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Popular Trigonometría >

3tan^3(x)-tan^2(x)-tan(x)-1=0

Solución

3 tan^{3} (x) - tan^{2} (x) - tan (x) - 1 = 0

Solución

x = \frac{π}{4} + πn

Grados

x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Pasos de solución

3 tan^{3} (x) - tan^{2} (x) - tan (x) - 1 = 0

Usando el método de sustitución

3 tan^{3} (x) - tan^{2} (x) - tan (x) - 1 = 0

Sea:

tan (x) = u

3 u^{3} - u^{2} - u - 1 = 0

3 u^{3} - u^{2} - u - 1 = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

3 u^{3} - u^{2} - u - 1 = 0

Factorizar

3 u^{3} - u^{2} - u - 1 : (u - 1) (3 u^{2} + 2 u + 1)

3 u^{3} - u^{2} - u - 1

Utilizar el teorema de la raíz racional

a_{0} = 1, a_{n} = 3

Los divisores de

a_{0} : 1,

Los divisores de

a_{n} : 1, 3

Por lo tanto, verificar los siguientes numeros racionales:

\pm \frac{1}{1 , 3}

\frac{1}{1}

es la raíz de la expresión, por lo tanto, factorizar

u - 1

= (u - 1) \frac{3 u ^{3} - u ^{2} - u - 1}{u - 1}

\frac{3 u ^{3} - u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 3 u^{2} + 2 u + 1

\frac{3 u ^{3} - u ^{2} - u - 1}{u - 1}

Dividir

\frac{3 u ^{3} - u ^{2} - u - 1}{u - 1} : \frac{3 u ^{3} - u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 3 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

3 u^{3} - u^{2} - u - 1

y el divisor

u - 1 : \frac{3 u ^{3}}{u} = 3 u^{2}

Cociente = 3 u^{2}

Multiplicar

u - 1

por

3 u^{2} : 3 u^{3} - 3 u^{2}

Substraer

3 u^{3} - 3 u^{2}

3 u^{3} - u^{2} - u - 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 2 u^{2} - u - 1

Por lo tanto

\frac{3 u ^{3} - u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 3 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

= 3 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

Dividir

\frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

2 u^{2} - u - 1

y el divisor

u - 1 : \frac{2 u ^{2}}{u} = 2 u

Cociente = 2 u

Multiplicar

u - 1

por

2 u : 2 u^{2} - 2 u

Substraer

2 u^{2} - 2 u

2 u^{2} - u - 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = u - 1

Por lo tanto

\frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

= 3 u^{2} + 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Dividir

\frac{u - 1}{u - 1} : \frac{u - 1}{u - 1} = 1

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

u - 1

y el divisor

u - 1 : \frac{u}{u} = 1

Cociente = 1

Multiplicar

u - 1

por

1 : u - 1

Substraer

u - 1

u - 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 0

Por lo tanto

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

= 3 u^{2} + 2 u + 1

= (u - 1) (3 u^{2} + 2 u + 1)

(u - 1) (3 u^{2} + 2 u + 1) = 0

Usando la propiedad del factor cero:

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

u - 1 = 0 or 3 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Resolver

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

Resolver

3 u^{2} + 2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

3 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

3 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 3, b = 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}{2 \cdot 3}

Simplificar

2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 : 22 i

2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 3 \cdot 1 = 12

= 2^{2} - 12

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- a = i a

= i 12 - 2^{2}

- 2^{2} + 12 = 22

- 2^{2} + 12

2^{2} = 4

= - 4 + 12

Sumar/restar lo siguiente:

- 4 + 12 = 8

= 8

Descomposición en factores primos de

8 : 2^{3}

8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 22

= 22 i

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 2 i}{2 \cdot 3}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 2 + 2 2 i}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 2 i}{2 \cdot 3}

u = \frac{- 2 + 2 2 i}{2 \cdot 3} : - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}

\frac{- 2 + 2 2 i}{2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 2 + 2 2 i}{6}

Factorizar

- 2 + 22 i : 2 (- 1 + 2 i)

- 2 + 22 i

Reescribir como

= - 2 \cdot 1 + 22 i

Factorizar el termino común

2

= 2 (- 1 + 2 i)

= \frac{2 ( - 1 + 2 i )}{6}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{- 1 + 2 i}{3}

Reescribir

\frac{- 1 + 2 i}{3}

en la forma binómica:

- \frac{1}{3} + \frac{2}{3} i

\frac{- 1 + 2 i}{3}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + 2 i}{3} = - \frac{1}{3} + \frac{2 i}{3}

= - \frac{1}{3} + \frac{2 i}{3}

= - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} i

u = \frac{- 2 - 2 2 i}{2 \cdot 3} : - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

\frac{- 2 - 2 2 i}{2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 2 - 2 2 i}{6}

Factorizar

- 2 - 22 i : - 2 (1 + 2 i)

- 2 - 22 i

Reescribir como

= - 2 \cdot 1 - 22 i

Factorizar el termino común

2

= - 2 (1 + 2 i)

= - \frac{2 ( 1 + 2 i )}{6}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{1 + 2 i}{3}

Reescribir

- \frac{1 + 2 i}{3}

en la forma binómica:

- \frac{1}{3} - \frac{2}{3} i

- \frac{1 + 2 i}{3}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + 2 i}{3} = - (\frac{1}{3}) - (\frac{2 i}{3})

= - (\frac{1}{3}) - (\frac{2 i}{3})

Quitar los parentesis:

(a) = a

= - \frac{1}{3} - \frac{2 i}{3}

= - \frac{1}{3} - \frac{2}{3} i

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

Las soluciones son

u = 1, u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

Sustituir en la ecuación

u = tan (x)

tan (x) = 1, tan (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, tan (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

tan (x) = 1, tan (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, tan (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

tan (x) = 1 : x = \frac{π}{4} + πn

tan (x) = 1

Soluciones generales para

tan (x) = 1

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

tan (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3} :

Sin solución

tan (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

tan (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3} :

Sin solución

tan (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{4} + πn

Gráfica

Ejemplos populares

cos(2x+60)=cos(x)

3tan(x)-3cot(x)-1=0

5sin^2(x)+6cos(x)-6=0

sin^2(x)-sin(x)cos(x)-6cos^2(x)=0

5cos^2(x)+3sin(x)-3=0