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Populaire Trigonométrie >

8cos(2x)+6=cos^2(x)+cos(x)

Solution

8 cos (2 x) + 6 = cos^{2} (x) + cos (x)

Solution

x = 1.15927 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.15927 \dots + 2 πn, x = 1.91063 \dots + 2 πn, x = - 1.91063 \dots + 2 πn

Degrés

x = 66.42182 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 293.57817 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 109.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 109.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

8 cos (2 x) + 6 = cos^{2} (x) + cos (x)

Soustraire

cos^{2} (x) + cos (x)

des deux côtés

8 cos (2 x) + 6 - cos^{2} (x) - cos (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

6 - cos (x) - cos^{2} (x) + 8 cos (2 x)

Utiliser l'identité d'angle double:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 6 - cos (x) - cos^{2} (x) + 8 (2 cos^{2} (x) - 1)

Simplifier

6 - cos (x) - cos^{2} (x) + 8 (2 cos^{2} (x) - 1) : 15 cos^{2} (x) - cos (x) - 2

6 - cos (x) - cos^{2} (x) + 8 (2 cos^{2} (x) - 1)

Développer

8 (2 cos^{2} (x) - 1) : 16 cos^{2} (x) - 8

8 (2 cos^{2} (x) - 1)

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 8, b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= 8 \cdot 2 cos^{2} (x) - 8 \cdot 1

Simplifier

8 \cdot 2 cos^{2} (x) - 8 \cdot 1 : 16 cos^{2} (x) - 8

8 \cdot 2 cos^{2} (x) - 8 \cdot 1

Multiplier les nombres :

8 \cdot 2 = 16

= 16 cos^{2} (x) - 8 \cdot 1

Multiplier les nombres :

8 \cdot 1 = 8

= 16 cos^{2} (x) - 8

= 16 cos^{2} (x) - 8

= 6 - cos (x) - cos^{2} (x) + 16 cos^{2} (x) - 8

Simplifier

6 - cos (x) - cos^{2} (x) + 16 cos^{2} (x) - 8 : 15 cos^{2} (x) - cos (x) - 2

6 - cos (x) - cos^{2} (x) + 16 cos^{2} (x) - 8

Additionner les éléments similaires :

- cos^{2} (x) + 16 cos^{2} (x) = 15 cos^{2} (x)

= 6 - cos (x) + 15 cos^{2} (x) - 8

Grouper comme termes

= - cos (x) + 15 cos^{2} (x) + 6 - 8

Additionner/Soustraire les nombres :

6 - 8 = - 2

= 15 cos^{2} (x) - cos (x) - 2

= 15 cos^{2} (x) - cos (x) - 2

= 15 cos^{2} (x) - cos (x) - 2

- 2 - cos (x) + 15 cos^{2} (x) = 0

Résoudre par substitution

- 2 - cos (x) + 15 cos^{2} (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

- 2 - u + 15 u^{2} = 0

- 2 - u + 15 u^{2} = 0 : u = \frac{2}{5}, u = - \frac{1}{3}

- 2 - u + 15 u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

15 u^{2} - u - 2 = 0

Résoudre par la formule quadratique

15 u^{2} - u - 2 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 15, b = - 1, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 15 ( - 2 )}{2 \cdot 15}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 15 ( - 2 )}{2 \cdot 15}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 15 (- 2) = 11

(- 1)^{2} - 4 \cdot 15 (- 2)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 15 \cdot 2

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 15 \cdot 2 = 120

4 \cdot 15 \cdot 2

Multiplier les nombres :

4 \cdot 15 \cdot 2 = 120

= 120

= 1 + 120

Additionner les nombres :

1 + 120 = 121

= 121

Factoriser le nombre :

121 = 1 1^{2}

= 1 1^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

1 1^{2} = 11

= 11

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 11}{2 \cdot 15}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 11}{2 \cdot 15}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 11}{2 \cdot 15}

u = \frac{- ( - 1 ) + 11}{2 \cdot 15} : \frac{2}{5}

\frac{- ( - 1 ) + 11}{2 \cdot 15}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{1 + 11}{2 \cdot 15}

Additionner les nombres :

1 + 11 = 12

= \frac{12}{2 \cdot 15}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 15 = 30

= \frac{12}{30}

Annuler le facteur commun :

6

= \frac{2}{5}

u = \frac{- ( - 1 ) - 11}{2 \cdot 15} : - \frac{1}{3}

\frac{- ( - 1 ) - 11}{2 \cdot 15}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{1 - 11}{2 \cdot 15}

Soustraire les nombres :

1 - 11 = - 10

= \frac{- 10}{2 \cdot 15}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 15 = 30

= \frac{- 10}{30}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{10}{30}

Annuler le facteur commun :

10

= - \frac{1}{3}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{2}{5}, u = - \frac{1}{3}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = \frac{2}{5}, cos (x) = - \frac{1}{3}

cos (x) = \frac{2}{5}, cos (x) = - \frac{1}{3}

cos (x) = \frac{2}{5} : x = arccos (\frac{2}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2}{5}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2}{5}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = \frac{2}{5}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{2}{5}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2}{5}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2}{5}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{3} : x = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{3}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = - \frac{1}{3}

Solutions générales pour

cos (x) = - \frac{1}{3}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = arccos (\frac{2}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2}{5}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 1.15927 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.15927 \dots + 2 πn, x = 1.91063 \dots + 2 πn, x = - 1.91063 \dots + 2 πn

Graphe

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