \dots + 2 πn

Degrés

x = 103.20437 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 103.20437 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

3 cos^{2} (x) - 23 cos (x) = sin^{2} (x)

Soustraire

sin^{2} (x)

des deux côtés

3 cos^{2} (x) - 23 cos (x) - sin^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- sin^{2} (x) + 3 cos^{2} (x) - 2 cos (x) 3

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - (1 - cos^{2} (x)) + 3 cos^{2} (x) - 2 cos (x) 3

Simplifier

- (1 - cos^{2} (x)) + 3 cos^{2} (x) - 2 cos (x) 3 : - 1 + 4 cos^{2} (x) - 23 cos (x)

- (1 - cos^{2} (x)) + 3 cos^{2} (x) - 2 cos (x) 3

= - (1 - cos^{2} (x)) + 3 cos^{2} (x) - 23 cos (x)

- (1 - cos^{2} (x)) : - 1 + cos^{2} (x)

- (1 - cos^{2} (x))

Distribuer des parenthèses

= - (1) - (- cos^{2} (x))

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (x)

= - 1 + cos^{2} (x) + 3 cos^{2} (x) - 2 cos (x) 3

Additionner les éléments similaires :

cos^{2} (x) + 3 cos^{2} (x) = 4 cos^{2} (x)

= - 1 + 4 cos^{2} (x) - 23 cos (x)

= - 1 + 4 cos^{2} (x) - 23 cos (x)

- 1 + 4 cos^{2} (x) - 2 cos (x) 3 = 0

Résoudre par substitution

- 1 + 4 cos^{2} (x) - 2 cos (x) 3 = 0

Soit :

cos (x) = u

- 1 + 4 u^{2} - 2 u 3 = 0

- 1 + 4 u^{2} - 2 u 3 = 0 : u = \frac{3 + 7}{4}, u = \frac{3 - 7}{4}

- 1 + 4 u^{2} - 2 u 3 = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 23 u - 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

4 u^{2} - 23 u - 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 4, b = - 23, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 3 ) \pm ( - 2 3 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 3 ) \pm ( - 2 3 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

(- 23)^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 27

(- 23)^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 23)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

(- 23)^{2} = 2^{2} \cdot 3

(- 23)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 23)^{2} = (23)^{2}

= (23)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (3)^{2}

(3)^{2} : 3

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 3

= 2^{2} \cdot 3

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 16

= 2^{2} \cdot 3 + 16

2^{2} \cdot 3 = 12

2^{2} \cdot 3

2^{2} = 4

= 4 \cdot 3

Multiplier les nombres :

4 \cdot 3 = 12

= 12

= 12 + 16

Additionner les nombres :

12 + 16 = 28

= 28

Factorisation première de

28 : 2^{2} \cdot 7

28

28

divisée par

228 = 14 \cdot 2

= 2 \cdot 14

14

divisée par

214 = 7 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

Appliquer la règle des radicaux:

= 7 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

2^{2} = 2

= 27

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 3 ) \pm 2 7}{2 \cdot 4}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 2 3 ) + 2 7}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 2 3 ) - 2 7}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 2 3 ) + 2 7}{2 \cdot 4} : \frac{3 + 7}{4}

\frac{- ( - 2 3 ) + 2 7}{2 \cdot 4}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{2 3 + 2 7}{2 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2 3 + 2 7}{8}

Factoriser le terme commun

2

= \frac{2 ( 3 + 7 )}{8}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{3 + 7}{4}

u = \frac{- ( - 2 3 ) - 2 7}{2 \cdot 4} : \frac{3 - 7}{4}

\frac{- ( - 2 3 ) - 2 7}{2 \cdot 4}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{2 3 - 2 7}{2 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2 3 - 2 7}{8}

Factoriser le terme commun

2

= \frac{2 ( 3 - 7 )}{8}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{3 - 7}{4}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{3 + 7}{4}, u = \frac{3 - 7}{4}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = \frac{3 + 7}{4}, cos (x) = \frac{3 - 7}{4}

cos (x) = \frac{3 + 7}{4}, cos (x) = \frac{3 - 7}{4}

cos (x) = \frac{3 + 7}{4} :

Aucune solution

cos (x) = \frac{3 + 7}{4}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Aucune solution

cos (x) = \frac{3 - 7}{4} : x = arccos (\frac{3 - 7}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{3 - 7}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3 - 7}{4}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = \frac{3 - 7}{4}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{3 - 7}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (\frac{3 - 7}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{3 - 7}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{3 - 7}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{3 - 7}{4}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = arccos (\frac{3 - 7}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{3 - 7}{4}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 1.80125 \dots + 2 πn, x = - 1.80125 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

sin(x)+cos(x)= 3/2

cos^2(x)-sin^2(x)-5sin(x)=3

sin(θ)=-(sqrt(21))/5

solvefor t,cos(2t)-sin(t)=sqrt(o)

cot(x)=-15/8