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Popolare Trigonometria >

3+4cot(x)=5csc(x)

Soluzione

3 + 4 cot (x) = 5 csc (x)

Soluzione

x = 0.64350 \dots + 2 πn

Gradi

x = 36.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

3 + 4 cot (x) = 5 csc (x)

Sottrarre

5 csc (x)

da entrambi i lati

3 + 4 cot (x) - 5 csc (x) = 0

Esprimere con sen e cos

3 + 4 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 5 \cdot \frac{1}{sin ( x )} = 0

Semplifica

3 + 4 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 5 \cdot \frac{1}{sin ( x )} : \frac{3 sin ( x ) + 4 cos ( x ) - 5}{sin ( x )}

3 + 4 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 5 \cdot \frac{1}{sin ( x )}

4 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} = \frac{4 cos ( x )}{sin ( x )}

4 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( x ) \cdot 4}{sin ( x )}

5 \cdot \frac{1}{sin ( x )} = \frac{5}{sin ( x )}

5 \cdot \frac{1}{sin ( x )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 5}{sin ( x )}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 5 = 5

= \frac{5}{sin ( x )}

= 3 + \frac{4 cos ( x )}{sin ( x )} - \frac{5}{sin ( x )}

Combinare le frazioni

\frac{4 cos ( x )}{sin ( x )} - \frac{5}{sin ( x )} : \frac{4 cos ( x ) - 5}{sin ( x )}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{4 cos ( x ) - 5}{sin ( x )}

= 3 + \frac{4 cos ( x ) - 5}{sin ( x )}

Converti l'elemento in frazione:

3 = \frac{3 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{3 sin ( x )}{sin ( x )} + \frac{cos ( x ) \cdot 4 - 5}{sin ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 sin ( x ) + cos ( x ) \cdot 4 - 5}{sin ( x )}

\frac{3 sin ( x ) + 4 cos ( x ) - 5}{sin ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

3 sin (x) + 4 cos (x) - 5 = 0

Sottrarre

4 cos (x)

da entrambi i lati

3 sin (x) - 5 = - 4 cos (x)

Eleva entrambi i lati al quadrato

(3 sin (x) - 5)^{2} = (- 4 cos (x))^{2}

Sottrarre

(- 4 cos (x))^{2}

da entrambi i lati

(3 sin (x) - 5)^{2} - 16 cos^{2} (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

(- 5 + 3 sin (x))^{2} - 16 cos^{2} (x)

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (- 5 + 3 sin (x))^{2} - 16 (1 - sin^{2} (x))

Semplificare

(- 5 + 3 sin (x))^{2} - 16 (1 - sin^{2} (x)) : 25 sin^{2} (x) - 30 sin (x) + 9

(- 5 + 3 sin (x))^{2} - 16 (1 - sin^{2} (x))

(- 5 + 3 sin (x))^{2} : 25 - 30 sin (x) + 9 sin^{2} (x)

Applicare la formula del quadrato perfetto:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = - 5, b = 3 sin (x)

= (- 5)^{2} + 2 (- 5) \cdot 3 sin (x) + (3 sin (x))^{2}

Semplifica

(- 5)^{2} + 2 (- 5) \cdot 3 sin (x) + (3 sin (x))^{2} : 25 - 30 sin (x) + 9 sin^{2} (x)

(- 5)^{2} + 2 (- 5) \cdot 3 sin (x) + (3 sin (x))^{2}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= (- 5)^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 3 sin (x) + (3 sin (x))^{2}

(- 5)^{2} = 25

(- 5)^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2}

5^{2} = 25

= 25

2 \cdot 5 \cdot 3 sin (x) = 30 sin (x)

2 \cdot 5 \cdot 3 sin (x)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 5 \cdot 3 = 30

= 30 sin (x)

(3 sin (x))^{2} = 9 sin^{2} (x)

(3 sin (x))^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 3^{2} sin^{2} (x)

3^{2} = 9

= 9 sin^{2} (x)

= 25 - 30 sin (x) + 9 sin^{2} (x)

= 25 - 30 sin (x) + 9 sin^{2} (x)

= 25 - 30 sin (x) + 9 sin^{2} (x) - 16 (1 - sin^{2} (x))

Espandi

- 16 (1 - sin^{2} (x)) : - 16 + 16 sin^{2} (x)

- 16 (1 - sin^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = - 16, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 16 \cdot 1 - (- 16) sin^{2} (x)

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a

= - 16 \cdot 1 + 16 sin^{2} (x)

Moltiplica i numeri:

16 \cdot 1 = 16

= - 16 + 16 sin^{2} (x)

= 25 - 30 sin (x) + 9 sin^{2} (x) - 16 + 16 sin^{2} (x)

Semplifica

25 - 30 sin (x) + 9 sin^{2} (x) - 16 + 16 sin^{2} (x) : 25 sin^{2} (x) - 30 sin (x) + 9

25 - 30 sin (x) + 9 sin^{2} (x) - 16 + 16 sin^{2} (x)

Raggruppa termini simili

= - 30 sin (x) + 9 sin^{2} (x) + 16 sin^{2} (x) + 25 - 16

Aggiungi elementi simili:

9 sin^{2} (x) + 16 sin^{2} (x) = 25 sin^{2} (x)

= - 30 sin (x) + 25 sin^{2} (x) + 25 - 16

Aggiungi/Sottrai i numeri:

25 - 16 = 9

= 25 sin^{2} (x) - 30 sin (x) + 9

= 25 sin^{2} (x) - 30 sin (x) + 9

= 25 sin^{2} (x) - 30 sin (x) + 9

9 + 25 sin^{2} (x) - 30 sin (x) = 0

Risolvi per sostituzione

9 + 25 sin^{2} (x) - 30 sin (x) = 0

Sia:

sin (x) = u

9 + 25 u^{2} - 30 u = 0

9 + 25 u^{2} - 30 u = 0 : u = \frac{3}{5}

9 + 25 u^{2} - 30 u = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

25 u^{2} - 30 u + 9 = 0

Risolvi con la formula quadratica

25 u^{2} - 30 u + 9 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 25, b = - 30, c = 9

u_{1, 2} = \frac{- ( - 30 ) \pm ( - 30 ) ^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 9}{2 \cdot 25}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 30 ) \pm ( - 30 ) ^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 9}{2 \cdot 25}

(- 30)^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 9 = 0

(- 30)^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 9

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 30)^{2} = 3 0^{2}

= 3 0^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 9

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 25 \cdot 9 = 900

= 3 0^{2} - 900

3 0^{2} = 900

= 900 - 900

Sottrai i numeri:

900 - 900 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 30 ) \pm 0}{2 \cdot 25}

u = \frac{- ( - 30 )}{2 \cdot 25}

\frac{- ( - 30 )}{2 \cdot 25} = \frac{3}{5}

\frac{- ( - 30 )}{2 \cdot 25}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{30}{2 \cdot 25}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 25 = 50

= \frac{30}{50}

Cancella il fattore comune:

10

= \frac{3}{5}

u = \frac{3}{5}

La soluzione dell'equazione quadratica è:

u = \frac{3}{5}

Sostituire indietro

u = sin (x)

sin (x) = \frac{3}{5}

sin (x) = \frac{3}{5}

sin (x) = \frac{3}{5} : x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

sin (x) = \frac{3}{5}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

sin (x) = \frac{3}{5}

Soluzioni generali per

sin (x) = \frac{3}{5}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

3 + 4 cot (x) = 5 csc (x)

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn :

Vero

arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Inserire in

n = 1

arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

Per

3 + 4 cot (x) = 5 csc (x)

inserisci la

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

3 + 4 cot (arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) = 5 csc (arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1)

Affinare

8.33333 \dots = 8.33333 \dots

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn :

Falso

π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Inserire in

n = 1

π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

Per

3 + 4 cot (x) = 5 csc (x)

inserisci la

x = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1

3 + 4 cot (π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1) = 5 csc (π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 π 1)

Affinare

- 2.33333 \dots = 8.33333 \dots

\Rightarrow Falso

x = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Mostra le soluzioni in forma decimale

x = 0.64350 \dots + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

(tan(x)-1)(sec(x)+1)=0

(tan (x) - 1) (sec (x) + 1) = 0

tan(θ)= 9/10

tan (θ) = \frac{9}{10}

tan(x)= 3/(sqrt(205))

tan (x) = \frac{3}{205}

sin(x)sin(2x)=sin(3x)

sin (x) sin (2 x) = sin (3 x)

cot(x)= 15/8

cot (x) = \frac{15}{8}