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Popular Trigonometría >

3cos(x)=2sec(x)-5

Solución

3 cos (x) = 2 sec (x) - 5

Solución

x = 1.23095 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.23095 \dots + 2 πn

Grados

x = 70.52877 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 289.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

3 cos (x) = 2 sec (x) - 5

Restar

2 sec (x) - 5

de ambos lados

3 cos (x) - 2 sec (x) + 5 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

5 - 2 sec (x) + 3 cos (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= 5 - 2 sec (x) + 3 \cdot \frac{1}{sec ( x )}

3 \cdot \frac{1}{sec ( x )} = \frac{3}{sec ( x )}

3 \cdot \frac{1}{sec ( x )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{sec ( x )}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{sec ( x )}

= 5 - 2 sec (x) + \frac{3}{sec ( x )}

5 + \frac{3}{sec ( x )} - 2 sec (x) = 0

Usando el método de sustitución

5 + \frac{3}{sec ( x )} - 2 sec (x) = 0

Sea:

sec (x) = u

5 + \frac{3}{u} - 2 u = 0

5 + \frac{3}{u} - 2 u = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = 3

5 + \frac{3}{u} - 2 u = 0

Multiplicar ambos lados por

u

5 + \frac{3}{u} - 2 u = 0

Multiplicar ambos lados por

u

5 u + \frac{3}{u} u - 2 uu = 0 \cdot u

Simplificar

5 u + \frac{3}{u} u - 2 uu = 0 \cdot u

Simplificar

\frac{3}{u} u : 3

\frac{3}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= 3

Simplificar

- 2 uu : - 2 u^{2}

- 2 uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= - 2 u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= - 2 u^{2}

Simplificar

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 0

5 u + 3 - 2 u^{2} = 0

5 u + 3 - 2 u^{2} = 0

5 u + 3 - 2 u^{2} = 0

Resolver

5 u + 3 - 2 u^{2} = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = 3

5 u + 3 - 2 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + 5 u + 3 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 2 u^{2} + 5 u + 3 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 2, b = 5, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 3}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 3}{2 ( - 2 )}

5^{2} - 4 (- 2) \cdot 3 = 7

5^{2} - 4 (- 2) \cdot 3

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 5^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 \cdot 3 = 24

= 5^{2} + 24

5^{2} = 25

= 25 + 24

Sumar:

25 + 24 = 49

= 49

Descomponer el número en factores primos:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 7}{2 ( - 2 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 5 + 7}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 5 - 7}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 5 + 7}{2 ( - 2 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- 5 + 7}{2 ( - 2 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 5 + 7}{- 2 \cdot 2}

Sumar/restar lo siguiente:

- 5 + 7 = 2

= \frac{2}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{- 4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 5 - 7}{2 ( - 2 )} : 3

\frac{- 5 - 7}{2 ( - 2 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 5 - 7}{- 2 \cdot 2}

Restar:

- 5 - 7 = - 12

= \frac{- 12}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 12}{- 4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{12}{4}

Dividir:

\frac{12}{4} = 3

= 3

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{1}{2}, u = 3

u = - \frac{1}{2}, u = 3

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

5 + \frac{3}{u} - 2 u

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = - \frac{1}{2}, u = 3

Sustituir en la ecuación

u = sec (x)

sec (x) = - \frac{1}{2}, sec (x) = 3

sec (x) = - \frac{1}{2}, sec (x) = 3

sec (x) = - \frac{1}{2} :

Sin solución

sec (x) = - \frac{1}{2}

sec (x) \leq - 1 or sec (x) \geq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sec (x) = 3 : x = arcsec (3) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (3) + 2 πn

sec (x) = 3

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sec (x) = 3

Soluciones generales para

sec (x) = 3

sec (x) = a \Rightarrow x = arcsec (a) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (a) + 2 πn

x = arcsec (3) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (3) + 2 πn

x = arcsec (3) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (3) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arcsec (3) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (3) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 1.23095 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.23095 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

sin(a/2)=(1/2)sin(a)

cos(x/2)=cos(x)+1

d=(sin^4(x)-cos^2(x)+5)/(4*cos^2(x))

2+cos^2(x)=5sin(x)

tan^3(3x)-2sin^3(3x)=0