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Populaire Trigonométrie >

sec^4(x)=sec^2(x)tan^2(x)-2tan^4(x)

Solution

sec^{4} (x) = sec^{2} (x) tan^{2} (x) - 2 tan^{4} (x)

Solution

Aucune solution pour x \in R

étapes des solutions

sec^{4} (x) = sec^{2} (x) tan^{2} (x) - 2 tan^{4} (x)

Soustraire

sec^{2} (x) tan^{2} (x) - 2 tan^{4} (x)

des deux côtés

sec^{4} (x) - sec^{2} (x) tan^{2} (x) + 2 tan^{4} (x) = 0

Exprimer avec sinus, cosinus

sec^{4} (x) + 2 tan^{4} (x) - sec^{2} (x) tan^{2} (x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (\frac{1}{cos ( x )})^{4} + 2 tan^{4} (x) - (\frac{1}{cos ( x )})^{2} tan^{2} (x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (\frac{1}{cos ( x )})^{4} + 2 (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{4} - (\frac{1}{cos ( x )})^{2} (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Simplifier

(\frac{1}{cos ( x )})^{4} + 2 (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{4} - (\frac{1}{cos ( x )})^{2} (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} : \frac{1 + 2 sin ^{4} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{4} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{4} + 2 (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{4} - (\frac{1}{cos ( x )})^{2} (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

(\frac{1}{cos ( x )})^{4} = \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{4}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{4}}{cos ^{4} ( x )}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{4} = 1

= \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

2 (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{4} = \frac{2 sin ^{4} ( x )}{cos ^{4} ( x )}

2 (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{4}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{4} = \frac{sin ^{4} ( x )}{cos ^{4} ( x )}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{4}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{4} ( x )}{cos ^{4} ( x )}

= 2 \cdot \frac{sin ^{4} ( x )}{cos ^{4} ( x )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ^{4} ( x ) \cdot 2}{cos ^{4} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{4} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )} \cdot \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multiplier des fractions:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

Multiplier:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

cos^{2} (x) cos^{2} (x) = cos^{4} (x)

cos^{2} (x) cos^{2} (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos^{2} (x) = cos^{2 + 2} (x)

= cos^{2 + 2} (x)

Additionner les nombres :

2 + 2 = 4

= cos^{4} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{1}{cos ^{4} ( x )} + \frac{2 sin ^{4} ( x )}{cos ^{4} ( x )} - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{4} ( x )}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + 2 sin ^{4} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{1 + 2 sin ^{4} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{4} ( x )}

\frac{1 - sin ^{2} ( x ) + 2 sin ^{4} ( x )}{cos ^{4} ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 - sin^{2} (x) + 2 sin^{4} (x) = 0

Résoudre par substitution

1 - sin^{2} (x) + 2 sin^{4} (x) = 0

Soit :

sin (x) = u

1 - u^{2} + 2 u^{4} = 0

1 - u^{2} + 2 u^{4} = 0 : u = \frac{7}{2 2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2 2} i, u = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1} - \frac{2 2 - 1}{2 2} i, u = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2 2} i, u = \frac{7}{2 2 2 2 - 1} - \frac{2 2 - 1}{2 2} i

1 - u^{2} + 2 u^{4} = 0

Ecrire sous la forme standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

2 u^{4} - u^{2} + 1 = 0

Récrire l'équation avec

a = u^{2}

a^{2} = u^{4}

2 a^{2} - a + 1 = 0

Résoudre

2 a^{2} - a + 1 = 0 : a = \frac{1}{4} + i \frac{7}{4}, a = \frac{1}{4} - i \frac{7}{4}

2 a^{2} - a + 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

2 a^{2} - a + 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 2, b = - 1, c = 1

a_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

a_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

Simplifier

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 : 7 i

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 8

= 1 - 8

Soustraire les nombres :

1 - 8 = - 7

= - 7

Appliquer la règle des radicaux:

- a = - 1 a

- 7 = - 1 7

= - 1 7

Appliquer la règle du nombre imaginaire:

- 1 = i

= 7 i

a_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 7 i}{2 \cdot 2}

Séparer les solutions

a_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 7 i}{2 \cdot 2}, a_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 7 i}{2 \cdot 2}

a = \frac{- ( - 1 ) + 7 i}{2 \cdot 2} : \frac{1}{4} + i \frac{7}{4}

\frac{- ( - 1 ) + 7 i}{2 \cdot 2}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{1 + 7 i}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{1 + 7 i}{4}

Récrire

\frac{1 + 7 i}{4}

sous la forme complexe standard :

\frac{1}{4} + \frac{7}{4} i

\frac{1 + 7 i}{4}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + 7 i}{4} = \frac{1}{4} + \frac{7 i}{4}

= \frac{1}{4} + \frac{7 i}{4}

= \frac{1}{4} + \frac{7}{4} i

a = \frac{- ( - 1 ) - 7 i}{2 \cdot 2} : \frac{1}{4} - i \frac{7}{4}

\frac{- ( - 1 ) - 7 i}{2 \cdot 2}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{1 - 7 i}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{1 - 7 i}{4}

Récrire

\frac{1 - 7 i}{4}

sous la forme complexe standard :

\frac{1}{4} - \frac{7}{4} i

\frac{1 - 7 i}{4}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 - 7 i}{4} = \frac{1}{4} - \frac{7 i}{4}

= \frac{1}{4} - \frac{7 i}{4}

= \frac{1}{4} - \frac{7}{4} i

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

a = \frac{1}{4} + i \frac{7}{4}, a = \frac{1}{4} - i \frac{7}{4}

a = \frac{1}{4} + i \frac{7}{4}, a = \frac{1}{4} - i \frac{7}{4}

Resubstituer

a = u^{2},

résoudre pour

u

Résoudre

u^{2} = \frac{1}{4} + i \frac{7}{4} : u = \frac{7}{2 2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2 2} i, u = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1} - \frac{2 2 - 1}{2 2} i

u^{2} = \frac{1}{4} + i \frac{7}{4}

Remplacer

u = a + bi

(a + bi)^{2} = \frac{1}{4} + i \frac{7}{4}

Développer

(a + bi)^{2} : (a^{2} - b^{2}) + 2 iab

(a + bi)^{2}

= (a + ib)^{2}

Appliquer la formule du carré parfait:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = a, b = bi

= a^{2} + 2 abi + (bi)^{2}

(bi)^{2} = - b^{2}

(bi)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= i^{2} b^{2}

i^{2} = - 1

i^{2}

Appliquer la règle du nombre imaginaire:

i^{2} = - 1

= - 1

= (- 1) b^{2}

Redéfinir

= - b^{2}

= a^{2} + 2 iab - b^{2}

Récrire

a^{2} + 2 iab - b^{2}

sous la forme complexe standard :

(a^{2} - b^{2}) + 2 abi

a^{2} + 2 iab - b^{2}

Grouper la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe

= (a^{2} - b^{2}) + 2 abi

= (a^{2} - b^{2}) + 2 abi

(a^{2} - b^{2}) + 2 iab = \frac{1}{4} + i \frac{7}{4}

Les nombres complexes ne peuvent être égaux que si leur parties réelles et imaginaires sont égalesRécrire comme un système d'équations :

[a^{2} - b^{2} = \frac{1}{4} 2 ab = \frac{7}{4}]

[a^{2} - b^{2} = \frac{1}{4} 2 ab = \frac{7}{4}] : a = \frac{7}{2 2 2 2 - 1}, a = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}, b = \frac{2 2 - 1}{2 2} b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

[a^{2} - b^{2} = \frac{1}{4} 2 ab = \frac{7}{4}]

Isoler

a

pour

2 ab = \frac{7}{4} : a = \frac{7}{8 b}

2 ab = \frac{7}{4}

Diviser les deux côtés par

2 b

2 ab = \frac{7}{4}

Diviser les deux côtés par

2 b

\frac{2 ab}{2 b} = \frac{\frac{7}{4}}{2 b}

Simplifier

\frac{2 ab}{2 b} = \frac{\frac{7}{4}}{2 b}

Simplifier

\frac{2 ab}{2 b} : a

\frac{2 ab}{2 b}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= \frac{ab}{b}

Annuler le facteur commun :

b

= a

Simplifier

\frac{\frac{7}{4}}{2 b} : \frac{7}{8 b}

\frac{\frac{7}{4}}{2 b}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{7}{4 \cdot 2 b}

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 = 8

= \frac{7}{8 b}

a = \frac{7}{8 b}

a = \frac{7}{8 b}

a = \frac{7}{8 b}

Intégrer les solutions

a = \frac{7}{8 b}

dans

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{4}

Pour

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{4}

, remplacer

a

par

\frac{7}{8 b} : b = \frac{2 2 - 1}{2 2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

Pour

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{4}

, remplacer

a

par

\frac{7}{8 b}

(\frac{7}{8 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{4}

Résoudre

(\frac{7}{8 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{4} : b = \frac{2 2 - 1}{2 2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

(\frac{7}{8 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{4}

Multiplier par le PPCM

(\frac{7}{8 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{4}

Simplifier

(\frac{7}{8 b})^{2} : \frac{7}{64 b ^{2}}

(\frac{7}{8 b})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 7 ) ^{2}}{( 8 b ) ^{2}}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(8 b)^{2} = 8^{2} b^{2}

= \frac{( 7 ) ^{2}}{8 ^{2} b ^{2}}

(7)^{2} : 7

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (7^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 7

= \frac{7}{8 ^{2} b ^{2}}

8^{2} = 64

= \frac{7}{64 b ^{2}}

\frac{7}{64 b ^{2}} - b^{2} = \frac{1}{4}

Trouver le plus petit commun multiple de

64 b^{2}, 4 : 64 b^{2}

64 b^{2}, 4

Plus petit commun multiple (PPCM)

Plus petit commun multiple de

64, 4 : 64

64, 4

Plus petit commun multiple (PPCM)

Factorisation première de

64 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

64

64

divisée par

264 = 32 \cdot 2

= 2 \cdot 32

32

divisée par

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 16

16

divisée par

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8

8

divisée par

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Factorisation première de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Multiplier chaque facteur qui apparait le plus grand nombre de fois dans

64

4

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64

= 64

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

64 b^{2}

ou dans

4

= 64 b^{2}

Multipier par PPCM =

64 b^{2}

\frac{7}{64 b ^{2}} \cdot 64 b^{2} - b^{2} \cdot 64 b^{2} = \frac{1}{4} \cdot 64 b^{2}

Simplifier

\frac{7}{64 b ^{2}} \cdot 64 b^{2} - b^{2} \cdot 64 b^{2} = \frac{1}{4} \cdot 64 b^{2}

Simplifier

\frac{7}{64 b ^{2}} \cdot 64 b^{2} : 7

\frac{7}{64 b ^{2}} \cdot 64 b^{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{7 \cdot 64 b ^{2}}{64 b ^{2}}

Annuler le facteur commun :

64

= \frac{7 b ^{2}}{b ^{2}}

Annuler le facteur commun :

b^{2}

= 7

Simplifier

- b^{2} \cdot 64 b^{2} : - 64 b^{4}

- b^{2} \cdot 64 b^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

b^{2} b^{2} = b^{2 + 2}

= - 64 b^{2 + 2}

Additionner les nombres :

2 + 2 = 4

= - 64 b^{4}

Simplifier

\frac{1}{4} \cdot 64 b^{2} : 16 b^{2}

\frac{1}{4} \cdot 64 b^{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 64}{4} b^{2}

\frac{1 \cdot 64}{4} = 16

\frac{1 \cdot 64}{4}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 64 = 64

= \frac{64}{4}

Diviser les nombres :

\frac{64}{4} = 16

= 16

= 16 b^{2}

7 - 64 b^{4} = 16 b^{2}

7 - 64 b^{4} = 16 b^{2}

7 - 64 b^{4} = 16 b^{2}

Résoudre

7 - 64 b^{4} = 16 b^{2} : b = \frac{2 2 - 1}{2 2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

7 - 64 b^{4} = 16 b^{2}

Déplacer

16 b^{2}

vers la gauche

7 - 64 b^{4} = 16 b^{2}

Soustraire

16 b^{2}

des deux côtés

7 - 64 b^{4} - 16 b^{2} = 16 b^{2} - 16 b^{2}

Simplifier

7 - 64 b^{4} - 16 b^{2} = 0

7 - 64 b^{4} - 16 b^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- 64 b^{4} - 16 b^{2} + 7 = 0

Récrire l'équation avec

u = b^{2}

u^{2} = b^{4}

- 64 u^{2} - 16 u + 7 = 0

Résoudre

- 64 u^{2} - 16 u + 7 = 0 : u = - \frac{1 + 2 2}{8}, u = \frac{2 2 - 1}{8}

- 64 u^{2} - 16 u + 7 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 64 u^{2} - 16 u + 7 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 64, b = - 16, c = 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm ( - 16 ) ^{2} - 4 ( - 64 ) \cdot 7}{2 ( - 64 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm ( - 16 ) ^{2} - 4 ( - 64 ) \cdot 7}{2 ( - 64 )}

(- 16)^{2} - 4 (- 64) \cdot 7 = 322

(- 16)^{2} - 4 (- 64) \cdot 7

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 16)^{2} + 4 \cdot 64 \cdot 7

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 16)^{2} = 1 6^{2}

= 1 6^{2} + 4 \cdot 64 \cdot 7

Multiplier les nombres :

4 \cdot 64 \cdot 7 = 1792

= 1 6^{2} + 1792

1 6^{2} = 256

= 256 + 1792

Additionner les nombres :

256 + 1792 = 2048

= 2048

Factorisation première de

2048 : 2^{11}

2048

2048

divisée par

22048 = 1024 \cdot 2

= 2 \cdot 1024

1024

divisée par

21024 = 512 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 512

512

divisée par

2512 = 256 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 256

256

divisée par

2256 = 128 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 128

128

divisée par

2128 = 64 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 64

64

divisée par

264 = 32 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 32

32

divisée par

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 16

16

divisée par

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8

8

divisée par

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{11}

= 2^{11}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{10} \cdot 2

Appliquer la règle des radicaux:

= 2 2^{10}

Appliquer la règle des radicaux:

2^{10} = 2^{\frac{10}{2}} = 2^{5}

= 2^{5} 2

Redéfinir

= 322

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm 32 2}{2 ( - 64 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 16 ) + 32 2}{2 ( - 64 )}, u_{2} = \frac{- ( - 16 ) - 32 2}{2 ( - 64 )}

u = \frac{- ( - 16 ) + 32 2}{2 ( - 64 )} : - \frac{1 + 2 2}{8}

\frac{- ( - 16 ) + 32 2}{2 ( - 64 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{16 + 32 2}{- 2 \cdot 64}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 64 = 128

= \frac{16 + 32 2}{- 128}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{16 + 32 2}{128}

Annuler

\frac{16 + 32 2}{128} : \frac{1 + 2 2}{8}

\frac{16 + 32 2}{128}

Factoriser

16 + 322 : 16 (1 + 22)

16 + 322

Récrire comme

= 16 \cdot 1 + 16 \cdot 22

Factoriser le terme commun

16

= 16 (1 + 22)

= \frac{16 ( 1 + 2 2 )}{128}

Annuler le facteur commun :

16

= \frac{1 + 2 2}{8}

= - \frac{1 + 2 2}{8}

u = \frac{- ( - 16 ) - 32 2}{2 ( - 64 )} : \frac{2 2 - 1}{8}

\frac{- ( - 16 ) - 32 2}{2 ( - 64 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{16 - 32 2}{- 2 \cdot 64}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 64 = 128

= \frac{16 - 32 2}{- 128}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

16 - 322 = - (322 - 16)

= \frac{32 2 - 16}{128}

Factoriser

322 - 16 : 16 (22 - 1)

322 - 16

Récrire comme

= 16 \cdot 22 - 16 \cdot 1

Factoriser le terme commun

16

= 16 (22 - 1)

= \frac{16 ( 2 2 - 1 )}{128}

Annuler le facteur commun :

16

= \frac{2 2 - 1}{8}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - \frac{1 + 2 2}{8}, u = \frac{2 2 - 1}{8}

u = - \frac{1 + 2 2}{8}, u = \frac{2 2 - 1}{8}

Resubstituer

u = b^{2},

résoudre pour

b

Résoudre

b^{2} = - \frac{1 + 2 2}{8} :

Aucune solution pour

b \in R

b^{2} = - \frac{1 + 2 2}{8}

x^{2}

ne peut pas être négative pour

x \in R

Aucune solution pour b \in R

Résoudre

b^{2} = \frac{2 2 - 1}{8} : b = \frac{2 2 - 1}{2 2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

b^{2} = \frac{2 2 - 1}{8}

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

b = \frac{2 2 - 1}{8}, b = - \frac{2 2 - 1}{8}

\frac{2 2 - 1}{8} = \frac{2 2 - 1}{2 2}

\frac{2 2 - 1}{8}

Appliquer la règle des radicaux:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{2 2 - 1}{8}

8 = 22

8

Factorisation première de

8 : 2^{3}

8

8

divisée par

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

2^{3} = 2^{2} \cdot 2

= 2^{2} \cdot 2

Appliquer la règle des radicaux:

ab = a b, a \geq 0, b \geq 0

2^{2} \cdot 2 = 2^{2} 2

= 2^{2} 2

Appliquer la règle des radicaux:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 22

= \frac{2 2 - 1}{2 2}

- \frac{2 2 - 1}{8} = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

- \frac{2 2 - 1}{8}

Appliquer la règle des radicaux:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{2 2 - 1}{8}

8 = 22

8

Factorisation première de

8 : 2^{3}

8

8

divisée par

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

2^{3} = 2^{2} \cdot 2

= 2^{2} \cdot 2

Appliquer la règle des radicaux:

ab = a b, a \geq 0, b \geq 0

2^{2} \cdot 2 = 2^{2} 2

= 2^{2} 2

Appliquer la règle des radicaux:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 22

= - \frac{2 2 - 1}{2 2}

b = \frac{2 2 - 1}{2 2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

Les solutions sont

b = \frac{2 2 - 1}{2 2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

b = \frac{2 2 - 1}{2 2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

b = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

(\frac{7}{8 b})^{2} - b^{2}

et le comparer à zéro

Résoudre

8 b = 0 : b = 0

8 b = 0

Diviser les deux côtés par

8

8 b = 0

Diviser les deux côtés par

8

\frac{8 b}{8} = \frac{0}{8}

Simplifier

b = 0

b = 0

Les points suivants ne sont pas définis

b = 0

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

b = \frac{2 2 - 1}{2 2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

Intégrer les solutions

b = \frac{2 2 - 1}{2 2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

dans

2 ab = \frac{7}{4}

Pour

2 ab = \frac{7}{4}

, remplacer

b

par

\frac{2 2 - 1}{2 2} : a = \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

Pour

2 ab = \frac{7}{4}

, remplacer

b

par

\frac{2 2 - 1}{2 2}

2 a \frac{2 2 - 1}{2 2} = \frac{7}{4}

Résoudre

2 a \frac{2 2 - 1}{2 2} = \frac{7}{4} : a = \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

2 a \frac{2 2 - 1}{2 2} = \frac{7}{4}

Multiplier les deux côtés par

22

2 a \frac{2 2 - 1}{2 2} = \frac{7}{4}

Multiplier les deux côtés par

22

2 a \frac{2 2 - 1}{2 2} \cdot 22 = \frac{7 \cdot 2 2}{4}

Simplifier

2 a \frac{2 2 - 1}{2 2} \cdot 22 = \frac{7 \cdot 2 2}{4}

Simplifier

2 a \frac{2 2 - 1}{2 2} \cdot 22 : 2 a 22 - 1

2 a \frac{2 2 - 1}{2 2} \cdot 22

2 \cdot 2 = 2^{2}

2 \cdot 2

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2 \cdot 2 = 2^{1 + 1}

= 2^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 2^{2}

= 2^{2} a \frac{2 2 - 1}{2 2} 2

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= 2^{2} a \frac{2 2 - 1}{2 2} \cdot 2^{\frac{1}{2}}

2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{2}}

2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{2 + \frac{1}{2}}

= 2^{2 + \frac{1}{2}}

2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

2 + \frac{1}{2}

Convertir un élément en fraction:

2 = \frac{2 \cdot 2}{2}

= \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 \cdot 2 + 1}{2}

2 \cdot 2 + 1 = 5

2 \cdot 2 + 1

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= 4 + 1

Additionner les nombres :

4 + 1 = 5

= 5

= \frac{5}{2}

= 2^{\frac{5}{2}}

= 2^{\frac{5}{2}} a \frac{2 2 - 1}{2 2}

Appliquer la règle des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 ^{\frac{5}{2}} a 2 2 - 1}{2 2}

Annuler

\frac{2 ^{\frac{5}{2}} a 2 2 - 1}{2 2} : 2 a 22 - 1

\frac{2 ^{\frac{5}{2}} a 2 2 - 1}{2 2}

\frac{2 ^{\frac{5}{2}}}{2 2} = 2

\frac{2 ^{\frac{5}{2}}}{2 2}

Simplifier

\frac{2 ^{\frac{5}{2}}}{2} : 2^{\frac{3}{2}}

\frac{2 ^{\frac{5}{2}}}{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

= 2^{\frac{5}{2} - 1}

\frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2}

\frac{5}{2} - 1

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot 2 + 5}{2}

- 1 \cdot 2 + 5 = 3

- 1 \cdot 2 + 5

Multiplier les nombres :

1 \cdot 2 = 2

= - 2 + 5

Additionner/Soustraire les nombres :

- 2 + 5 = 3

= 3

= \frac{3}{2}

= 2^{\frac{3}{2}}

= \frac{2 ^{\frac{3}{2}}}{2}

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{\frac{3}{2}}}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Simplifier

\frac{2 ^{\frac{3}{2}}}{2 ^{\frac{1}{2}}} : 2

\frac{2 ^{\frac{3}{2}}}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Appliquer la règle de l'exposant:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

= 2^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}

\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1

\frac{3}{2} - \frac{1}{2}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 - 1}{2}

Soustraire les nombres :

3 - 1 = 2

= \frac{2}{2}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 2^{1}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{1} = a

= 2

= 2

= 2 a 22 - 1

= 2 a 22 - 1

Simplifier

\frac{7 \cdot 2 2}{4} : \frac{7}{2}

\frac{7 \cdot 2 2}{4}

Factoriser le nombre :

4 = 2 \cdot 2

= \frac{7 \cdot 2 2}{2 \cdot 2}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{7 2}{2}

Appliquer la règle des radicaux:

a = a a

2 = 22

= \frac{7 2}{2 2}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{7}{2}

2 a 22 - 1 = \frac{7}{2}

2 a 22 - 1 = \frac{7}{2}

2 a 22 - 1 = \frac{7}{2}

Diviser les deux côtés par

2 22 - 1

2 a 22 - 1 = \frac{7}{2}

Diviser les deux côtés par

2 22 - 1

\frac{2 a 2 2 - 1}{2 2 2 - 1} = \frac{\frac{7}{2}}{2 2 2 - 1}

Simplifier

\frac{2 a 2 2 - 1}{2 2 2 - 1} = \frac{\frac{7}{2}}{2 2 2 - 1}

Simplifier

\frac{2 a 2 2 - 1}{2 2 2 - 1} : a

\frac{2 a 2 2 - 1}{2 2 2 - 1}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{a 2 2 - 1}{2 2 - 1}

Annuler le facteur commun :

22 - 1

= a

Simplifier

\frac{\frac{7}{2}}{2 2 2 - 1} : \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

\frac{\frac{7}{2}}{2 2 2 - 1}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{a}{b \cdot c}

= \frac{7}{2 \cdot 2 2 2 - 1}

= \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

a = \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

a = \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

a = \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

Pour

2 ab = \frac{7}{4}

, remplacer

b

par

- \frac{2 2 - 1}{2 2} : a = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

Pour

2 ab = \frac{7}{4}

, remplacer

b

par

- \frac{2 2 - 1}{2 2}

2 a (- \frac{2 2 - 1}{2 2}) = \frac{7}{4}

Résoudre

2 a (- \frac{2 2 - 1}{2 2}) = \frac{7}{4} : a = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

2 a (- \frac{2 2 - 1}{2 2}) = \frac{7}{4}

Diviser les deux côtés par

2 (- \frac{2 2 - 1}{2 2})

2 a (- \frac{2 2 - 1}{2 2}) = \frac{7}{4}

Diviser les deux côtés par

2 (- \frac{2 2 - 1}{2 2})

\frac{2 a ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )} = \frac{\frac{7}{4}}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}

Simplifier

\frac{2 a ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )} = \frac{\frac{7}{4}}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}

Simplifier

\frac{2 a ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )} : a

\frac{2 a ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}

Simplifier

\frac{2 a ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )} : \frac{- 2 a \frac{2 2 - 1}{2 2}}{- 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2 2}}

\frac{2 a ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}

Appliquer une règle:

a (- b) = - ab

2 a (- \frac{2 2 - 1}{2 2}) = - 2 a \frac{2 2 - 1}{2 2}

= \frac{- 2 a \frac{2 2 - 1}{2 2}}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}

Appliquer une règle:

a (- b) = - ab

2 (- \frac{2 2 - 1}{2 2}) = - 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2 2}

= \frac{- 2 a \frac{2 2 - 1}{2 2}}{- 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2 2}}

= \frac{- 2 a \frac{2 2 - 1}{2 2}}{- 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2 2}}

Annuler le facteur commun :

- 2

= \frac{a \frac{2 2 - 1}{2 2}}{\frac{2 2 - 1}{2 2}}

Annuler le facteur commun :

\frac{2 2 - 1}{2 2}

= a

Simplifier

\frac{\frac{7}{4}}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )} : - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

\frac{\frac{7}{4}}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{a}{b \cdot c}

= \frac{7}{4 \cdot 2 ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}

Appliquer une règle:

a (- b) = - ab

4 \cdot 2 (- \frac{2 2 - 1}{2 2}) = - 4 \cdot 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2 2}

= \frac{7}{- 4 \cdot 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2 2}}

- 4 \cdot 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2 2} = - 2 \cdot 2 22 - 1

- 4 \cdot 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2 2}

Convertir

4

en fraction

: \frac{4}{1}

4

Convertir un élément en fraction:

4 = \frac{4}{1}

= \frac{4}{1}

= - \frac{4}{1} \cdot 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2 2}

Convertir

2

en fraction

: \frac{2}{1}

2

Convertir un élément en fraction:

2 = \frac{2}{1}

= \frac{2}{1}

= - \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{2 2 - 1}{2 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

\frac{4}{1} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{2 2 - 1}{2 2} = \frac{4 \cdot 2 2 2 - 1}{1 \cdot 1 \cdot 2 2}

= - \frac{4 \cdot 2 2 2 - 1}{1 \cdot 1 \cdot 2 2}

\frac{4 \cdot 2 2 2 - 1}{1 \cdot 1 \cdot 2 2} = 2 \cdot 2 22 - 1

\frac{4 \cdot 2 2 2 - 1}{1 \cdot 1 \cdot 2 2}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 1 \cdot 2 = 2

= \frac{4 \cdot 2 2 2 - 1}{2 2}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{4 2 2 - 1}{2}

Factoriser le nombre :

4 = 2 \cdot 2

= \frac{2 \cdot 2 2 2 - 1}{2}

Appliquer la règle des radicaux:

a = a a

2 = 22

= \frac{2 2 \cdot 2 2 2 - 1}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 2 \cdot 2 22 - 1

= - 2 \cdot 2 22 - 1

= \frac{7}{- 2 \cdot 2 2 2 - 1}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{7}{2 \cdot 2 2 2 - 1}

= - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

a = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

a = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

a = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

Vérifier des solutions en les intégrant dans les équations d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{4}

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

a = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2} :

vrai

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{4}

Insérer

a = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

(- \frac{7}{2 2 2 2 - 1})^{2} - (- \frac{2 2 - 1}{2 2})^{2} = \frac{1}{4}

Redéfinir

\frac{1}{4} = \frac{1}{4}

vrai

Vérifier la solution

a = \frac{7}{2 2 2 2 - 1}, b = \frac{2 2 - 1}{2 2} :

vrai

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{4}

Insérer

a = \frac{7}{2 2 2 2 - 1}, b = \frac{2 2 - 1}{2 2}

(\frac{7}{2 2 2 2 - 1})^{2} - (\frac{2 2 - 1}{2 2})^{2} = \frac{1}{4}

Redéfinir

\frac{1}{4} = \frac{1}{4}

vrai

Vérifier des solutions en les intégrant dans

2 ab = \frac{7}{4}

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

a = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2} :

vrai

2 ab = \frac{7}{4}

Insérer

a = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

2 (- \frac{7}{2 2 2 2 - 1}) (- \frac{2 2 - 1}{2 2}) = \frac{7}{4}

Redéfinir

\frac{7}{4} = \frac{7}{4}

vrai

Vérifier la solution

a = \frac{7}{2 2 2 2 - 1}, b = \frac{2 2 - 1}{2 2} :

vrai

2 ab = \frac{7}{4}

Insérer

a = \frac{7}{2 2 2 2 - 1}, b = \frac{2 2 - 1}{2 2}

2 \cdot \frac{7}{2 2 2 2 - 1} \cdot \frac{2 2 - 1}{2 2} = \frac{7}{4}

Redéfinir

\frac{7}{4} = \frac{7}{4}

vrai

Par conséquent, les solutions finales pour

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{4}, 2 ab = \frac{7}{4}

sont

a = \frac{7}{2 2 2 2 - 1}, a = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}, b = \frac{2 2 - 1}{2 2} b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

Remplacer

u = a + bi

u = \frac{7}{2 2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2 2} i, u = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1} - \frac{2 2 - 1}{2 2} i

Résoudre

u^{2} = \frac{1}{4} - i \frac{7}{4} : u = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2 2} i, u = \frac{7}{2 2 2 2 - 1} - \frac{2 2 - 1}{2 2} i

u^{2} = \frac{1}{4} - i \frac{7}{4}

Remplacer

u = a + bi

(a + bi)^{2} = \frac{1}{4} - i \frac{7}{4}

Développer

(a + bi)^{2} : (a^{2} - b^{2}) + 2 iab

(a + bi)^{2}

= (a + ib)^{2}

Appliquer la formule du carré parfait:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = a, b = bi

= a^{2} + 2 abi + (bi)^{2}

(bi)^{2} = - b^{2}

(bi)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= i^{2} b^{2}

i^{2} = - 1

i^{2}

Appliquer la règle du nombre imaginaire:

i^{2} = - 1

= - 1

= (- 1) b^{2}

Redéfinir

= - b^{2}

= a^{2} + 2 iab - b^{2}

Récrire

a^{2} + 2 iab - b^{2}

sous la forme complexe standard :

(a^{2} - b^{2}) + 2 abi

a^{2} + 2 iab - b^{2}

Grouper la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe

= (a^{2} - b^{2}) + 2 abi

= (a^{2} - b^{2}) + 2 abi

(a^{2} - b^{2}) + 2 iab = \frac{1}{4} - i \frac{7}{4}

Les nombres complexes ne peuvent être égaux que si leur parties réelles et imaginaires sont égalesRécrire comme un système d'équations :

[a^{2} - b^{2} = \frac{1}{4} 2 ab = - \frac{7}{4}]

[a^{2} - b^{2} = \frac{1}{4} 2 ab = - \frac{7}{4}] : a = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}, a = \frac{7}{2 2 2 2 - 1}, b = \frac{2 2 - 1}{2 2} b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

[a^{2} - b^{2} = \frac{1}{4} 2 ab = - \frac{7}{4}]

Isoler

a

pour

2 ab = - \frac{7}{4} : a = - \frac{7}{8 b}

2 ab = - \frac{7}{4}

Diviser les deux côtés par

2 b

2 ab = - \frac{7}{4}

Diviser les deux côtés par

2 b

\frac{2 ab}{2 b} = \frac{- \frac{7}{4}}{2 b}

Simplifier

\frac{2 ab}{2 b} = \frac{- \frac{7}{4}}{2 b}

Simplifier

\frac{2 ab}{2 b} : a

\frac{2 ab}{2 b}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= \frac{ab}{b}

Annuler le facteur commun :

b

= a

Simplifier

\frac{- \frac{7}{4}}{2 b} : - \frac{7}{8 b}

\frac{- \frac{7}{4}}{2 b}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{7}{4}}{2 b}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{7}{4}}{2 b} = \frac{7}{4 \cdot 2 b}

= - \frac{7}{4 \cdot 2 b}

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 = 8

= - \frac{7}{8 b}

a = - \frac{7}{8 b}

a = - \frac{7}{8 b}

a = - \frac{7}{8 b}

Intégrer les solutions

a = - \frac{7}{8 b}

dans

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{4}

Pour

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{4}

, remplacer

a

par

- \frac{7}{8 b} : b = \frac{2 2 - 1}{2 2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

Pour

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{4}

, remplacer

a

par

- \frac{7}{8 b}

(- \frac{7}{8 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{4}

Résoudre

(- \frac{7}{8 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{4} : b = \frac{2 2 - 1}{2 2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

(- \frac{7}{8 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{4}

Multiplier par le PPCM

(- \frac{7}{8 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{4}

Simplifier

(- \frac{7}{8 b})^{2} : \frac{7}{64 b ^{2}}

(- \frac{7}{8 b})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- \frac{7}{8 b})^{2} = (\frac{7}{8 b})^{2}

= (\frac{7}{8 b})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 7 ) ^{2}}{( 8 b ) ^{2}}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(8 b)^{2} = 8^{2} b^{2}

= \frac{( 7 ) ^{2}}{8 ^{2} b ^{2}}

(7)^{2} : 7

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (7^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 7

= \frac{7}{8 ^{2} b ^{2}}

8^{2} = 64

= \frac{7}{64 b ^{2}}

\frac{7}{64 b ^{2}} - b^{2} = \frac{1}{4}

Trouver le plus petit commun multiple de

64 b^{2}, 4 : 64 b^{2}

64 b^{2}, 4

Plus petit commun multiple (PPCM)

Plus petit commun multiple de

64, 4 : 64

64, 4

Plus petit commun multiple (PPCM)

Factorisation première de

64 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

64

64

divisée par

264 = 32 \cdot 2

= 2 \cdot 32

32

divisée par

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 16

16

divisée par

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8

8

divisée par

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Factorisation première de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Multiplier chaque facteur qui apparait le plus grand nombre de fois dans

64

4

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64

= 64

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

64 b^{2}

ou dans

4

= 64 b^{2}

Multipier par PPCM =

64 b^{2}

\frac{7}{64 b ^{2}} \cdot 64 b^{2} - b^{2} \cdot 64 b^{2} = \frac{1}{4} \cdot 64 b^{2}

Simplifier

\frac{7}{64 b ^{2}} \cdot 64 b^{2} - b^{2} \cdot 64 b^{2} = \frac{1}{4} \cdot 64 b^{2}

Simplifier

\frac{7}{64 b ^{2}} \cdot 64 b^{2} : 7

\frac{7}{64 b ^{2}} \cdot 64 b^{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{7 \cdot 64 b ^{2}}{64 b ^{2}}

Annuler le facteur commun :

64

= \frac{7 b ^{2}}{b ^{2}}

Annuler le facteur commun :

b^{2}

= 7

Simplifier

- b^{2} \cdot 64 b^{2} : - 64 b^{4}

- b^{2} \cdot 64 b^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

b^{2} b^{2} = b^{2 + 2}

= - 64 b^{2 + 2}

Additionner les nombres :

2 + 2 = 4

= - 64 b^{4}

Simplifier

\frac{1}{4} \cdot 64 b^{2} : 16 b^{2}

\frac{1}{4} \cdot 64 b^{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 64}{4} b^{2}

\frac{1 \cdot 64}{4} = 16

\frac{1 \cdot 64}{4}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 64 = 64

= \frac{64}{4}

Diviser les nombres :

\frac{64}{4} = 16

= 16

= 16 b^{2}

7 - 64 b^{4} = 16 b^{2}

7 - 64 b^{4} = 16 b^{2}

7 - 64 b^{4} = 16 b^{2}

Résoudre

7 - 64 b^{4} = 16 b^{2} : b = \frac{2 2 - 1}{2 2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

7 - 64 b^{4} = 16 b^{2}

Déplacer

16 b^{2}

vers la gauche

7 - 64 b^{4} = 16 b^{2}

Soustraire

16 b^{2}

des deux côtés

7 - 64 b^{4} - 16 b^{2} = 16 b^{2} - 16 b^{2}

Simplifier

7 - 64 b^{4} - 16 b^{2} = 0

7 - 64 b^{4} - 16 b^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- 64 b^{4} - 16 b^{2} + 7 = 0

Récrire l'équation avec

u = b^{2}

u^{2} = b^{4}

- 64 u^{2} - 16 u + 7 = 0

Résoudre

- 64 u^{2} - 16 u + 7 = 0 : u = - \frac{1 + 2 2}{8}, u = \frac{2 2 - 1}{8}

- 64 u^{2} - 16 u + 7 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 64 u^{2} - 16 u + 7 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 64, b = - 16, c = 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm ( - 16 ) ^{2} - 4 ( - 64 ) \cdot 7}{2 ( - 64 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm ( - 16 ) ^{2} - 4 ( - 64 ) \cdot 7}{2 ( - 64 )}

(- 16)^{2} - 4 (- 64) \cdot 7 = 322

(- 16)^{2} - 4 (- 64) \cdot 7

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 16)^{2} + 4 \cdot 64 \cdot 7

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 16)^{2} = 1 6^{2}

= 1 6^{2} + 4 \cdot 64 \cdot 7

Multiplier les nombres :

4 \cdot 64 \cdot 7 = 1792

= 1 6^{2} + 1792

1 6^{2} = 256

= 256 + 1792

Additionner les nombres :

256 + 1792 = 2048

= 2048

Factorisation première de

2048 : 2^{11}

2048

2048

divisée par

22048 = 1024 \cdot 2

= 2 \cdot 1024

1024

divisée par

21024 = 512 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 512

512

divisée par

2512 = 256 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 256

256

divisée par

2256 = 128 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 128

128

divisée par

2128 = 64 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 64

64

divisée par

264 = 32 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 32

32

divisée par

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 16

16

divisée par

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8

8

divisée par

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{11}

= 2^{11}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{10} \cdot 2

Appliquer la règle des radicaux:

= 2 2^{10}

Appliquer la règle des radicaux:

2^{10} = 2^{\frac{10}{2}} = 2^{5}

= 2^{5} 2

Redéfinir

= 322

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm 32 2}{2 ( - 64 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 16 ) + 32 2}{2 ( - 64 )}, u_{2} = \frac{- ( - 16 ) - 32 2}{2 ( - 64 )}

u = \frac{- ( - 16 ) + 32 2}{2 ( - 64 )} : - \frac{1 + 2 2}{8}

\frac{- ( - 16 ) + 32 2}{2 ( - 64 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{16 + 32 2}{- 2 \cdot 64}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 64 = 128

= \frac{16 + 32 2}{- 128}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{16 + 32 2}{128}

Annuler

\frac{16 + 32 2}{128} : \frac{1 + 2 2}{8}

\frac{16 + 32 2}{128}

Factoriser

16 + 322 : 16 (1 + 22)

16 + 322

Récrire comme

= 16 \cdot 1 + 16 \cdot 22

Factoriser le terme commun

16

= 16 (1 + 22)

= \frac{16 ( 1 + 2 2 )}{128}

Annuler le facteur commun :

16

= \frac{1 + 2 2}{8}

= - \frac{1 + 2 2}{8}

u = \frac{- ( - 16 ) - 32 2}{2 ( - 64 )} : \frac{2 2 - 1}{8}

\frac{- ( - 16 ) - 32 2}{2 ( - 64 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{16 - 32 2}{- 2 \cdot 64}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 64 = 128

= \frac{16 - 32 2}{- 128}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

16 - 322 = - (322 - 16)

= \frac{32 2 - 16}{128}

Factoriser

322 - 16 : 16 (22 - 1)

322 - 16

Récrire comme

= 16 \cdot 22 - 16 \cdot 1

Factoriser le terme commun

16

= 16 (22 - 1)

= \frac{16 ( 2 2 - 1 )}{128}

Annuler le facteur commun :

16

= \frac{2 2 - 1}{8}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - \frac{1 + 2 2}{8}, u = \frac{2 2 - 1}{8}

u = - \frac{1 + 2 2}{8}, u = \frac{2 2 - 1}{8}

Resubstituer

u = b^{2},

résoudre pour

b

Résoudre

b^{2} = - \frac{1 + 2 2}{8} :

Aucune solution pour

b \in R

b^{2} = - \frac{1 + 2 2}{8}

x^{2}

ne peut pas être négative pour

x \in R

Aucune solution pour b \in R

Résoudre

b^{2} = \frac{2 2 - 1}{8} : b = \frac{2 2 - 1}{2 2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

b^{2} = \frac{2 2 - 1}{8}

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

b = \frac{2 2 - 1}{8}, b = - \frac{2 2 - 1}{8}

\frac{2 2 - 1}{8} = \frac{2 2 - 1}{2 2}

\frac{2 2 - 1}{8}

Appliquer la règle des radicaux:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{2 2 - 1}{8}

8 = 22

8

Factorisation première de

8 : 2^{3}

8

8

divisée par

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

2^{3} = 2^{2} \cdot 2

= 2^{2} \cdot 2

Appliquer la règle des radicaux:

ab = a b, a \geq 0, b \geq 0

2^{2} \cdot 2 = 2^{2} 2

= 2^{2} 2

Appliquer la règle des radicaux:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 22

= \frac{2 2 - 1}{2 2}

- \frac{2 2 - 1}{8} = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

- \frac{2 2 - 1}{8}

Appliquer la règle des radicaux:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{2 2 - 1}{8}

8 = 22

8

Factorisation première de

8 : 2^{3}

8

8

divisée par

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

2^{3} = 2^{2} \cdot 2

= 2^{2} \cdot 2

Appliquer la règle des radicaux:

ab = a b, a \geq 0, b \geq 0

2^{2} \cdot 2 = 2^{2} 2

= 2^{2} 2

Appliquer la règle des radicaux:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 22

= - \frac{2 2 - 1}{2 2}

b = \frac{2 2 - 1}{2 2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

Les solutions sont

b = \frac{2 2 - 1}{2 2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

b = \frac{2 2 - 1}{2 2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

b = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

(- \frac{7}{8 b})^{2} - b^{2}

et le comparer à zéro

Résoudre

8 b = 0 : b = 0

8 b = 0

Diviser les deux côtés par

8

8 b = 0

Diviser les deux côtés par

8

\frac{8 b}{8} = \frac{0}{8}

Simplifier

b = 0

b = 0

Les points suivants ne sont pas définis

b = 0

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

b = \frac{2 2 - 1}{2 2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

Intégrer les solutions

b = \frac{2 2 - 1}{2 2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

dans

2 ab = - \frac{7}{4}

Pour

2 ab = - \frac{7}{4}

, remplacer

b

par

\frac{2 2 - 1}{2 2} : a = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

Pour

2 ab = - \frac{7}{4}

, remplacer

b

par

\frac{2 2 - 1}{2 2}

2 a \frac{2 2 - 1}{2 2} = - \frac{7}{4}

Résoudre

2 a \frac{2 2 - 1}{2 2} = - \frac{7}{4} : a = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

2 a \frac{2 2 - 1}{2 2} = - \frac{7}{4}

Multiplier les deux côtés par

22

2 a \frac{2 2 - 1}{2 2} = - \frac{7}{4}

Multiplier les deux côtés par

22

2 a \frac{2 2 - 1}{2 2} \cdot 22 = (- \frac{7}{4}) \cdot 22

Simplifier

2 a \frac{2 2 - 1}{2 2} \cdot 22 = (- \frac{7}{4}) \cdot 22

Simplifier

2 a \frac{2 2 - 1}{2 2} \cdot 22 : 2 a 22 - 1

2 a \frac{2 2 - 1}{2 2} \cdot 22

2 \cdot 2 = 2^{2}

2 \cdot 2

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2 \cdot 2 = 2^{1 + 1}

= 2^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 2^{2}

= 2^{2} a \frac{2 2 - 1}{2 2} 2

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= 2^{2} a \frac{2 2 - 1}{2 2} \cdot 2^{\frac{1}{2}}

2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{2}}

2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{2 + \frac{1}{2}}

= 2^{2 + \frac{1}{2}}

2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

2 + \frac{1}{2}

Convertir un élément en fraction:

2 = \frac{2 \cdot 2}{2}

= \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 \cdot 2 + 1}{2}

2 \cdot 2 + 1 = 5

2 \cdot 2 + 1

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= 4 + 1

Additionner les nombres :

4 + 1 = 5

= 5

= \frac{5}{2}

= 2^{\frac{5}{2}}

= 2^{\frac{5}{2}} a \frac{2 2 - 1}{2 2}

Appliquer la règle des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 ^{\frac{5}{2}} a 2 2 - 1}{2 2}

Annuler

\frac{2 ^{\frac{5}{2}} a 2 2 - 1}{2 2} : 2 a 22 - 1

\frac{2 ^{\frac{5}{2}} a 2 2 - 1}{2 2}

\frac{2 ^{\frac{5}{2}}}{2 2} = 2

\frac{2 ^{\frac{5}{2}}}{2 2}

Simplifier

\frac{2 ^{\frac{5}{2}}}{2} : 2^{\frac{3}{2}}

\frac{2 ^{\frac{5}{2}}}{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

= 2^{\frac{5}{2} - 1}

\frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2}

\frac{5}{2} - 1

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot 2 + 5}{2}

- 1 \cdot 2 + 5 = 3

- 1 \cdot 2 + 5

Multiplier les nombres :

1 \cdot 2 = 2

= - 2 + 5

Additionner/Soustraire les nombres :

- 2 + 5 = 3

= 3

= \frac{3}{2}

= 2^{\frac{3}{2}}

= \frac{2 ^{\frac{3}{2}}}{2}

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{\frac{3}{2}}}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Simplifier

\frac{2 ^{\frac{3}{2}}}{2 ^{\frac{1}{2}}} : 2

\frac{2 ^{\frac{3}{2}}}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Appliquer la règle de l'exposant:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

= 2^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}

\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1

\frac{3}{2} - \frac{1}{2}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 - 1}{2}

Soustraire les nombres :

3 - 1 = 2

= \frac{2}{2}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 2^{1}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{1} = a

= 2

= 2

= 2 a 22 - 1

= 2 a 22 - 1

Simplifier

(- \frac{7}{4}) \cdot 22 : - \frac{7}{2} 2

(- \frac{7}{4}) \cdot 22

Appliquer une règle:

(- a) = - a

(- \frac{7}{4}) = - \frac{7}{4}

= - \frac{7}{4} \cdot 22

- \frac{7}{4} \cdot 22 = - \frac{7}{2} 2

- \frac{7}{4} \cdot 22

Convertir

2

en fraction

: \frac{2}{1}

2

Convertir un élément en fraction:

2 = \frac{2}{1}

= \frac{2}{1}

= - \frac{7}{4} \cdot \frac{2}{1} 2

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

\frac{7}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{7 \cdot 2}{4 \cdot 1}

= - \frac{7 \cdot 2}{4 \cdot 1} 2

\frac{7 \cdot 2}{4 \cdot 1} = \frac{7}{2}

\frac{7 \cdot 2}{4 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 = 4

= \frac{7 \cdot 2}{4}

Factoriser le nombre :

4 = 2 \cdot 2

= \frac{7 \cdot 2}{2 \cdot 2}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{7}{2}

= - \frac{7}{2} 2

= - \frac{7}{2} 2

2 a 22 - 1 = - \frac{7}{2} 2

2 a 22 - 1 = - \frac{7}{2} 2

2 a 22 - 1 = - \frac{7}{2} 2

Diviser les deux côtés par

2 22 - 1

2 a 22 - 1 = - \frac{7}{2} 2

Diviser les deux côtés par

2 22 - 1

\frac{2 a 2 2 - 1}{2 2 2 - 1} = \frac{- \frac{7}{2} 2}{2 2 2 - 1}

Simplifier

\frac{2 a 2 2 - 1}{2 2 2 - 1} = \frac{- \frac{7}{2} 2}{2 2 2 - 1}

Simplifier

\frac{2 a 2 2 - 1}{2 2 2 - 1} : a

\frac{2 a 2 2 - 1}{2 2 2 - 1}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{a 2 2 - 1}{2 2 - 1}

Annuler le facteur commun :

22 - 1

= a

Simplifier

\frac{- \frac{7}{2} 2}{2 2 2 - 1} : - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

\frac{- \frac{7}{2} 2}{2 2 2 - 1}

Appliquer la règle des radicaux:

a = a a

2 = 22

= \frac{- \frac{7}{2} 2}{2 2 2 2 - 1}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{- \frac{7}{2}}{2 2 2 - 1}

\frac{- \frac{7}{2}}{2 2 2 - 1} = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

\frac{- \frac{7}{2}}{2 2 2 - 1}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{7}{2}}{2 2 2 - 1}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{a}{b \cdot c}

\frac{\frac{7}{2}}{2 2 2 - 1} = \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

= - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

= - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

a = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

a = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

a = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

Pour

2 ab = - \frac{7}{4}

, remplacer

b

par

- \frac{2 2 - 1}{2 2} : a = \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

Pour

2 ab = - \frac{7}{4}

, remplacer

b

par

- \frac{2 2 - 1}{2 2}

2 a (- \frac{2 2 - 1}{2 2}) = - \frac{7}{4}

Résoudre

2 a (- \frac{2 2 - 1}{2 2}) = - \frac{7}{4} : a = \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

2 a (- \frac{2 2 - 1}{2 2}) = - \frac{7}{4}

Diviser les deux côtés par

2 (- \frac{2 2 - 1}{2 2})

2 a (- \frac{2 2 - 1}{2 2}) = - \frac{7}{4}

Diviser les deux côtés par

2 (- \frac{2 2 - 1}{2 2})

\frac{2 a ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )} = \frac{- \frac{7}{4}}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}

Simplifier

\frac{2 a ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )} = \frac{- \frac{7}{4}}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}

Simplifier

\frac{2 a ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )} : a

\frac{2 a ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}

Simplifier

\frac{2 a ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )} : \frac{- 2 a \frac{2 2 - 1}{2 2}}{- 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2 2}}

\frac{2 a ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}

Appliquer une règle:

a (- b) = - ab

2 a (- \frac{2 2 - 1}{2 2}) = - 2 a \frac{2 2 - 1}{2 2}

= \frac{- 2 a \frac{2 2 - 1}{2 2}}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}

Appliquer une règle:

a (- b) = - ab

2 (- \frac{2 2 - 1}{2 2}) = - 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2 2}

= \frac{- 2 a \frac{2 2 - 1}{2 2}}{- 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2 2}}

= \frac{- 2 a \frac{2 2 - 1}{2 2}}{- 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2 2}}

Annuler le facteur commun :

- 2

= \frac{a \frac{2 2 - 1}{2 2}}{\frac{2 2 - 1}{2 2}}

Annuler le facteur commun :

\frac{2 2 - 1}{2 2}

= a

Simplifier

\frac{- \frac{7}{4}}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )} : \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

\frac{- \frac{7}{4}}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{7}{4}}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2 2} )}

Appliquer une règle:

a (- b) = - ab

2 (- \frac{2 2 - 1}{2 2}) = - 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2 2}

= - \frac{\frac{7}{4}}{- 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2 2}}

- 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2 2} = - \frac{2 2 - 1}{2}

- 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2 2}

Convertir

2

en fraction

: \frac{2}{1}

2

Convertir un élément en fraction:

2 = \frac{2}{1}

= \frac{2}{1}

= - \frac{2}{1} \cdot \frac{2 2 - 1}{2 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

\frac{2}{1} \cdot \frac{2 2 - 1}{2 2} = \frac{2 2 2 - 1}{1 \cdot 2 2}

= - \frac{2 2 2 - 1}{1 \cdot 2 2}

\frac{2 2 2 - 1}{1 \cdot 2 2} = \frac{2 2 - 1}{2}

\frac{2 2 2 - 1}{1 \cdot 2 2}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 2 2 - 1}{2 2}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{2 2 - 1}{2}

= - \frac{2 2 - 1}{2}

= - \frac{\frac{7}{4}}{- \frac{2 2 - 1}{2}}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

\frac{\frac{7}{4}}{- \frac{2 2 - 1}{2}} = - \frac{\frac{7}{4}}{\frac{2 2 - 1}{2}}

= - - \frac{\frac{7}{4}}{\frac{2 2 - 1}{2}}

Appliquer une règle:

- (- a) = a

- - \frac{\frac{7}{4}}{\frac{2 2 - 1}{2}} = \frac{\frac{7}{4}}{\frac{2 2 - 1}{2}}

= \frac{\frac{7}{4}}{\frac{2 2 - 1}{2}}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{7 2}{4 2 2 - 1}

Annuler

\frac{7 2}{4 2 2 - 1} : \frac{7}{2 \cdot 2 2 2 - 1}

\frac{7 2}{4 2 2 - 1}

Factoriser le nombre :

4 = 2 \cdot 2

= \frac{7 2}{2 \cdot 2 2 2 - 1}

Appliquer la règle des radicaux:

a = a a

2 = 22

= \frac{7 2}{2 2 \cdot 2 2 2 - 1}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{7}{2 \cdot 2 2 2 - 1}

= \frac{7}{2 \cdot 2 2 2 - 1}

= \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

a = \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

a = \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

a = \frac{7}{2 2 2 2 - 1}

Vérifier des solutions en les intégrant dans les équations d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{4}

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

a = \frac{7}{2 2 2 2 - 1}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2} :

vrai

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{4}

Insérer

a = \frac{7}{2 2 2 2 - 1}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

(\frac{7}{2 2 2 2 - 1})^{2} - (- \frac{2 2 - 1}{2 2})^{2} = \frac{1}{4}

Redéfinir

\frac{1}{4} = \frac{1}{4}

vrai

Vérifier la solution

a = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}, b = \frac{2 2 - 1}{2 2} :

vrai

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{4}

Insérer

a = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}, b = \frac{2 2 - 1}{2 2}

(- \frac{7}{2 2 2 2 - 1})^{2} - (\frac{2 2 - 1}{2 2})^{2} = \frac{1}{4}

Redéfinir

\frac{1}{4} = \frac{1}{4}

vrai

Vérifier des solutions en les intégrant dans

2 ab = - \frac{7}{4}

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

a = \frac{7}{2 2 2 2 - 1}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2} :

vrai

2 ab = - \frac{7}{4}

Insérer

a = \frac{7}{2 2 2 2 - 1}, b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

2 \cdot \frac{7}{2 2 2 2 - 1} (- \frac{2 2 - 1}{2 2}) = - \frac{7}{4}

Redéfinir

- \frac{7}{4} = - \frac{7}{4}

vrai

Vérifier la solution

a = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}, b = \frac{2 2 - 1}{2 2} :

vrai

2 ab = - \frac{7}{4}

Insérer

a = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}, b = \frac{2 2 - 1}{2 2}

2 (- \frac{7}{2 2 2 2 - 1}) \frac{2 2 - 1}{2 2} = - \frac{7}{4}

Redéfinir

- \frac{7}{4} = - \frac{7}{4}

vrai

Par conséquent, les solutions finales pour

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{4}, 2 ab = - \frac{7}{4}

sont

a = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1}, a = \frac{7}{2 2 2 2 - 1}, b = \frac{2 2 - 1}{2 2} b = - \frac{2 2 - 1}{2 2}

Remplacer

u = a + bi

u = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2 2} i, u = \frac{7}{2 2 2 2 - 1} - \frac{2 2 - 1}{2 2} i

Les solutions sont

u = \frac{7}{2 2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2 2} i, u = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1} - \frac{2 2 - 1}{2 2} i, u = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2 2} i, u = \frac{7}{2 2 2 2 - 1} - \frac{2 2 - 1}{2 2} i

Remplacer

u = sin (x)

sin (x) = \frac{7}{2 2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2 2} i, sin (x) = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1} - \frac{2 2 - 1}{2 2} i, sin (x) = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2 2} i, sin (x) = \frac{7}{2 2 2 2 - 1} - \frac{2 2 - 1}{2 2} i

sin (x) = \frac{7}{2 2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2 2} i, sin (x) = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1} - \frac{2 2 - 1}{2 2} i, sin (x) = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2 2} i, sin (x) = \frac{7}{2 2 2 2 - 1} - \frac{2 2 - 1}{2 2} i

sin (x) = \frac{7}{2 2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2 2} i :

Aucune solution

sin (x) = \frac{7}{2 2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2 2} i

Simplifier

\frac{7}{2 2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2 2} i : \frac{- 14 + 28 2 + 4 - 7 + 14 2}{28} + i \frac{2 - 1 + 2 2}{4}

\frac{7}{2 2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2 2} i

\frac{7}{2 2 2 2 - 1} = \frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28}

\frac{7}{2 2 2 2 - 1}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= \frac{7 2}{2 2 2 2 - 1 2}

72 = 14

72

Appliquer la règle des radicaux:

a b = a \cdot b

72 = 7 \cdot 2

= 7 \cdot 2

Multiplier les nombres :

7 \cdot 2 = 14

= 14

22 22 - 1 2 = 4 22 - 1

22 22 - 1 2

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 22 - 1 \cdot 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 2^{2}

2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Combiner les fractions

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} : 1

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + 1}{2}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= \frac{2}{2}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 2^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 2^{2}

= 2^{2} 22 - 1

2^{2} = 4

= 4 22 - 1

= \frac{14}{4 2 2 - 1}

Multiplier par le conjugué

\frac{2 2 - 1}{2 2 - 1}

= \frac{14 2 2 - 1}{4 2 2 - 1 2 2 - 1}

4 22 - 1 22 - 1 = 82 - 4

4 22 - 1 22 - 1

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 - 1 22 - 1 = 22 - 1

= 4 (22 - 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 22, c = 1

= 4 \cdot 22 - 4 \cdot 1

Simplifier

4 \cdot 22 - 4 \cdot 1 : 82 - 4

4 \cdot 22 - 4 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 = 8

= 82 - 4 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 = 4

= 82 - 4

= 82 - 4

= \frac{14 2 2 - 1}{8 2 - 4}

Multiplier par le conjugué

\frac{8 2 + 4}{8 2 + 4}

= \frac{14 2 2 - 1 ( 8 2 + 4 )}{( 8 2 - 4 ) ( 8 2 + 4 )}

14 22 - 1 (82 + 4) = 167 22 - 1 + 414 22 - 1

14 22 - 1 (82 + 4)

= 14 (82 + 4) 22 - 1

Appliquer la loi de la distribution:

a (b + c) = ab + a c

a = 14 22 - 1, b = 82, c = 4

= 14 22 - 1 \cdot 82 + 14 22 - 1 \cdot 4

= 8142 22 - 1 + 414 22 - 1

8142 22 - 1 = 167 22 - 1

8142 22 - 1

Facteur entier

8 = 2^{3}

= 2^{3} 142 22 - 1

Facteur entier

14 = 2 \cdot 7

= 2^{3} 2 \cdot 7 2 22 - 1

Appliquer la règle des radicaux:

2 \cdot 7 = 27

= 2^{3} 272 22 - 1

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2^{3} \cdot 27 22 - 1

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{3} \cdot 2 = 2^{3 + 1}

= 7 \cdot 2^{3 + 1} 22 - 1

Additionner les nombres :

3 + 1 = 4

= 7 \cdot 2^{4} 22 - 1

2^{4} = 16

= 167 22 - 1

= 167 22 - 1 + 414 22 - 1

(82 - 4) (82 + 4) = 112

(82 - 4) (82 + 4)

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = 82, b = 4

= (82)^{2} - 4^{2}

Simplifier

(82)^{2} - 4^{2} : 112

(82)^{2} - 4^{2}

(82)^{2} = 128

(82)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 8^{2} (2)^{2}

(2)^{2} : 2

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 2

= 8^{2} \cdot 2

8^{2} = 64

= 64 \cdot 2

Multiplier les nombres :

64 \cdot 2 = 128

= 128

4^{2} = 16

4^{2}

4^{2} = 16

= 16

= 128 - 16

Soustraire les nombres :

128 - 16 = 112

= 112

= 112

= \frac{16 7 2 2 - 1 + 4 14 2 2 - 1}{112}

Factoriser

167 22 - 1 + 414 22 - 1 : 4 - 1 + 22 (47 + 14)

167 22 - 1 + 414 22 - 1

Récrire comme

= 4 \cdot 4 - 1 + 22 7 + 4 - 1 + 22 14

Factoriser le terme commun

4 - 1 + 22

= 4 - 1 + 22 (47 + 14)

= \frac{4 - 1 + 2 2 ( 4 7 + 14 )}{112}

Annuler le facteur commun :

4

= \frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28}

\frac{2 2 - 1}{2 2} i = i \frac{2 2 2 - 1}{4}

\frac{2 2 - 1}{2 2} i

\frac{2 2 - 1}{2 2} = \frac{2 2 2 - 1}{4}

\frac{2 2 - 1}{2 2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= \frac{2 2 - 1 2}{2 2 2}

222 = 4

222

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Additionner les éléments similaires :

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= 2^{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}}

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 2^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= \frac{2 2 2 - 1}{4}

= i \frac{2 2 2 - 1}{4}

= \frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28} + i \frac{2 2 2 - 1}{4}

Récrire

\frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28} + \frac{2 2 2 - 1}{4} i

sous la forme complexe standard :

\frac{4 14 2 - 7 + 28 2 - 14}{28} + \frac{2 2 2 - 1}{4} i

\frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28} + \frac{2 2 2 - 1}{4} i

\frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28} = \frac{4 14 2 - 7 + 28 2 - 14}{28}

\frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28}

Développer

(47 + 14) 22 - 1 : 4 142 - 7 + 282 - 14

(47 + 14) 22 - 1

Appliquer la loi de la distribution:

a (b + c) = ab + a c

a = 22 - 1, b = 47, c = 14

= 22 - 1 \cdot 47 + 22 - 1 14

= 47 22 - 1 + 14 22 - 1

Simplifier

47 22 - 1 + 14 22 - 1 : 4 142 - 7 + 282 - 14

47 22 - 1 + 14 22 - 1

47 22 - 1 = 4 142 - 7

47 22 - 1

Appliquer la règle des radicaux:

a b = a \cdot b

7 22 - 1 = 7 (22 - 1)

= 4 7 (22 - 1)

Développer

7 (22 - 1) : 142 - 7

7 (22 - 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 7, b = 22, c = 1

= 7 \cdot 22 - 7 \cdot 1

Simplifier

7 \cdot 22 - 7 \cdot 1 : 142 - 7

7 \cdot 22 - 7 \cdot 1

Multiplier les nombres :

7 \cdot 2 = 14

= 142 - 7 \cdot 1

Multiplier les nombres :

7 \cdot 1 = 7

= 142 - 7

= 142 - 7

= 4 142 - 7

14 22 - 1 = 282 - 14

14 22 - 1

Appliquer la règle des radicaux:

a b = a \cdot b

14 22 - 1 = 14 (22 - 1)

= 14 (22 - 1)

Développer

14 (22 - 1) : 282 - 14

14 (22 - 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 14, b = 22, c = 1

= 14 \cdot 22 - 14 \cdot 1

Simplifier

14 \cdot 22 - 14 \cdot 1 : 282 - 14

14 \cdot 22 - 14 \cdot 1

Multiplier les nombres :

14 \cdot 2 = 28

= 282 - 14 \cdot 1

Multiplier les nombres :

14 \cdot 1 = 14

= 282 - 14

= 282 - 14

= 282 - 14

= 4 142 - 7 + 282 - 14

= 4 142 - 7 + 282 - 14

= \frac{4 14 2 - 7 + 28 2 - 14}{28}

\frac{2 2 2 - 1}{4} i = \frac{i 2 2 - 1}{2 2}

\frac{2 2 2 - 1}{4} i

\frac{2 2 2 - 1}{4} = \frac{2 2 - 1}{2 2}

\frac{2 2 2 - 1}{4}

Factoriser

4 : 2^{2}

Factoriser

4 = 2^{2}

= \frac{2 2 2 - 1}{2 ^{2}}

Annuler

\frac{2 2 2 - 1}{2 ^{2}} : \frac{2 2 - 1}{2 ^{\frac{3}{2}}}

\frac{2 2 2 - 1}{2 ^{2}}

Appliquer la règle des radicaux:

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{\frac{1}{2}} 2 2 - 1}{2 ^{2}}

Appliquer la règle de l'exposant:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{2 ^{\frac{1}{2}}}{2 ^{2}} = \frac{1}{2 ^{2 - \frac{1}{2}}}

= \frac{2 2 - 1}{2 ^{2 - \frac{1}{2}}}

Soustraire les nombres :

2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

= \frac{2 2 - 1}{2 ^{\frac{3}{2}}}

= \frac{2 2 - 1}{2 ^{\frac{3}{2}}}

2^{\frac{3}{2}} = 22

2^{\frac{3}{2}}

2^{\frac{3}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2}}

Appliquer la règle de l'exposant:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}

Redéfinir

= 22

= \frac{2 2 - 1}{2 2}

= i \frac{2 2 - 1}{2 2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 2 - 1 i}{2 2}

= \frac{4 14 2 - 7 + 28 2 - 14}{28} + \frac{i 2 2 - 1}{2 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{4 14 2 - 7 + 28 2 - 14}{28} = \frac{4 14 2 - 7}{28} + \frac{28 2 - 14}{28}

= \frac{4 14 2 - 7}{28} + \frac{28 2 - 14}{28} + \frac{i 2 2 - 1}{2 2}

Annuler

\frac{4 14 2 - 7}{28} : \frac{14 2 - 7}{7}

\frac{4 14 2 - 7}{28}

Annuler le facteur commun :

4

= \frac{14 2 - 7}{7}

= \frac{14 2 - 7}{7} + \frac{28 2 - 14}{28} + \frac{i 2 2 - 1}{2 2}

Grouper la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe

= (\frac{14 2 - 7}{7} + \frac{28 2 - 14}{28}) + \frac{2 2 - 1}{2 2} i

\frac{2 2 - 1}{2 2} = \frac{2 2 2 - 1}{4}

\frac{2 2 - 1}{2 2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= \frac{2 2 - 1 2}{2 2 2}

222 = 4

222

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Additionner les éléments similaires :

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= 2^{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}}

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 2^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= \frac{2 2 2 - 1}{4}

= (\frac{14 2 - 7}{7} + \frac{28 2 - 14}{28}) + \frac{2 2 2 - 1}{4} i

\frac{14 2 - 7}{7} + \frac{28 2 - 14}{28} = \frac{4 14 2 - 7 + 28 2 - 14}{28}

\frac{14 2 - 7}{7} + \frac{28 2 - 14}{28}

Plus petit commun multiple de

7, 28 : 28

7, 28

Plus petit commun multiple (PPCM)

Factorisation première de

7 : 7

7

7

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 7

Factorisation première de

28 : 2 \cdot 2 \cdot 7

28

28

divisée par

228 = 14 \cdot 2

= 2 \cdot 14

14

divisée par

214 = 7 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 7

Multiplier chaque facteur qui apparait le plus grand nombre de fois dans

7

28

= 7 \cdot 2 \cdot 2

Multiplier les nombres :

7 \cdot 2 \cdot 2 = 28

= 28

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

28

Pour

\frac{14 2 - 7}{7} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

4

\frac{14 2 - 7}{7} = \frac{14 2 - 7 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{14 2 - 7 \cdot 4}{28}

= \frac{14 2 - 7 \cdot 4}{28} + \frac{28 2 - 14}{28}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{14 2 - 7 \cdot 4 + 28 2 - 14}{28}

= \frac{4 14 2 - 7 + 28 2 - 14}{28} + \frac{2 2 2 - 1}{4} i

= \frac{4 14 2 - 7 + 28 2 - 14}{28} + \frac{2 2 2 - 1}{4} i

Aucune solution

sin (x) = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1} - \frac{2 2 - 1}{2 2} i :

Aucune solution

sin (x) = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1} - \frac{2 2 - 1}{2 2} i

Simplifier

- \frac{7}{2 2 2 2 - 1} - \frac{2 2 - 1}{2 2} i : \frac{- - 14 + 28 2 - 4 - 7 + 14 2}{28} - i \frac{2 - 1 + 2 2}{4}

- \frac{7}{2 2 2 2 - 1} - \frac{2 2 - 1}{2 2} i

\frac{7}{2 2 2 2 - 1} = \frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28}

\frac{7}{2 2 2 2 - 1}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= \frac{7 2}{2 2 2 2 - 1 2}

72 = 14

72

Appliquer la règle des radicaux:

a b = a \cdot b

72 = 7 \cdot 2

= 7 \cdot 2

Multiplier les nombres :

7 \cdot 2 = 14

= 14

22 22 - 1 2 = 4 22 - 1

22 22 - 1 2

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 22 - 1 \cdot 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 2^{2}

2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Combiner les fractions

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} : 1

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + 1}{2}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= \frac{2}{2}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 2^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 2^{2}

= 2^{2} 22 - 1

2^{2} = 4

= 4 22 - 1

= \frac{14}{4 2 2 - 1}

Multiplier par le conjugué

\frac{2 2 - 1}{2 2 - 1}

= \frac{14 2 2 - 1}{4 2 2 - 1 2 2 - 1}

4 22 - 1 22 - 1 = 82 - 4

4 22 - 1 22 - 1

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 - 1 22 - 1 = 22 - 1

= 4 (22 - 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 22, c = 1

= 4 \cdot 22 - 4 \cdot 1

Simplifier

4 \cdot 22 - 4 \cdot 1 : 82 - 4

4 \cdot 22 - 4 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 = 8

= 82 - 4 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 = 4

= 82 - 4

= 82 - 4

= \frac{14 2 2 - 1}{8 2 - 4}

Multiplier par le conjugué

\frac{8 2 + 4}{8 2 + 4}

= \frac{14 2 2 - 1 ( 8 2 + 4 )}{( 8 2 - 4 ) ( 8 2 + 4 )}

14 22 - 1 (82 + 4) = 167 22 - 1 + 414 22 - 1

14 22 - 1 (82 + 4)

= 14 (82 + 4) 22 - 1

Appliquer la loi de la distribution:

a (b + c) = ab + a c

a = 14 22 - 1, b = 82, c = 4

= 14 22 - 1 \cdot 82 + 14 22 - 1 \cdot 4

= 8142 22 - 1 + 414 22 - 1

8142 22 - 1 = 167 22 - 1

8142 22 - 1

Facteur entier

8 = 2^{3}

= 2^{3} 142 22 - 1

Facteur entier

14 = 2 \cdot 7

= 2^{3} 2 \cdot 7 2 22 - 1

Appliquer la règle des radicaux:

2 \cdot 7 = 27

= 2^{3} 272 22 - 1

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2^{3} \cdot 27 22 - 1

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{3} \cdot 2 = 2^{3 + 1}

= 7 \cdot 2^{3 + 1} 22 - 1

Additionner les nombres :

3 + 1 = 4

= 7 \cdot 2^{4} 22 - 1

2^{4} = 16

= 167 22 - 1

= 167 22 - 1 + 414 22 - 1

(82 - 4) (82 + 4) = 112

(82 - 4) (82 + 4)

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = 82, b = 4

= (82)^{2} - 4^{2}

Simplifier

(82)^{2} - 4^{2} : 112

(82)^{2} - 4^{2}

(82)^{2} = 128

(82)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 8^{2} (2)^{2}

(2)^{2} : 2

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 2

= 8^{2} \cdot 2

8^{2} = 64

= 64 \cdot 2

Multiplier les nombres :

64 \cdot 2 = 128

= 128

4^{2} = 16

4^{2}

4^{2} = 16

= 16

= 128 - 16

Soustraire les nombres :

128 - 16 = 112

= 112

= 112

= \frac{16 7 2 2 - 1 + 4 14 2 2 - 1}{112}

Factoriser

167 22 - 1 + 414 22 - 1 : 4 - 1 + 22 (47 + 14)

167 22 - 1 + 414 22 - 1

Récrire comme

= 4 \cdot 4 - 1 + 22 7 + 4 - 1 + 22 14

Factoriser le terme commun

4 - 1 + 22

= 4 - 1 + 22 (47 + 14)

= \frac{4 - 1 + 2 2 ( 4 7 + 14 )}{112}

Annuler le facteur commun :

4

= \frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28}

\frac{2 2 - 1}{2 2} i = i \frac{2 2 2 - 1}{4}

\frac{2 2 - 1}{2 2} i

\frac{2 2 - 1}{2 2} = \frac{2 2 2 - 1}{4}

\frac{2 2 - 1}{2 2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= \frac{2 2 - 1 2}{2 2 2}

222 = 4

222

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Additionner les éléments similaires :

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= 2^{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}}

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 2^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= \frac{2 2 2 - 1}{4}

= i \frac{2 2 2 - 1}{4}

= - \frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28} - i \frac{2 2 2 - 1}{4}

Récrire

- \frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28} - \frac{2 2 2 - 1}{4} i

sous la forme complexe standard :

\frac{- 4 14 2 - 7 - 28 2 - 14}{28} - \frac{2 2 2 - 1}{4} i

- \frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28} - \frac{2 2 2 - 1}{4} i

\frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28} = \frac{4 14 2 - 7 + 28 2 - 14}{28}

\frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28}

Développer

(47 + 14) 22 - 1 : 4 142 - 7 + 282 - 14

(47 + 14) 22 - 1

Appliquer la loi de la distribution:

a (b + c) = ab + a c

a = 22 - 1, b = 47, c = 14

= 22 - 1 \cdot 47 + 22 - 1 14

= 47 22 - 1 + 14 22 - 1

Simplifier

47 22 - 1 + 14 22 - 1 : 4 142 - 7 + 282 - 14

47 22 - 1 + 14 22 - 1

47 22 - 1 = 4 142 - 7

47 22 - 1

Appliquer la règle des radicaux:

a b = a \cdot b

7 22 - 1 = 7 (22 - 1)

= 4 7 (22 - 1)

Développer

7 (22 - 1) : 142 - 7

7 (22 - 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 7, b = 22, c = 1

= 7 \cdot 22 - 7 \cdot 1

Simplifier

7 \cdot 22 - 7 \cdot 1 : 142 - 7

7 \cdot 22 - 7 \cdot 1

Multiplier les nombres :

7 \cdot 2 = 14

= 142 - 7 \cdot 1

Multiplier les nombres :

7 \cdot 1 = 7

= 142 - 7

= 142 - 7

= 4 142 - 7

14 22 - 1 = 282 - 14

14 22 - 1

Appliquer la règle des radicaux:

a b = a \cdot b

14 22 - 1 = 14 (22 - 1)

= 14 (22 - 1)

Développer

14 (22 - 1) : 282 - 14

14 (22 - 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 14, b = 22, c = 1

= 14 \cdot 22 - 14 \cdot 1

Simplifier

14 \cdot 22 - 14 \cdot 1 : 282 - 14

14 \cdot 22 - 14 \cdot 1

Multiplier les nombres :

14 \cdot 2 = 28

= 282 - 14 \cdot 1

Multiplier les nombres :

14 \cdot 1 = 14

= 282 - 14

= 282 - 14

= 282 - 14

= 4 142 - 7 + 282 - 14

= 4 142 - 7 + 282 - 14

= \frac{4 14 2 - 7 + 28 2 - 14}{28}

\frac{2 2 2 - 1}{4} i = \frac{i 2 2 - 1}{2 2}

\frac{2 2 2 - 1}{4} i

\frac{2 2 2 - 1}{4} = \frac{2 2 - 1}{2 2}

\frac{2 2 2 - 1}{4}

Factoriser

4 : 2^{2}

Factoriser

4 = 2^{2}

= \frac{2 2 2 - 1}{2 ^{2}}

Annuler

\frac{2 2 2 - 1}{2 ^{2}} : \frac{2 2 - 1}{2 ^{\frac{3}{2}}}

\frac{2 2 2 - 1}{2 ^{2}}

Appliquer la règle des radicaux:

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{\frac{1}{2}} 2 2 - 1}{2 ^{2}}

Appliquer la règle de l'exposant:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{2 ^{\frac{1}{2}}}{2 ^{2}} = \frac{1}{2 ^{2 - \frac{1}{2}}}

= \frac{2 2 - 1}{2 ^{2 - \frac{1}{2}}}

Soustraire les nombres :

2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

= \frac{2 2 - 1}{2 ^{\frac{3}{2}}}

= \frac{2 2 - 1}{2 ^{\frac{3}{2}}}

2^{\frac{3}{2}} = 22

2^{\frac{3}{2}}

2^{\frac{3}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2}}

Appliquer la règle de l'exposant:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}

Redéfinir

= 22

= \frac{2 2 - 1}{2 2}

= i \frac{2 2 - 1}{2 2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 2 - 1 i}{2 2}

= - \frac{4 14 2 - 7 + 28 2 - 14}{28} - \frac{i 2 2 - 1}{2 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{4 14 2 - 7 + 28 2 - 14}{28} = - (\frac{4 14 2 - 7}{28}) - (\frac{28 2 - 14}{28})

= - (\frac{4 14 2 - 7}{28}) - (\frac{28 2 - 14}{28}) - \frac{i 2 2 - 1}{2 2}

Retirer les parenthèses:

(a) = a

= - \frac{4 14 2 - 7}{28} - \frac{28 2 - 14}{28} - \frac{i 2 2 - 1}{2 2}

Annuler

\frac{4 14 2 - 7}{28} : \frac{14 2 - 7}{7}

\frac{4 14 2 - 7}{28}

Annuler le facteur commun :

4

= \frac{14 2 - 7}{7}

= - \frac{14 2 - 7}{7} - \frac{28 2 - 14}{28} - \frac{i 2 2 - 1}{2 2}

Grouper la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe

= (- \frac{14 2 - 7}{7} - \frac{28 2 - 14}{28}) - \frac{2 2 - 1}{2 2} i

- \frac{2 2 - 1}{2 2} = - \frac{2 2 2 - 1}{4}

- \frac{2 2 - 1}{2 2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= - \frac{2 2 - 1 2}{2 2 2}

222 = 4

222

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Additionner les éléments similaires :

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= 2^{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}}

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 2^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= - \frac{2 2 2 - 1}{4}

= (- \frac{14 2 - 7}{7} - \frac{28 2 - 14}{28}) - \frac{2 2 2 - 1}{4} i

- \frac{14 2 - 7}{7} - \frac{28 2 - 14}{28} = \frac{- 4 14 2 - 7 - 28 2 - 14}{28}

- \frac{14 2 - 7}{7} - \frac{28 2 - 14}{28}

Plus petit commun multiple de

7, 28 : 28

7, 28

Plus petit commun multiple (PPCM)

Factorisation première de

7 : 7

7

7

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 7

Factorisation première de

28 : 2 \cdot 2 \cdot 7

28

28

divisée par

228 = 14 \cdot 2

= 2 \cdot 14

14

divisée par

214 = 7 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 7

Multiplier chaque facteur qui apparait le plus grand nombre de fois dans

7

28

= 7 \cdot 2 \cdot 2

Multiplier les nombres :

7 \cdot 2 \cdot 2 = 28

= 28

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

28

Pour

\frac{14 2 - 7}{7} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

4

\frac{14 2 - 7}{7} = \frac{14 2 - 7 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{14 2 - 7 \cdot 4}{28}

= - \frac{14 2 - 7 \cdot 4}{28} - \frac{28 2 - 14}{28}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 14 2 - 7 \cdot 4 - 28 2 - 14}{28}

= \frac{- 4 14 2 - 7 - 28 2 - 14}{28} - \frac{2 2 2 - 1}{4} i

= \frac{- 4 14 2 - 7 - 28 2 - 14}{28} - \frac{2 2 2 - 1}{4} i

Aucune solution

sin (x) = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2 2} i :

Aucune solution

sin (x) = - \frac{7}{2 2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2 2} i

Simplifier

- \frac{7}{2 2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2 2} i : \frac{- - 14 + 28 2 - 4 - 7 + 14 2}{28} + i \frac{2 - 1 + 2 2}{4}

- \frac{7}{2 2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2 2} i

\frac{7}{2 2 2 2 - 1} = \frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28}

\frac{7}{2 2 2 2 - 1}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= \frac{7 2}{2 2 2 2 - 1 2}

72 = 14

72

Appliquer la règle des radicaux:

a b = a \cdot b

72 = 7 \cdot 2

= 7 \cdot 2

Multiplier les nombres :

7 \cdot 2 = 14

= 14

22 22 - 1 2 = 4 22 - 1

22 22 - 1 2

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 22 - 1 \cdot 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 2^{2}

2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Combiner les fractions

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} : 1

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + 1}{2}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= \frac{2}{2}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 2^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 2^{2}

= 2^{2} 22 - 1

2^{2} = 4

= 4 22 - 1

= \frac{14}{4 2 2 - 1}

Multiplier par le conjugué

\frac{2 2 - 1}{2 2 - 1}

= \frac{14 2 2 - 1}{4 2 2 - 1 2 2 - 1}

4 22 - 1 22 - 1 = 82 - 4

4 22 - 1 22 - 1

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 - 1 22 - 1 = 22 - 1

= 4 (22 - 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 22, c = 1

= 4 \cdot 22 - 4 \cdot 1

Simplifier

4 \cdot 22 - 4 \cdot 1 : 82 - 4

4 \cdot 22 - 4 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 = 8

= 82 - 4 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 = 4

= 82 - 4

= 82 - 4

= \frac{14 2 2 - 1}{8 2 - 4}

Multiplier par le conjugué

\frac{8 2 + 4}{8 2 + 4}

= \frac{14 2 2 - 1 ( 8 2 + 4 )}{( 8 2 - 4 ) ( 8 2 + 4 )}

14 22 - 1 (82 + 4) = 167 22 - 1 + 414 22 - 1

14 22 - 1 (82 + 4)

= 14 (82 + 4) 22 - 1

Appliquer la loi de la distribution:

a (b + c) = ab + a c

a = 14 22 - 1, b = 82, c = 4

= 14 22 - 1 \cdot 82 + 14 22 - 1 \cdot 4

= 8142 22 - 1 + 414 22 - 1

8142 22 - 1 = 167 22 - 1

8142 22 - 1

Facteur entier

8 = 2^{3}

= 2^{3} 142 22 - 1

Facteur entier

14 = 2 \cdot 7

= 2^{3} 2 \cdot 7 2 22 - 1

Appliquer la règle des radicaux:

2 \cdot 7 = 27

= 2^{3} 272 22 - 1

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2^{3} \cdot 27 22 - 1

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{3} \cdot 2 = 2^{3 + 1}

= 7 \cdot 2^{3 + 1} 22 - 1

Additionner les nombres :

3 + 1 = 4

= 7 \cdot 2^{4} 22 - 1

2^{4} = 16

= 167 22 - 1

= 167 22 - 1 + 414 22 - 1

(82 - 4) (82 + 4) = 112

(82 - 4) (82 + 4)

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = 82, b = 4

= (82)^{2} - 4^{2}

Simplifier

(82)^{2} - 4^{2} : 112

(82)^{2} - 4^{2}

(82)^{2} = 128

(82)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 8^{2} (2)^{2}

(2)^{2} : 2

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 2

= 8^{2} \cdot 2

8^{2} = 64

= 64 \cdot 2

Multiplier les nombres :

64 \cdot 2 = 128

= 128

4^{2} = 16

4^{2}

4^{2} = 16

= 16

= 128 - 16

Soustraire les nombres :

128 - 16 = 112

= 112

= 112

= \frac{16 7 2 2 - 1 + 4 14 2 2 - 1}{112}

Factoriser

167 22 - 1 + 414 22 - 1 : 4 - 1 + 22 (47 + 14)

167 22 - 1 + 414 22 - 1

Récrire comme

= 4 \cdot 4 - 1 + 22 7 + 4 - 1 + 22 14

Factoriser le terme commun

4 - 1 + 22

= 4 - 1 + 22 (47 + 14)

= \frac{4 - 1 + 2 2 ( 4 7 + 14 )}{112}

Annuler le facteur commun :

4

= \frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28}

\frac{2 2 - 1}{2 2} i = i \frac{2 2 2 - 1}{4}

\frac{2 2 - 1}{2 2} i

\frac{2 2 - 1}{2 2} = \frac{2 2 2 - 1}{4}

\frac{2 2 - 1}{2 2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= \frac{2 2 - 1 2}{2 2 2}

222 = 4

222

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Additionner les éléments similaires :

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= 2^{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}}

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 2^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= \frac{2 2 2 - 1}{4}

= i \frac{2 2 2 - 1}{4}

= - \frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28} + i \frac{2 2 2 - 1}{4}

Récrire

- \frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28} + \frac{2 2 2 - 1}{4} i

sous la forme complexe standard :

\frac{- 4 14 2 - 7 - 28 2 - 14}{28} + \frac{2 2 2 - 1}{4} i

- \frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28} + \frac{2 2 2 - 1}{4} i

\frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28} = \frac{4 14 2 - 7 + 28 2 - 14}{28}

\frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28}

Développer

(47 + 14) 22 - 1 : 4 142 - 7 + 282 - 14

(47 + 14) 22 - 1

Appliquer la loi de la distribution:

a (b + c) = ab + a c

a = 22 - 1, b = 47, c = 14

= 22 - 1 \cdot 47 + 22 - 1 14

= 47 22 - 1 + 14 22 - 1

Simplifier

47 22 - 1 + 14 22 - 1 : 4 142 - 7 + 282 - 14

47 22 - 1 + 14 22 - 1

47 22 - 1 = 4 142 - 7

47 22 - 1

Appliquer la règle des radicaux:

a b = a \cdot b

7 22 - 1 = 7 (22 - 1)

= 4 7 (22 - 1)

Développer

7 (22 - 1) : 142 - 7

7 (22 - 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 7, b = 22, c = 1

= 7 \cdot 22 - 7 \cdot 1

Simplifier

7 \cdot 22 - 7 \cdot 1 : 142 - 7

7 \cdot 22 - 7 \cdot 1

Multiplier les nombres :

7 \cdot 2 = 14

= 142 - 7 \cdot 1

Multiplier les nombres :

7 \cdot 1 = 7

= 142 - 7

= 142 - 7

= 4 142 - 7

14 22 - 1 = 282 - 14

14 22 - 1

Appliquer la règle des radicaux:

a b = a \cdot b

14 22 - 1 = 14 (22 - 1)

= 14 (22 - 1)

Développer

14 (22 - 1) : 282 - 14

14 (22 - 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 14, b = 22, c = 1

= 14 \cdot 22 - 14 \cdot 1

Simplifier

14 \cdot 22 - 14 \cdot 1 : 282 - 14

14 \cdot 22 - 14 \cdot 1

Multiplier les nombres :

14 \cdot 2 = 28

= 282 - 14 \cdot 1

Multiplier les nombres :

14 \cdot 1 = 14

= 282 - 14

= 282 - 14

= 282 - 14

= 4 142 - 7 + 282 - 14

= 4 142 - 7 + 282 - 14

= \frac{4 14 2 - 7 + 28 2 - 14}{28}

\frac{2 2 2 - 1}{4} i = \frac{i 2 2 - 1}{2 2}

\frac{2 2 2 - 1}{4} i

\frac{2 2 2 - 1}{4} = \frac{2 2 - 1}{2 2}

\frac{2 2 2 - 1}{4}

Factoriser

4 : 2^{2}

Factoriser

4 = 2^{2}

= \frac{2 2 2 - 1}{2 ^{2}}

Annuler

\frac{2 2 2 - 1}{2 ^{2}} : \frac{2 2 - 1}{2 ^{\frac{3}{2}}}

\frac{2 2 2 - 1}{2 ^{2}}

Appliquer la règle des radicaux:

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{\frac{1}{2}} 2 2 - 1}{2 ^{2}}

Appliquer la règle de l'exposant:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{2 ^{\frac{1}{2}}}{2 ^{2}} = \frac{1}{2 ^{2 - \frac{1}{2}}}

= \frac{2 2 - 1}{2 ^{2 - \frac{1}{2}}}

Soustraire les nombres :

2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

= \frac{2 2 - 1}{2 ^{\frac{3}{2}}}

= \frac{2 2 - 1}{2 ^{\frac{3}{2}}}

2^{\frac{3}{2}} = 22

2^{\frac{3}{2}}

2^{\frac{3}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2}}

Appliquer la règle de l'exposant:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}

Redéfinir

= 22

= \frac{2 2 - 1}{2 2}

= i \frac{2 2 - 1}{2 2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 2 - 1 i}{2 2}

= - \frac{4 14 2 - 7 + 28 2 - 14}{28} + \frac{i 2 2 - 1}{2 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{4 14 2 - 7 + 28 2 - 14}{28} = - (\frac{4 14 2 - 7}{28}) - (\frac{28 2 - 14}{28})

= - (\frac{4 14 2 - 7}{28}) - (\frac{28 2 - 14}{28}) + \frac{i 2 2 - 1}{2 2}

Retirer les parenthèses:

(a) = a

= - \frac{4 14 2 - 7}{28} - \frac{28 2 - 14}{28} + \frac{i 2 2 - 1}{2 2}

Annuler

\frac{4 14 2 - 7}{28} : \frac{14 2 - 7}{7}

\frac{4 14 2 - 7}{28}

Annuler le facteur commun :

4

= \frac{14 2 - 7}{7}

= - \frac{14 2 - 7}{7} - \frac{28 2 - 14}{28} + \frac{i 2 2 - 1}{2 2}

Grouper la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe

= (- \frac{14 2 - 7}{7} - \frac{28 2 - 14}{28}) + \frac{2 2 - 1}{2 2} i

\frac{2 2 - 1}{2 2} = \frac{2 2 2 - 1}{4}

\frac{2 2 - 1}{2 2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= \frac{2 2 - 1 2}{2 2 2}

222 = 4

222

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Additionner les éléments similaires :

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= 2^{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}}

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 2^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= \frac{2 2 2 - 1}{4}

= (- \frac{14 2 - 7}{7} - \frac{28 2 - 14}{28}) + \frac{2 2 2 - 1}{4} i

- \frac{14 2 - 7}{7} - \frac{28 2 - 14}{28} = \frac{- 4 14 2 - 7 - 28 2 - 14}{28}

- \frac{14 2 - 7}{7} - \frac{28 2 - 14}{28}

Plus petit commun multiple de

7, 28 : 28

7, 28

Plus petit commun multiple (PPCM)

Factorisation première de

7 : 7

7

7

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 7

Factorisation première de

28 : 2 \cdot 2 \cdot 7

28

28

divisée par

228 = 14 \cdot 2

= 2 \cdot 14

14

divisée par

214 = 7 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 7

Multiplier chaque facteur qui apparait le plus grand nombre de fois dans

7

28

= 7 \cdot 2 \cdot 2

Multiplier les nombres :

7 \cdot 2 \cdot 2 = 28

= 28

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

28

Pour

\frac{14 2 - 7}{7} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

4

\frac{14 2 - 7}{7} = \frac{14 2 - 7 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{14 2 - 7 \cdot 4}{28}

= - \frac{14 2 - 7 \cdot 4}{28} - \frac{28 2 - 14}{28}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 14 2 - 7 \cdot 4 - 28 2 - 14}{28}

= \frac{- 4 14 2 - 7 - 28 2 - 14}{28} + \frac{2 2 2 - 1}{4} i

= \frac{- 4 14 2 - 7 - 28 2 - 14}{28} + \frac{2 2 2 - 1}{4} i

Aucune solution

sin (x) = \frac{7}{2 2 2 2 - 1} - \frac{2 2 - 1}{2 2} i :

Aucune solution

sin (x) = \frac{7}{2 2 2 2 - 1} - \frac{2 2 - 1}{2 2} i

Simplifier

\frac{7}{2 2 2 2 - 1} - \frac{2 2 - 1}{2 2} i : \frac{- 14 + 28 2 + 4 - 7 + 14 2}{28} - i \frac{2 - 1 + 2 2}{4}

\frac{7}{2 2 2 2 - 1} - \frac{2 2 - 1}{2 2} i

\frac{7}{2 2 2 2 - 1} = \frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28}

\frac{7}{2 2 2 2 - 1}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= \frac{7 2}{2 2 2 2 - 1 2}

72 = 14

72

Appliquer la règle des radicaux:

a b = a \cdot b

72 = 7 \cdot 2

= 7 \cdot 2

Multiplier les nombres :

7 \cdot 2 = 14

= 14

22 22 - 1 2 = 4 22 - 1

22 22 - 1 2

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 22 - 1 \cdot 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 2^{2}

2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Combiner les fractions

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} : 1

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + 1}{2}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= \frac{2}{2}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 2^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 2^{2}

= 2^{2} 22 - 1

2^{2} = 4

= 4 22 - 1

= \frac{14}{4 2 2 - 1}

Multiplier par le conjugué

\frac{2 2 - 1}{2 2 - 1}

= \frac{14 2 2 - 1}{4 2 2 - 1 2 2 - 1}

4 22 - 1 22 - 1 = 82 - 4

4 22 - 1 22 - 1

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 - 1 22 - 1 = 22 - 1

= 4 (22 - 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 22, c = 1

= 4 \cdot 22 - 4 \cdot 1

Simplifier

4 \cdot 22 - 4 \cdot 1 : 82 - 4

4 \cdot 22 - 4 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 = 8

= 82 - 4 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 = 4

= 82 - 4

= 82 - 4

= \frac{14 2 2 - 1}{8 2 - 4}

Multiplier par le conjugué

\frac{8 2 + 4}{8 2 + 4}

= \frac{14 2 2 - 1 ( 8 2 + 4 )}{( 8 2 - 4 ) ( 8 2 + 4 )}

14 22 - 1 (82 + 4) = 167 22 - 1 + 414 22 - 1

14 22 - 1 (82 + 4)

= 14 (82 + 4) 22 - 1

Appliquer la loi de la distribution:

a (b + c) = ab + a c

a = 14 22 - 1, b = 82, c = 4

= 14 22 - 1 \cdot 82 + 14 22 - 1 \cdot 4

= 8142 22 - 1 + 414 22 - 1

8142 22 - 1 = 167 22 - 1

8142 22 - 1

Facteur entier

8 = 2^{3}

= 2^{3} 142 22 - 1

Facteur entier

14 = 2 \cdot 7

= 2^{3} 2 \cdot 7 2 22 - 1

Appliquer la règle des radicaux:

2 \cdot 7 = 27

= 2^{3} 272 22 - 1

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

22 = 2

= 2^{3} \cdot 27 22 - 1

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{3} \cdot 2 = 2^{3 + 1}

= 7 \cdot 2^{3 + 1} 22 - 1

Additionner les nombres :

3 + 1 = 4

= 7 \cdot 2^{4} 22 - 1

2^{4} = 16

= 167 22 - 1

= 167 22 - 1 + 414 22 - 1

(82 - 4) (82 + 4) = 112

(82 - 4) (82 + 4)

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = 82, b = 4

= (82)^{2} - 4^{2}

Simplifier

(82)^{2} - 4^{2} : 112

(82)^{2} - 4^{2}

(82)^{2} = 128

(82)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 8^{2} (2)^{2}

(2)^{2} : 2

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 2

= 8^{2} \cdot 2

8^{2} = 64

= 64 \cdot 2

Multiplier les nombres :

64 \cdot 2 = 128

= 128

4^{2} = 16

4^{2}

4^{2} = 16

= 16

= 128 - 16

Soustraire les nombres :

128 - 16 = 112

= 112

= 112

= \frac{16 7 2 2 - 1 + 4 14 2 2 - 1}{112}

Factoriser

167 22 - 1 + 414 22 - 1 : 4 - 1 + 22 (47 + 14)

167 22 - 1 + 414 22 - 1

Récrire comme

= 4 \cdot 4 - 1 + 22 7 + 4 - 1 + 22 14

Factoriser le terme commun

4 - 1 + 22

= 4 - 1 + 22 (47 + 14)

= \frac{4 - 1 + 2 2 ( 4 7 + 14 )}{112}

Annuler le facteur commun :

4

= \frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28}

\frac{2 2 - 1}{2 2} i = i \frac{2 2 2 - 1}{4}

\frac{2 2 - 1}{2 2} i

\frac{2 2 - 1}{2 2} = \frac{2 2 2 - 1}{4}

\frac{2 2 - 1}{2 2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= \frac{2 2 - 1 2}{2 2 2}

222 = 4

222

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Additionner les éléments similaires :

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= 2^{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}}

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 2^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= \frac{2 2 2 - 1}{4}

= i \frac{2 2 2 - 1}{4}

= \frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28} - i \frac{2 2 2 - 1}{4}

Récrire

\frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28} - \frac{2 2 2 - 1}{4} i

sous la forme complexe standard :

\frac{4 14 2 - 7 + 28 2 - 14}{28} - \frac{2 2 2 - 1}{4} i

\frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28} - \frac{2 2 2 - 1}{4} i

\frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28} = \frac{4 14 2 - 7 + 28 2 - 14}{28}

\frac{( 4 7 + 14 ) 2 2 - 1}{28}

Développer

(47 + 14) 22 - 1 : 4 142 - 7 + 282 - 14

(47 + 14) 22 - 1

Appliquer la loi de la distribution:

a (b + c) = ab + a c

a = 22 - 1, b = 47, c = 14

= 22 - 1 \cdot 47 + 22 - 1 14

= 47 22 - 1 + 14 22 - 1

Simplifier

47 22 - 1 + 14 22 - 1 : 4 142 - 7 + 282 - 14

47 22 - 1 + 14 22 - 1

47 22 - 1 = 4 142 - 7

47 22 - 1

Appliquer la règle des radicaux:

a b = a \cdot b

7 22 - 1 = 7 (22 - 1)

= 4 7 (22 - 1)

Développer

7 (22 - 1) : 142 - 7

7 (22 - 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 7, b = 22, c = 1

= 7 \cdot 22 - 7 \cdot 1

Simplifier

7 \cdot 22 - 7 \cdot 1 : 142 - 7

7 \cdot 22 - 7 \cdot 1

Multiplier les nombres :

7 \cdot 2 = 14

= 142 - 7 \cdot 1

Multiplier les nombres :

7 \cdot 1 = 7

= 142 - 7

= 142 - 7

= 4 142 - 7

14 22 - 1 = 282 - 14

14 22 - 1

Appliquer la règle des radicaux:

a b = a \cdot b

14 22 - 1 = 14 (22 - 1)

= 14 (22 - 1)

Développer

14 (22 - 1) : 282 - 14

14 (22 - 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 14, b = 22, c = 1

= 14 \cdot 22 - 14 \cdot 1

Simplifier

14 \cdot 22 - 14 \cdot 1 : 282 - 14

14 \cdot 22 - 14 \cdot 1

Multiplier les nombres :

14 \cdot 2 = 28

= 282 - 14 \cdot 1

Multiplier les nombres :

14 \cdot 1 = 14

= 282 - 14

= 282 - 14

= 282 - 14

= 4 142 - 7 + 282 - 14

= 4 142 - 7 + 282 - 14

= \frac{4 14 2 - 7 + 28 2 - 14}{28}

\frac{2 2 2 - 1}{4} i = \frac{i 2 2 - 1}{2 2}

\frac{2 2 2 - 1}{4} i

\frac{2 2 2 - 1}{4} = \frac{2 2 - 1}{2 2}

\frac{2 2 2 - 1}{4}

Factoriser

4 : 2^{2}

Factoriser

4 = 2^{2}

= \frac{2 2 2 - 1}{2 ^{2}}

Annuler

\frac{2 2 2 - 1}{2 ^{2}} : \frac{2 2 - 1}{2 ^{\frac{3}{2}}}

\frac{2 2 2 - 1}{2 ^{2}}

Appliquer la règle des radicaux:

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{\frac{1}{2}} 2 2 - 1}{2 ^{2}}

Appliquer la règle de l'exposant:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{2 ^{\frac{1}{2}}}{2 ^{2}} = \frac{1}{2 ^{2 - \frac{1}{2}}}

= \frac{2 2 - 1}{2 ^{2 - \frac{1}{2}}}

Soustraire les nombres :

2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

= \frac{2 2 - 1}{2 ^{\frac{3}{2}}}

= \frac{2 2 - 1}{2 ^{\frac{3}{2}}}

2^{\frac{3}{2}} = 22

2^{\frac{3}{2}}

2^{\frac{3}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2}}

Appliquer la règle de l'exposant:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}

Redéfinir

= 22

= \frac{2 2 - 1}{2 2}

= i \frac{2 2 - 1}{2 2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 2 - 1 i}{2 2}

= \frac{4 14 2 - 7 + 28 2 - 14}{28} - \frac{i 2 2 - 1}{2 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{4 14 2 - 7 + 28 2 - 14}{28} = \frac{4 14 2 - 7}{28} + \frac{28 2 - 14}{28}

= \frac{4 14 2 - 7}{28} + \frac{28 2 - 14}{28} - \frac{i 2 2 - 1}{2 2}

Annuler

\frac{4 14 2 - 7}{28} : \frac{14 2 - 7}{7}

\frac{4 14 2 - 7}{28}

Annuler le facteur commun :

4

= \frac{14 2 - 7}{7}

= \frac{14 2 - 7}{7} + \frac{28 2 - 14}{28} - \frac{i 2 2 - 1}{2 2}

Grouper la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe

= (\frac{14 2 - 7}{7} + \frac{28 2 - 14}{28}) - \frac{2 2 - 1}{2 2} i

- \frac{2 2 - 1}{2 2} = - \frac{2 2 2 - 1}{4}

- \frac{2 2 - 1}{2 2}

Multiplier par le conjugué

\frac{2}{2}

= - \frac{2 2 - 1 2}{2 2 2}

222 = 4

222

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Additionner les éléments similaires :

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= 2^{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}}

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 2^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= - \frac{2 2 2 - 1}{4}

= (\frac{14 2 - 7}{7} + \frac{28 2 - 14}{28}) - \frac{2 2 2 - 1}{4} i

\frac{14 2 - 7}{7} + \frac{28 2 - 14}{28} = \frac{4 14 2 - 7 + 28 2 - 14}{28}

\frac{14 2 - 7}{7} + \frac{28 2 - 14}{28}

Plus petit commun multiple de

7, 28 : 28

7, 28

Plus petit commun multiple (PPCM)

Factorisation première de

7 : 7

7

7

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 7

Factorisation première de

28 : 2 \cdot 2 \cdot 7

28

28

divisée par

228 = 14 \cdot 2

= 2 \cdot 14

14

divisée par

214 = 7 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 7

Multiplier chaque facteur qui apparait le plus grand nombre de fois dans

7

28

= 7 \cdot 2 \cdot 2

Multiplier les nombres :

7 \cdot 2 \cdot 2 = 28

= 28

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

28

Pour

\frac{14 2 - 7}{7} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

4

\frac{14 2 - 7}{7} = \frac{14 2 - 7 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{14 2 - 7 \cdot 4}{28}

= \frac{14 2 - 7 \cdot 4}{28} + \frac{28 2 - 14}{28}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{14 2 - 7 \cdot 4 + 28 2 - 14}{28}

= \frac{4 14 2 - 7 + 28 2 - 14}{28} - \frac{2 2 2 - 1}{4} i

= \frac{4 14 2 - 7 + 28 2 - 14}{28} - \frac{2 2 2 - 1}{4} i

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

Aucune solution pour x \in R

Graphe

Exemples populaires

sin(x)cos(2x)+cos(x)sin(2x)= 1/(sqrt(2))

sin((5pi)/6-2x)=cos(x-pi/6),sin((2pi)/3-x)

0.08=0.1cos(4x-1.57)

cos(2t)-sin(t)=0.5,0<t<2pi

25sin(2x)-50cos(x)=0