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Beliebt Trigonometrie >

sin(x)sin(2x)=sin(3x)

Lösung

sin (x) sin (2 x) = sin (3 x)

Lösung

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{4} + πn, x = - 1.24904 \dots + πn

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = - 71.56505 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin (x) sin (2 x) = sin (3 x)

Subtrahiere

sin (3 x)

von beiden Seiten

sin (x) sin (2 x) - sin (3 x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- sin (3 x) + sin (2 x) sin (x)

sin (3 x) = - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

sin (3 x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (3 x)

Schreibe um

= sin (2 x + x)

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (2 x) cos (x) + cos (2 x) sin (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 x) sin (x) + cos (x) 2 sin (x) cos (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos (x) cos (x) sin (x)

= (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos (x) cos (x) sin (x)

Multipliziere aus

(cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos (x) cos (x) sin (x) : - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

(cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos (x) cos (x) sin (x)

2 cos (x) cos (x) sin (x) = 2 cos^{2} (x) sin (x)

2 cos (x) cos (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 2 cos^{1 + 1} (x) sin (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Multipliziere aus

sin (x) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) : cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x)

sin (x) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = sin (x), b = cos^{2} (x), c = sin^{2} (x)

= sin (x) cos^{2} (x) - sin (x) sin^{2} (x)

= cos^{2} (x) sin (x) - sin^{2} (x) sin (x)

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{3} (x)

sin^{2} (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{2 + 1} (x)

= sin^{2 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= sin^{3} (x)

= cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x)

= cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Vereinfache

cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x) : - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - sin^{3} (x) + cos^{2} (x) sin (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Addiere gleiche Elemente:

cos^{2} (x) sin (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x) = 3 cos^{2} (x) sin (x)

= - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

= - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

= - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

= - (- sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)) + sin (2 x) sin (x)

- (- sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)) : sin^{3} (x) - 3 cos^{2} (x) sin (x)

- (- sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x))

Setze Klammern

= - (- sin^{3} (x)) - (3 cos^{2} (x) sin (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= sin^{3} (x) - 3 cos^{2} (x) sin (x)

= sin^{3} (x) - 3 cos^{2} (x) sin (x) + sin (2 x) sin (x)

sin^{3} (x) + sin (2 x) sin (x) - 3 cos^{2} (x) sin (x) = 0

Faktorisiere

sin^{3} (x) + sin (2 x) sin (x) - 3 cos^{2} (x) sin (x) : sin (x) (sin^{2} (x) + sin (2 x) - 3 cos^{2} (x))

sin^{3} (x) + sin (2 x) sin (x) - 3 cos^{2} (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{3} (x) = sin (x) sin^{2} (x)

= sin (x) sin^{2} (x) + sin (2 x) sin (x) - 3 cos^{2} (x) sin (x)

Klammere gleiche Terme aus

sin (x)

= sin (x) (sin^{2} (x) + sin (2 x) - 3 cos^{2} (x))

sin (x) (sin^{2} (x) + sin (2 x) - 3 cos^{2} (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (x) = 0 or sin^{2} (x) + sin (2 x) - 3 cos^{2} (x) = 0

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin^{2} (x) + sin (2 x) - 3 cos^{2} (x) = 0 : x = \frac{π}{4} + πn, x = arctan (- 3) + πn

sin^{2} (x) + sin (2 x) - 3 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (2 x) + sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 sin (x) cos (x) + sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x)

sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x) = 0

Faktorisiere

sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x) : (sin (x) - cos (x)) (sin (x) + 3 cos (x))

sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x)

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) - 3 cos^{2} (x)

Definition

Faktoren von

3 : 1, 3

3

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

3 : 3

3

3

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 3

Addiere 1

1

Die Faktoren von

3

1, 3

Negative Faktoren von

3 : - 1, - 3

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 3

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = - 3,

prüfe, ob

u + v = 2

Prüfe

u = 1, v = - 3 : u * v = - 3, u + v = - 2 \Rightarrow

FalschPrüfe

u = 3, v = - 1 : u * v = - 3, u + v = 2 \Rightarrow

Wahr

u = 3, v = - 1

Gruppiere

(a x^{2} + ux y) + (vx y + c y^{2})

(sin^{2} (x) - sin (x) cos (x)) + (3 sin (x) cos (x) - 3 cos^{2} (x))

= (sin^{2} (x) - sin (x) cos (x)) + (3 sin (x) cos (x) - 3 cos^{2} (x))

Klammere

sin (x)

aus

sin^{2} (x) - sin (x) cos (x)

aus

: sin (x) (sin (x) - cos (x))

sin^{2} (x) - sin (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (x) = sin (x) sin (x)

= sin (x) sin (x) - sin (x) cos (x)

Klammere gleiche Terme aus

sin (x)

= sin (x) (sin (x) - cos (x))

Klammere

3 cos (x)

aus

3 sin (x) cos (x) - 3 cos^{2} (x)

aus

: 3 cos (x) (sin (x) - cos (x))

3 sin (x) cos (x) - 3 cos^{2} (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{2} (x) = cos (x) cos (x)

= 3 sin (x) cos (x) - 3 cos (x) cos (x)

Klammere gleiche Terme aus

3 cos (x)

= 3 cos (x) (sin (x) - cos (x))

= sin (x) (sin (x) - cos (x)) + 3 cos (x) (sin (x) - cos (x))

Klammere gleiche Terme aus

sin (x) - cos (x)

= (sin (x) - cos (x)) (sin (x) + 3 cos (x))

(sin (x) - cos (x)) (sin (x) + 3 cos (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (x) - cos (x) = 0 or sin (x) + 3 cos (x) = 0

sin (x) - cos (x) = 0 : x = \frac{π}{4} + πn

sin (x) - cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (x) - cos (x) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Vereinfache

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 1 = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) - 1 = 0

tan (x) - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

tan (x) - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

tan (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

tan (x) = 1

tan (x) = 1

Allgemeine Lösung für

tan (x) = 1

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

sin (x) + 3 cos (x) = 0 : x = arctan (- 3) + πn

sin (x) + 3 cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (x) + 3 cos (x) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) + 3 cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Vereinfache

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 3 = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) + 3 = 0

tan (x) + 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

tan (x) + 3 = 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

tan (x) + 3 - 3 = 0 - 3

Vereinfache

tan (x) = - 3

tan (x) = - 3

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (x) = - 3

Allgemeine Lösung für

tan (x) = - 3

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

x = arctan (- 3) + πn

x = arctan (- 3) + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{4} + πn, x = arctan (- 3) + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{4} + πn, x = arctan (- 3) + πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{4} + πn, x = - 1.24904 \dots + πn

Graph

Beliebte Beispiele

cot(x)= 15/8

cot (x) = \frac{15}{8}

cos(θ)=(-5)/4

cos (θ) = \frac{- 5}{4}

solvefor x,y=5cos(8x)-y

so l v e f or x, y = 5 cos (8 x) - y

csc(θ)= 3/2 , pi/2 <θ<(3pi)/2

csc (θ) = \frac{3}{2}, \frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}

tan(x)=(5.1)/(4.2)

tan (x) = \frac{5.1}{4.2}