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Popular Trigonometría >

sin(x)sin(2x)=sin(3x)

Solución

sin (x) sin (2 x) = sin (3 x)

Solución

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{4} + πn, x = - 1.24904 \dots + πn

Grados

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = - 71.56505 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Pasos de solución

sin (x) sin (2 x) = sin (3 x)

Restar

sin (3 x)

de ambos lados

sin (x) sin (2 x) - sin (3 x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- sin (3 x) + sin (2 x) sin (x)

sin (3 x) = - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

sin (3 x)

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (3 x)

Reescribir como

= sin (2 x + x)

Utilizar la identidad de suma de ángulos:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (2 x) cos (x) + cos (2 x) sin (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 x) sin (x) + cos (x) 2 sin (x) cos (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos (x) cos (x) sin (x)

= (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos (x) cos (x) sin (x)

Expandir

(cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos (x) cos (x) sin (x) : - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

(cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos (x) cos (x) sin (x)

2 cos (x) cos (x) sin (x) = 2 cos^{2} (x) sin (x)

2 cos (x) cos (x) sin (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 2 cos^{1 + 1} (x) sin (x)

Sumar:

1 + 1 = 2

= 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Expandir

sin (x) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) : cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x)

sin (x) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = sin (x), b = cos^{2} (x), c = sin^{2} (x)

= sin (x) cos^{2} (x) - sin (x) sin^{2} (x)

= cos^{2} (x) sin (x) - sin^{2} (x) sin (x)

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{3} (x)

sin^{2} (x) sin (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{2 + 1} (x)

= sin^{2 + 1} (x)

Sumar:

2 + 1 = 3

= sin^{3} (x)

= cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x)

= cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Simplificar

cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x) : - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Agrupar términos semejantes

= - sin^{3} (x) + cos^{2} (x) sin (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Sumar elementos similares:

cos^{2} (x) sin (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x) = 3 cos^{2} (x) sin (x)

= - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

= - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

= - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

= - (- sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)) + sin (2 x) sin (x)

- (- sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)) : sin^{3} (x) - 3 cos^{2} (x) sin (x)

- (- sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x))

Poner los parentesis

= - (- sin^{3} (x)) - (3 cos^{2} (x) sin (x))

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= sin^{3} (x) - 3 cos^{2} (x) sin (x)

= sin^{3} (x) - 3 cos^{2} (x) sin (x) + sin (2 x) sin (x)

sin^{3} (x) + sin (2 x) sin (x) - 3 cos^{2} (x) sin (x) = 0

Factorizar

sin^{3} (x) + sin (2 x) sin (x) - 3 cos^{2} (x) sin (x) : sin (x) (sin^{2} (x) + sin (2 x) - 3 cos^{2} (x))

sin^{3} (x) + sin (2 x) sin (x) - 3 cos^{2} (x) sin (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{3} (x) = sin (x) sin^{2} (x)

= sin (x) sin^{2} (x) + sin (2 x) sin (x) - 3 cos^{2} (x) sin (x)

Factorizar el termino común

sin (x)

= sin (x) (sin^{2} (x) + sin (2 x) - 3 cos^{2} (x))

sin (x) (sin^{2} (x) + sin (2 x) - 3 cos^{2} (x)) = 0

Resolver cada parte por separado

sin (x) = 0 or sin^{2} (x) + sin (2 x) - 3 cos^{2} (x) = 0

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Soluciones generales para

sin (x) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin^{2} (x) + sin (2 x) - 3 cos^{2} (x) = 0 : x = \frac{π}{4} + πn, x = arctan (- 3) + πn

sin^{2} (x) + sin (2 x) - 3 cos^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (2 x) + sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 sin (x) cos (x) + sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x)

sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x) = 0

Factorizar

sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x) : (sin (x) - cos (x)) (sin (x) + 3 cos (x))

sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x)

Factorizar la expresión

sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) - 3 cos^{2} (x)

Definición

Factores de

3 : 1, 3

3

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

3 : 3

3

3

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 3

Agregar 1

1

Divisores de

3

1, 3

Factores negativos de

3 : - 1, - 3

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 3

Por cada dos factores tales que

u * v = - 3,

revisar si

u + v = 2

Revisar

u = 1, v = - 3 : u * v = - 3, u + v = - 2 \Rightarrow

FalsoRevisar

u = 3, v = - 1 : u * v = - 3, u + v = 2 \Rightarrow

Verdadero

u = 3, v = - 1

Agrupar en

(a x^{2} + ux y) + (vx y + c y^{2})

(sin^{2} (x) - sin (x) cos (x)) + (3 sin (x) cos (x) - 3 cos^{2} (x))

= (sin^{2} (x) - sin (x) cos (x)) + (3 sin (x) cos (x) - 3 cos^{2} (x))

Factorizar

sin (x)

sin^{2} (x) - sin (x) cos (x)

sin (x) (sin (x) - cos (x))

sin^{2} (x) - sin (x) cos (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (x) = sin (x) sin (x)

= sin (x) sin (x) - sin (x) cos (x)

Factorizar el termino común

sin (x)

= sin (x) (sin (x) - cos (x))

Factorizar

3 cos (x)

3 sin (x) cos (x) - 3 cos^{2} (x)

3 cos (x) (sin (x) - cos (x))

3 sin (x) cos (x) - 3 cos^{2} (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{2} (x) = cos (x) cos (x)

= 3 sin (x) cos (x) - 3 cos (x) cos (x)

Factorizar el termino común

3 cos (x)

= 3 cos (x) (sin (x) - cos (x))

= sin (x) (sin (x) - cos (x)) + 3 cos (x) (sin (x) - cos (x))

Factorizar el termino común

sin (x) - cos (x)

= (sin (x) - cos (x)) (sin (x) + 3 cos (x))

(sin (x) - cos (x)) (sin (x) + 3 cos (x)) = 0

Resolver cada parte por separado

sin (x) - cos (x) = 0 or sin (x) + 3 cos (x) = 0

sin (x) - cos (x) = 0 : x = \frac{π}{4} + πn

sin (x) - cos (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (x) - cos (x) = 0

Dividir ambos lados entre

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplificar

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 1 = 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) - 1 = 0

tan (x) - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

tan (x) - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

tan (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

tan (x) = 1

tan (x) = 1

Soluciones generales para

tan (x) = 1

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

sin (x) + 3 cos (x) = 0 : x = arctan (- 3) + πn

sin (x) + 3 cos (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (x) + 3 cos (x) = 0

Dividir ambos lados entre

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) + 3 cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplificar

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 3 = 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) + 3 = 0

tan (x) + 3 = 0

Desplace

3

a la derecha

tan (x) + 3 = 0

Restar

3

de ambos lados

tan (x) + 3 - 3 = 0 - 3

Simplificar

tan (x) = - 3

tan (x) = - 3

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

tan (x) = - 3

Soluciones generales para

tan (x) = - 3

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

x = arctan (- 3) + πn

x = arctan (- 3) + πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{4} + πn, x = arctan (- 3) + πn

Combinar toda las soluciones

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{4} + πn, x = arctan (- 3) + πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{4} + πn, x = - 1.24904 \dots + πn

Gráfica

Ejemplos populares

cot(x)= 15/8

cos(θ)=(-5)/4

solvefor x,y=5cos(8x)-y

csc(θ)= 3/2 , pi/2 <θ<(3pi)/2

tan(x)=(5.1)/(4.2)