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Popular Trigonometría >

4sin(x)-6cos(x)=3

Solución

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

Solución

x = - 2.58786 \dots + 2 πn, x = 1.41186 \dots + 2 πn

Grados

x = - 148.27395 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 80.89382 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

Sumar

6 cos (x)

a ambos lados

4 sin (x) = 3 + 6 cos (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(4 sin (x))^{2} = (3 + 6 cos (x))^{2}

Restar

(3 + 6 cos (x))^{2}

de ambos lados

16 sin^{2} (x) - 9 - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 9 + 16 sin^{2} (x) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 9 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x)

Simplificar

- 9 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x) : - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) + 7

- 9 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x)

Expandir

16 (1 - cos^{2} (x)) : 16 - 16 cos^{2} (x)

16 (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 16, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 16 \cdot 1 - 16 cos^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

16 \cdot 1 = 16

= 16 - 16 cos^{2} (x)

= - 9 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x)

Simplificar

- 9 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x) : - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) + 7

- 9 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= - 16 cos^{2} (x) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x) - 9 + 16

Sumar elementos similares:

- 16 cos^{2} (x) - 36 cos^{2} (x) = - 52 cos^{2} (x)

= - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) - 9 + 16

Sumar/restar lo siguiente:

- 9 + 16 = 7

= - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) + 7

= - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) + 7

= - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) + 7

7 - 36 cos (x) - 52 cos^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

7 - 36 cos (x) - 52 cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

7 - 36 u - 52 u^{2} = 0

7 - 36 u - 52 u^{2} = 0 : u = - \frac{9 + 2 43}{26}, u = \frac{2 43 - 9}{26}

7 - 36 u - 52 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 52 u^{2} - 36 u + 7 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 52 u^{2} - 36 u + 7 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 52, b = - 36, c = 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 36 ) \pm ( - 36 ) ^{2} - 4 ( - 52 ) \cdot 7}{2 ( - 52 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 36 ) \pm ( - 36 ) ^{2} - 4 ( - 52 ) \cdot 7}{2 ( - 52 )}

(- 36)^{2} - 4 (- 52) \cdot 7 = 843

(- 36)^{2} - 4 (- 52) \cdot 7

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 36)^{2} + 4 \cdot 52 \cdot 7

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 36)^{2} = 3 6^{2}

= 3 6^{2} + 4 \cdot 52 \cdot 7

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 52 \cdot 7 = 1456

= 3 6^{2} + 1456

3 6^{2} = 1296

= 1296 + 1456

Sumar:

1296 + 1456 = 2752

= 2752

Descomposición en factores primos de

2752 : 2^{6} \cdot 43

2752

2752

divida por

22752 = 1376 \cdot 2

= 2 \cdot 1376

1376

divida por

21376 = 688 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 688

688

divida por

2688 = 344 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 344

344

divida por

2344 = 172 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 172

172

divida por

2172 = 86 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 86

86

divida por

286 = 43 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 43

2, 43

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 43

= 2^{6} \cdot 43

= 2^{6} \cdot 43

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 43 2^{6}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 43

Simplificar

= 843

u_{1, 2} = \frac{- ( - 36 ) \pm 8 43}{2 ( - 52 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 36 ) + 8 43}{2 ( - 52 )}, u_{2} = \frac{- ( - 36 ) - 8 43}{2 ( - 52 )}

u = \frac{- ( - 36 ) + 8 43}{2 ( - 52 )} : - \frac{9 + 2 43}{26}

\frac{- ( - 36 ) + 8 43}{2 ( - 52 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{36 + 8 43}{- 2 \cdot 52}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 52 = 104

= \frac{36 + 8 43}{- 104}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{36 + 8 43}{104}

Cancelar

\frac{36 + 8 43}{104} : \frac{9 + 2 43}{26}

\frac{36 + 8 43}{104}

Factorizar

36 + 843 : 4 (9 + 243)

36 + 843

Reescribir como

= 4 \cdot 9 + 4 \cdot 243

Factorizar el termino común

4

= 4 (9 + 243)

= \frac{4 ( 9 + 2 43 )}{104}

Eliminar los terminos comunes:

4

= \frac{9 + 2 43}{26}

= - \frac{9 + 2 43}{26}

u = \frac{- ( - 36 ) - 8 43}{2 ( - 52 )} : \frac{2 43 - 9}{26}

\frac{- ( - 36 ) - 8 43}{2 ( - 52 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{36 - 8 43}{- 2 \cdot 52}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 52 = 104

= \frac{36 - 8 43}{- 104}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

36 - 843 = - (843 - 36)

= \frac{8 43 - 36}{104}

Factorizar

843 - 36 : 4 (243 - 9)

843 - 36

Reescribir como

= 4 \cdot 243 - 4 \cdot 9

Factorizar el termino común

4

= 4 (243 - 9)

= \frac{4 ( 2 43 - 9 )}{104}

Eliminar los terminos comunes:

4

= \frac{2 43 - 9}{26}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{9 + 2 43}{26}, u = \frac{2 43 - 9}{26}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26}, cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26}

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26}, cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26}

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26} : x = arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26} : x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn :

Falso

arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1

Multiplicar

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

por

x = arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1

4 sin (arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1) - 6 cos (arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1) = 3

Simplificar

7.20686 \dots = 3

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

- arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn :

Verdadero

- arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

- arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1

Multiplicar

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

por

x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1

4 sin (- arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1) - 6 cos (- arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1) = 3

Simplificar

3 = 3

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn :

Verdadero

arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1

Multiplicar

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

por

x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1

4 sin (arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1) - 6 cos (arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1) = 3

Simplificar

3 = 3

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn :

Falso

2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1

Multiplicar

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

por

x = 2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1

4 sin (2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1) - 6 cos (2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1) = 3

Simplificar

- 4.89917 \dots = 3

\Rightarrow Falso

x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = - 2.58786 \dots + 2 πn, x = 1.41186 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

4cos(x)=cos^3(x)

cos^2(a)= 3/(5sin(a))

3cos(x)=2sec(x)-5

sin(a/2)=(1/2)sin(a)

cos(x/2)=cos(x)+1