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Populaire Trigonométrie >

sin(x)sin(2x)=sin(3x)

Solution

sin (x) sin (2 x) = sin (3 x)

Solution

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{4} + πn, x = - 1.24904 \dots + πn

Degrés

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = - 71.56505 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

étapes des solutions

sin (x) sin (2 x) = sin (3 x)

Soustraire

sin (3 x)

des deux côtés

sin (x) sin (2 x) - sin (3 x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- sin (3 x) + sin (2 x) sin (x)

sin (3 x) = - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

sin (3 x)

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

sin (3 x)

Récrire comme

= sin (2 x + x)

Utiliser l'identité de la somme de l'angle:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (2 x) cos (x) + cos (2 x) sin (x)

Utiliser l'identité d'angle double:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 x) sin (x) + cos (x) 2 sin (x) cos (x)

Utiliser l'identité d'angle double:

cos (2 x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos (x) cos (x) sin (x)

= (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos (x) cos (x) sin (x)

Développer

(cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos (x) cos (x) sin (x) : - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

(cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos (x) cos (x) sin (x)

2 cos (x) cos (x) sin (x) = 2 cos^{2} (x) sin (x)

2 cos (x) cos (x) sin (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 2 cos^{1 + 1} (x) sin (x)

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Développer

sin (x) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) : cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x)

sin (x) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = sin (x), b = cos^{2} (x), c = sin^{2} (x)

= sin (x) cos^{2} (x) - sin (x) sin^{2} (x)

= cos^{2} (x) sin (x) - sin^{2} (x) sin (x)

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{3} (x)

sin^{2} (x) sin (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{2 + 1} (x)

= sin^{2 + 1} (x)

Additionner les nombres :

2 + 1 = 3

= sin^{3} (x)

= cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x)

= cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Simplifier

cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x) : - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Grouper comme termes

= - sin^{3} (x) + cos^{2} (x) sin (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Additionner les éléments similaires :

cos^{2} (x) sin (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x) = 3 cos^{2} (x) sin (x)

= - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

= - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

= - sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)

= - (- sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)) + sin (2 x) sin (x)

- (- sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x)) : sin^{3} (x) - 3 cos^{2} (x) sin (x)

- (- sin^{3} (x) + 3 cos^{2} (x) sin (x))

Distribuer des parenthèses

= - (- sin^{3} (x)) - (3 cos^{2} (x) sin (x))

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a, - (a) = - a

= sin^{3} (x) - 3 cos^{2} (x) sin (x)

= sin^{3} (x) - 3 cos^{2} (x) sin (x) + sin (2 x) sin (x)

sin^{3} (x) + sin (2 x) sin (x) - 3 cos^{2} (x) sin (x) = 0

Factoriser

sin^{3} (x) + sin (2 x) sin (x) - 3 cos^{2} (x) sin (x) : sin (x) (sin^{2} (x) + sin (2 x) - 3 cos^{2} (x))

sin^{3} (x) + sin (2 x) sin (x) - 3 cos^{2} (x) sin (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{3} (x) = sin (x) sin^{2} (x)

= sin (x) sin^{2} (x) + sin (2 x) sin (x) - 3 cos^{2} (x) sin (x)

Factoriser le terme commun

sin (x)

= sin (x) (sin^{2} (x) + sin (2 x) - 3 cos^{2} (x))

sin (x) (sin^{2} (x) + sin (2 x) - 3 cos^{2} (x)) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

sin (x) = 0 or sin^{2} (x) + sin (2 x) - 3 cos^{2} (x) = 0

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Solutions générales pour

sin (x) = 0

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Résoudre

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin^{2} (x) + sin (2 x) - 3 cos^{2} (x) = 0 : x = \frac{π}{4} + πn, x = arctan (- 3) + πn

sin^{2} (x) + sin (2 x) - 3 cos^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

sin (2 x) + sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x)

Utiliser l'identité d'angle double:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 sin (x) cos (x) + sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x)

sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x) = 0

Factoriser

sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x) : (sin (x) - cos (x)) (sin (x) + 3 cos (x))

sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x)

Décomposer l'expression en groupes

sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) - 3 cos^{2} (x)

Définition

Facteurs de

3 : 1, 3

3

Diviseurs (Facteurs)

Trouver les facteurs premiers de

3 : 3

3

3

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 3

Ajouter 1

1

Les facteurs de

3

1, 3

Facteurs négatifs de

3 : - 1, - 3

Multiplier les facteurs par

- 1

pour obtenir des facteurs négatifs

- 1, - 3

Pour chaque deux facteurs tels que

u * v = - 3,

vérifier si

u + v = 2

Vérifier

u = 1, v = - 3 : u * v = - 3, u + v = - 2 \Rightarrow

FauxVérifier

u = 3, v = - 1 : u * v = - 3, u + v = 2 \Rightarrow

vrai

u = 3, v = - 1

Grouper dans

(a x^{2} + ux y) + (vx y + c y^{2})

(sin^{2} (x) - sin (x) cos (x)) + (3 sin (x) cos (x) - 3 cos^{2} (x))

= (sin^{2} (x) - sin (x) cos (x)) + (3 sin (x) cos (x) - 3 cos^{2} (x))

Factoriser

sin (x)

depuis

sin^{2} (x) - sin (x) cos (x) : sin (x) (sin (x) - cos (x))

sin^{2} (x) - sin (x) cos (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (x) = sin (x) sin (x)

= sin (x) sin (x) - sin (x) cos (x)

Factoriser le terme commun

sin (x)

= sin (x) (sin (x) - cos (x))

Factoriser

3 cos (x)

depuis

3 sin (x) cos (x) - 3 cos^{2} (x) : 3 cos (x) (sin (x) - cos (x))

3 sin (x) cos (x) - 3 cos^{2} (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{2} (x) = cos (x) cos (x)

= 3 sin (x) cos (x) - 3 cos (x) cos (x)

Factoriser le terme commun

3 cos (x)

= 3 cos (x) (sin (x) - cos (x))

= sin (x) (sin (x) - cos (x)) + 3 cos (x) (sin (x) - cos (x))

Factoriser le terme commun

sin (x) - cos (x)

= (sin (x) - cos (x)) (sin (x) + 3 cos (x))

(sin (x) - cos (x)) (sin (x) + 3 cos (x)) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

sin (x) - cos (x) = 0 or sin (x) + 3 cos (x) = 0

sin (x) - cos (x) = 0 : x = \frac{π}{4} + πn

sin (x) - cos (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

sin (x) - cos (x) = 0

Diviser les deux côtés par

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplifier

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 1 = 0

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) - 1 = 0

tan (x) - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

tan (x) - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

tan (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

tan (x) = 1

tan (x) = 1

Solutions générales pour

tan (x) = 1

Tableau de périodicité

tan (x)

avec un cycle

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

sin (x) + 3 cos (x) = 0 : x = arctan (- 3) + πn

sin (x) + 3 cos (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

sin (x) + 3 cos (x) = 0

Diviser les deux côtés par

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) + 3 cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplifier

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 3 = 0

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) + 3 = 0

tan (x) + 3 = 0

Déplacer

3

vers la droite

tan (x) + 3 = 0

Soustraire

3

des deux côtés

tan (x) + 3 - 3 = 0 - 3

Simplifier

tan (x) = - 3

tan (x) = - 3

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

tan (x) = - 3

Solutions générales pour

tan (x) = - 3

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

x = arctan (- 3) + πn

x = arctan (- 3) + πn

Combiner toutes les solutions

x = \frac{π}{4} + πn, x = arctan (- 3) + πn

Combiner toutes les solutions

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{4} + πn, x = arctan (- 3) + πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{4} + πn, x = - 1.24904 \dots + πn

Graphe

Exemples populaires

cot(x)= 15/8

cos(θ)=(-5)/4

solvefor x,y=5cos(8x)-y

csc(θ)= 3/2 , pi/2 <θ<(3pi)/2

tan(x)=(5.1)/(4.2)