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Popular Trigonometría >

1/((sec^2(a)))+1/((cos^2(a)))=1

Solución

\frac{1}{( sec ^{2} ( a ) )} + \frac{1}{( cos ^{2} ( a ) )} = 1

Solución

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para a \in R

Pasos de solución

\frac{1}{( sec ^{2} ( a ) )} + \frac{1}{( cos ^{2} ( a ) )} = 1

Restar

1

de ambos lados

\frac{1}{sec ^{2} ( a )} + \frac{1}{cos ^{2} ( a )} - 1 = 0

Simplificar

\frac{1}{sec ^{2} ( a )} + \frac{1}{cos ^{2} ( a )} - 1 : \frac{cos ^{2} ( a ) + sec ^{2} ( a ) - sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )}{sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )}

\frac{1}{sec ^{2} ( a )} + \frac{1}{cos ^{2} ( a )} - 1

Convertir a fracción:

1 = \frac{1}{1}

= \frac{1}{sec ^{2} ( a )} + \frac{1}{cos ^{2} ( a )} - \frac{1}{1}

Mínimo común múltiplo de

sec^{2} (a), cos^{2} (a), 1 : sec^{2} (a) cos^{2} (a)

sec^{2} (a), cos^{2} (a), 1

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan en al menos una de las expresiones factorizadas

= sec^{2} (a) cos^{2} (a)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{1}{sec ^{2} ( a )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos^{2} (a)

\frac{1}{sec ^{2} ( a )} = \frac{1 \cdot cos ^{2} ( a )}{sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )} = \frac{cos ^{2} ( a )}{sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )}

Para

\frac{1}{cos ^{2} ( a )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sec^{2} (a)

\frac{1}{cos ^{2} ( a )} = \frac{1 \cdot sec ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a ) sec ^{2} ( a )} = \frac{sec ^{2} ( a )}{sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )}

Para

\frac{1}{1} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sec^{2} (a) cos^{2} (a)

\frac{1}{1} = \frac{1 \cdot sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )}{1 \cdot sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )} = \frac{sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )}{sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )}

= \frac{cos ^{2} ( a )}{sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )} + \frac{sec ^{2} ( a )}{sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )} - \frac{sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )}{sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( a ) + sec ^{2} ( a ) - sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )}{sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )}

\frac{cos ^{2} ( a ) + sec ^{2} ( a ) - sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )}{sec ^{2} ( a ) cos ^{2} ( a )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos^{2} (a) + sec^{2} (a) - sec^{2} (a) cos^{2} (a) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

cos^{2} (a) + sec^{2} (a) - cos^{2} (a) sec^{2} (a)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= (\frac{1}{sec ( a )})^{2} + sec^{2} (a) - (\frac{1}{sec ( a )})^{2} sec^{2} (a)

Simplificar

(\frac{1}{sec ( a )})^{2} + sec^{2} (a) - (\frac{1}{sec ( a )})^{2} sec^{2} (a) : \frac{1}{sec ^{2} ( a )} + sec^{2} (a) - 1

(\frac{1}{sec ( a )})^{2} + sec^{2} (a) - (\frac{1}{sec ( a )})^{2} sec^{2} (a)

(\frac{1}{sec ( a )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( a )}

(\frac{1}{sec ( a )})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( a )}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( a )}

(\frac{1}{sec ( a )})^{2} sec^{2} (a) = 1

(\frac{1}{sec ( a )})^{2} sec^{2} (a)

(\frac{1}{sec ( a )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( a )}

(\frac{1}{sec ( a )})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( a )}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( a )}

= \frac{1}{sec ^{2} ( a )} sec^{2} (a)

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sec ^{2} ( a )}{sec ^{2} ( a )}

Eliminar los terminos comunes:

sec^{2} (a)

= 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( a )} + sec^{2} (a) - 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( a )} + sec^{2} (a) - 1

- 1 + \frac{1}{sec ^{2} ( a )} + sec^{2} (a) = 0

Usando el método de sustitución

- 1 + \frac{1}{sec ^{2} ( a )} + sec^{2} (a) = 0

Sea:

sec (a) = u

- 1 + \frac{1}{u ^{2}} + u^{2} = 0

- 1 + \frac{1}{u ^{2}} + u^{2} = 0 : u = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

- 1 + \frac{1}{u ^{2}} + u^{2} = 0

Multiplicar ambos lados por

u^{2}

- 1 + \frac{1}{u ^{2}} + u^{2} = 0

Multiplicar ambos lados por

u^{2}

- 1 \cdot u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} + u^{2} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Simplificar

- 1 \cdot u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} + u^{2} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Simplificar

- 1 \cdot u^{2} : - u^{2}

- 1 \cdot u^{2}

Multiplicar:

1 \cdot u^{2} = u^{2}

= - u^{2}

Simplificar

\frac{1}{u ^{2}} u^{2} : 1

\frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

Eliminar los terminos comunes:

u^{2}

= 1

Simplificar

u^{2} u^{2} : u^{4}

u^{2} u^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

Sumar:

2 + 2 = 4

= u^{4}

Simplificar

0 \cdot u^{2} : 0

0 \cdot u^{2}

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 0

- u^{2} + 1 + u^{4} = 0

- u^{2} + 1 + u^{4} = 0

- u^{2} + 1 + u^{4} = 0

Resolver

- u^{2} + 1 + u^{4} = 0 : u = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

- u^{2} + 1 + u^{4} = 0

Escribir en la forma binómica

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a = 0

u^{4} - u^{2} + 1 = 0

Re-escribir la ecuación con

x = u^{2}

x^{2} = u^{4}

x^{2} - x + 1 = 0

Resolver

x^{2} - x + 1 = 0 : x = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}, x = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

x^{2} - x + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

x^{2} - x + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = - 1, c = 1

x_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

Simplificar

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 : 3 i

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4

= 1 - 4

Restar:

1 - 4 = - 3

= - 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

- a = - 1 a

- 3 = - 1 3

= - 1 3

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- 1 = i

= 3 i

x_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 3 i}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

x_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 3 i}{2 \cdot 1}, x_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 3 i}{2 \cdot 1}

x = \frac{- ( - 1 ) + 3 i}{2 \cdot 1} : \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 3 i}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{1 + 3 i}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 + 3 i}{2}

Reescribir

\frac{1 + 3 i}{2}

en la forma binómica:

\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

\frac{1 + 3 i}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + 3 i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3 i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{3 i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

x = \frac{- ( - 1 ) - 3 i}{2 \cdot 1} : \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 3 i}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{1 - 3 i}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 - 3 i}{2}

Reescribir

\frac{1 - 3 i}{2}

en la forma binómica:

\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

\frac{1 - 3 i}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 - 3 i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{3 i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{3 i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

x = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}, x = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

x = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}, x = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

Sustituir hacia atrás la

x = u^{2},

resolver para

u

Resolver

u^{2} = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2} : u = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

u^{2} = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

Sustituir

u = x + y i

(x + y i)^{2} = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

Desarrollar

(x + y i)^{2} : (x^{2} - y^{2}) + 2 i x y

(x + y i)^{2}

= (x + i y)^{2}

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = x, b = y i

= x^{2} + 2 x y i + (y i)^{2}

(y i)^{2} = - y^{2}

(y i)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= i^{2} y^{2}

i^{2} = - 1

i^{2}

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

i^{2} = - 1

= - 1

= (- 1) y^{2}

Simplificar

= - y^{2}

= x^{2} + 2 i x y - y^{2}

Reescribir

x^{2} + 2 i x y - y^{2}

en la forma binómica:

(x^{2} - y^{2}) + 2 x y i

x^{2} + 2 i x y - y^{2}

Agrupar la parte real y la parte imaginaria del número complejo

= (x^{2} - y^{2}) + 2 x y i

= (x^{2} - y^{2}) + 2 x y i

(x^{2} - y^{2}) + 2 i x y = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

Un conjunto de números complejos solo pueden ser iguales si su partes real e imaginaria son iguales.Reescribir como un sistema de ecuaciones:

[x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2} 2 x y = \frac{3}{2}]

[x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2} 2 x y = \frac{3}{2}] : (x = \frac{3}{2}, x = - \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2} y = - \frac{1}{2})

[x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2} 2 x y = \frac{3}{2}]

Despejar

x

para

2 x y = \frac{3}{2} : x = \frac{3}{4 y}

2 x y = \frac{3}{2}

Dividir ambos lados entre

2 y

2 x y = \frac{3}{2}

Dividir ambos lados entre

2 y

\frac{2 x y}{2 y} = \frac{\frac{3}{2}}{2 y}

Simplificar

\frac{2 x y}{2 y} = \frac{\frac{3}{2}}{2 y}

Simplificar

\frac{2 x y}{2 y} : x

\frac{2 x y}{2 y}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{x y}{y}

Eliminar los terminos comunes:

y

= x

Simplificar

\frac{\frac{3}{2}}{2 y} : \frac{3}{4 y}

\frac{\frac{3}{2}}{2 y}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3}{2 \cdot 2 y}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3}{4 y}

x = \frac{3}{4 y}

x = \frac{3}{4 y}

x = \frac{3}{4 y}

Sustituir las soluciones

x = \frac{3}{4 y}

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

Para

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

, sustituir

x

con

\frac{3}{4 y} : y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

Para

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

, sustituir

x

con

\frac{3}{4 y}

(\frac{3}{4 y})^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

Resolver

(\frac{3}{4 y})^{2} - y^{2} = \frac{1}{2} : y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

(\frac{3}{4 y})^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

Multiplicar por el mínimo común múltiplo

(\frac{3}{4 y})^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

(\frac{3}{4 y})^{2} : \frac{3}{16 y ^{2}}

(\frac{3}{4 y})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{( 4 y ) ^{2}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(4 y)^{2} = 4^{2} y^{2}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{4 ^{2} y ^{2}}

(3)^{2} : 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 3

= \frac{3}{4 ^{2} y ^{2}}

4^{2} = 16

= \frac{3}{16 y ^{2}}

\frac{3}{16 y ^{2}} - y^{2} = \frac{1}{2}

Encontrar el mínimo común múltiplo de

16 y^{2}, 2 : 16 y^{2}

16 y^{2}, 2

Mínimo común múltiplo (MCM)

Mínimo común múltiplo de

16, 2 : 16

16, 2

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

16 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

16

16

divida por

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Descomposición en factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

16

2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 16

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

16 y^{2}

2

= 16 y^{2}

Multiplicar por el mínimo común múltiplo=

16 y^{2}

\frac{3}{16 y ^{2}} \cdot 16 y^{2} - y^{2} \cdot 16 y^{2} = \frac{1}{2} \cdot 16 y^{2}

Simplificar

\frac{3}{16 y ^{2}} \cdot 16 y^{2} - y^{2} \cdot 16 y^{2} = \frac{1}{2} \cdot 16 y^{2}

Simplificar

\frac{3}{16 y ^{2}} \cdot 16 y^{2} : 3

\frac{3}{16 y ^{2}} \cdot 16 y^{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 \cdot 16 y ^{2}}{16 y ^{2}}

Eliminar los terminos comunes:

16

= \frac{3 y ^{2}}{y ^{2}}

Eliminar los terminos comunes:

y^{2}

= 3

Simplificar

- y^{2} \cdot 16 y^{2} : - 16 y^{4}

- y^{2} \cdot 16 y^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

y^{2} y^{2} = y^{2 + 2}

= - 16 y^{2 + 2}

Sumar:

2 + 2 = 4

= - 16 y^{4}

Simplificar

\frac{1}{2} \cdot 16 y^{2} : 8 y^{2}

\frac{1}{2} \cdot 16 y^{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 16}{2} y^{2}

\frac{1 \cdot 16}{2} = 8

\frac{1 \cdot 16}{2}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 16 = 16

= \frac{16}{2}

Dividir:

\frac{16}{2} = 8

= 8

= 8 y^{2}

3 - 16 y^{4} = 8 y^{2}

3 - 16 y^{4} = 8 y^{2}

3 - 16 y^{4} = 8 y^{2}

Resolver

3 - 16 y^{4} = 8 y^{2} : y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

3 - 16 y^{4} = 8 y^{2}

Desplace

8 y^{2}

a la izquierda

3 - 16 y^{4} = 8 y^{2}

Restar

8 y^{2}

de ambos lados

3 - 16 y^{4} - 8 y^{2} = 8 y^{2} - 8 y^{2}

Simplificar

3 - 16 y^{4} - 8 y^{2} = 0

3 - 16 y^{4} - 8 y^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a = 0

- 16 y^{4} - 8 y^{2} + 3 = 0

Re-escribir la ecuación con

u = y^{2}

u^{2} = y^{4}

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Resolver

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0 : u = - \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4}

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 16, b = - 8, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 16 ) \cdot 3}{2 ( - 16 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 16 ) \cdot 3}{2 ( - 16 )}

(- 8)^{2} - 4 (- 16) \cdot 3 = 16

(- 8)^{2} - 4 (- 16) \cdot 3

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 8)^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 16 \cdot 3 = 192

= 8^{2} + 192

8^{2} = 64

= 64 + 192

Sumar:

64 + 192 = 256

= 256

Descomponer el número en factores primos:

256 = 1 6^{2}

= 1 6^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 6^{2} = 16

= 16

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 16}{2 ( - 16 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 16}{2 ( - 16 )}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 16}{2 ( - 16 )}

u = \frac{- ( - 8 ) + 16}{2 ( - 16 )} : - \frac{3}{4}

\frac{- ( - 8 ) + 16}{2 ( - 16 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 + 16}{- 2 \cdot 16}

Sumar:

8 + 16 = 24

= \frac{24}{- 2 \cdot 16}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{24}{- 32}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{24}{32}

Eliminar los terminos comunes:

8

= - \frac{3}{4}

u = \frac{- ( - 8 ) - 16}{2 ( - 16 )} : \frac{1}{4}

\frac{- ( - 8 ) - 16}{2 ( - 16 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 - 16}{- 2 \cdot 16}

Restar:

8 - 16 = - 8

= \frac{- 8}{- 2 \cdot 16}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{- 8}{- 32}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8}{32}

Eliminar los terminos comunes:

8

= \frac{1}{4}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4}

u = - \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4}

Sustituir hacia atrás la

u = y^{2},

resolver para

y

Resolver

y^{2} = - \frac{3}{4} :

Sin solución para

y \in R

y^{2} = - \frac{3}{4}

x^{2}

no puede ser negativo para

x \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para y \in R

Resolver

y^{2} = \frac{1}{4} : y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

y^{2} = \frac{1}{4}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

y = \frac{1}{4}, y = - \frac{1}{4}

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 = 1

1 = 1

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

- \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{1}{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 = 1

1 = 1

= - \frac{1}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= - \frac{1}{2}

y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

Las soluciones son

y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

y = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

(\frac{3}{4 y})^{2} - y^{2}

y comparar con cero

Resolver

4 y = 0 : y = 0

4 y = 0

Dividir ambos lados entre

4

4 y = 0

Dividir ambos lados entre

4

\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}

Simplificar

y = 0

y = 0

Los siguientes puntos no están definidos

y = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

Sustituir las soluciones

y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

2 x y = \frac{3}{2}

Para

2 x y = \frac{3}{2}

, sustituir

y

con

\frac{1}{2} : x = \frac{3}{2}

Para

2 x y = \frac{3}{2}

, sustituir

y

con

\frac{1}{2}

2 x \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

Resolver

2 x \frac{1}{2} = \frac{3}{2} : x = \frac{3}{2}

2 x \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

\frac{1 \cdot 2}{2} x = \frac{3}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

x \cdot 1 = \frac{3}{2}

Multiplicar:

x \cdot 1 = x

x = \frac{3}{2}

Para

2 x y = \frac{3}{2}

, sustituir

y

con

- \frac{1}{2} : x = - \frac{3}{2}

Para

2 x y = \frac{3}{2}

, sustituir

y

con

- \frac{1}{2}

2 x (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}

Resolver

2 x (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} : x = - \frac{3}{2}

2 x (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}

Dividir ambos lados entre

2 (- \frac{1}{2})

2 x (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}

Dividir ambos lados entre

2 (- \frac{1}{2})

\frac{2 x ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )} = \frac{\frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Simplificar

\frac{2 x ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )} = \frac{\frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Simplificar

\frac{2 x ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )} : x

\frac{2 x ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 2 x \frac{1}{2}}{- 2 \cdot \frac{1}{2}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2 x \frac{1}{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Multiplicar

2 x \frac{1}{2} : x

2 x \frac{1}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 x}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1 \cdot x

Multiplicar:

1 \cdot x = x

= x

= \frac{x}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Multiplicar

2 \cdot \frac{1}{2} : 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= \frac{x}{1}

Aplicar la regla

\frac{a}{1} = a

= x

Simplificar

\frac{\frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )} : - \frac{3}{2}

\frac{\frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{\frac{3}{2}}{- 2 \cdot \frac{1}{2}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{3}{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{3}{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{3}{2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}}

= - \frac{3}{2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= - \frac{3}{4 \cdot \frac{1}{2}}

Multiplicar

4 \cdot \frac{1}{2} : 2

4 \cdot \frac{1}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{2}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{2}

Dividir:

\frac{4}{2} = 2

= 2

= - \frac{3}{2}

x = - \frac{3}{2}

x = - \frac{3}{2}

x = - \frac{3}{2}

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

Eq u a t i o n 0

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

x = - \frac{3}{2}, y = - \frac{1}{2} :

Verdadero

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

Sustituir

x = - \frac{3}{2}, y = - \frac{1}{2}

(- \frac{3}{2})^{2} - (- \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Verdadero

Verificar la solución

x = \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2} :

Verdadero

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

Sustituir

x = \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2}

(\frac{3}{2})^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Verdadero

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

2 x y = \frac{3}{2}

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

x = - \frac{3}{2}, y = - \frac{1}{2} :

Verdadero

2 x y = \frac{3}{2}

Sustituir

x = - \frac{3}{2}, y = - \frac{1}{2}

2 (- \frac{3}{2}) (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}

Simplificar

\frac{3}{2} = \frac{3}{2}

Verdadero

Verificar la solución

x = \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2} :

Verdadero

2 x y = \frac{3}{2}

Sustituir

x = \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2}

2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

Simplificar

\frac{3}{2} = \frac{3}{2}

Verdadero

Por lo tanto, las soluciones finales para

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}, 2 x y = \frac{3}{2}

son

(x = \frac{3}{2}, x = - \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2} y = - \frac{1}{2})

Sustituir en la ecuación

u = x + y i

u = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

Resolver

u^{2} = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2} : u = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

u^{2} = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

Sustituir

u = x + y i

(x + y i)^{2} = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

Desarrollar

(x + y i)^{2} : (x^{2} - y^{2}) + 2 i x y

(x + y i)^{2}

= (x + i y)^{2}

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = x, b = y i

= x^{2} + 2 x y i + (y i)^{2}

(y i)^{2} = - y^{2}

(y i)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= i^{2} y^{2}

i^{2} = - 1

i^{2}

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

i^{2} = - 1

= - 1

= (- 1) y^{2}

Simplificar

= - y^{2}

= x^{2} + 2 i x y - y^{2}

Reescribir

x^{2} + 2 i x y - y^{2}

en la forma binómica:

(x^{2} - y^{2}) + 2 x y i

x^{2} + 2 i x y - y^{2}

Agrupar la parte real y la parte imaginaria del número complejo

= (x^{2} - y^{2}) + 2 x y i

= (x^{2} - y^{2}) + 2 x y i

(x^{2} - y^{2}) + 2 i x y = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

Un conjunto de números complejos solo pueden ser iguales si su partes real e imaginaria son iguales.Reescribir como un sistema de ecuaciones:

[x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2} 2 x y = - \frac{3}{2}]

[x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2} 2 x y = - \frac{3}{2}] : (x = - \frac{3}{2}, x = \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2} y = - \frac{1}{2})

[x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2} 2 x y = - \frac{3}{2}]

Despejar

x

para

2 x y = - \frac{3}{2} : x = - \frac{3}{4 y}

2 x y = - \frac{3}{2}

Dividir ambos lados entre

2 y

2 x y = - \frac{3}{2}

Dividir ambos lados entre

2 y

\frac{2 x y}{2 y} = \frac{- \frac{3}{2}}{2 y}

Simplificar

\frac{2 x y}{2 y} = \frac{- \frac{3}{2}}{2 y}

Simplificar

\frac{2 x y}{2 y} : x

\frac{2 x y}{2 y}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{x y}{y}

Eliminar los terminos comunes:

y

= x

Simplificar

\frac{- \frac{3}{2}}{2 y} : - \frac{3}{4 y}

\frac{- \frac{3}{2}}{2 y}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{3}{2}}{2 y}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{3}{2}}{2 y} = \frac{3}{2 \cdot 2 y}

= - \frac{3}{2 \cdot 2 y}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= - \frac{3}{4 y}

x = - \frac{3}{4 y}

x = - \frac{3}{4 y}

x = - \frac{3}{4 y}

Sustituir las soluciones

x = - \frac{3}{4 y}

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

Para

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

, sustituir

x

con

- \frac{3}{4 y} : y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

Para

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

, sustituir

x

con

- \frac{3}{4 y}

(- \frac{3}{4 y})^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

Resolver

(- \frac{3}{4 y})^{2} - y^{2} = \frac{1}{2} : y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

(- \frac{3}{4 y})^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

Multiplicar por el mínimo común múltiplo

(- \frac{3}{4 y})^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

(- \frac{3}{4 y})^{2} : \frac{3}{16 y ^{2}}

(- \frac{3}{4 y})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- \frac{3}{4 y})^{2} = (\frac{3}{4 y})^{2}

= (\frac{3}{4 y})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{( 4 y ) ^{2}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(4 y)^{2} = 4^{2} y^{2}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{4 ^{2} y ^{2}}

(3)^{2} : 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 3

= \frac{3}{4 ^{2} y ^{2}}

4^{2} = 16

= \frac{3}{16 y ^{2}}

\frac{3}{16 y ^{2}} - y^{2} = \frac{1}{2}

Encontrar el mínimo común múltiplo de

16 y^{2}, 2 : 16 y^{2}

16 y^{2}, 2

Mínimo común múltiplo (MCM)

Mínimo común múltiplo de

16, 2 : 16

16, 2

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

16 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

16

16

divida por

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Descomposición en factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

16

2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 16

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

16 y^{2}

2

= 16 y^{2}

Multiplicar por el mínimo común múltiplo=

16 y^{2}

\frac{3}{16 y ^{2}} \cdot 16 y^{2} - y^{2} \cdot 16 y^{2} = \frac{1}{2} \cdot 16 y^{2}

Simplificar

\frac{3}{16 y ^{2}} \cdot 16 y^{2} - y^{2} \cdot 16 y^{2} = \frac{1}{2} \cdot 16 y^{2}

Simplificar

\frac{3}{16 y ^{2}} \cdot 16 y^{2} : 3

\frac{3}{16 y ^{2}} \cdot 16 y^{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 \cdot 16 y ^{2}}{16 y ^{2}}

Eliminar los terminos comunes:

16

= \frac{3 y ^{2}}{y ^{2}}

Eliminar los terminos comunes:

y^{2}

= 3

Simplificar

- y^{2} \cdot 16 y^{2} : - 16 y^{4}

- y^{2} \cdot 16 y^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

y^{2} y^{2} = y^{2 + 2}

= - 16 y^{2 + 2}

Sumar:

2 + 2 = 4

= - 16 y^{4}

Simplificar

\frac{1}{2} \cdot 16 y^{2} : 8 y^{2}

\frac{1}{2} \cdot 16 y^{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 16}{2} y^{2}

\frac{1 \cdot 16}{2} = 8

\frac{1 \cdot 16}{2}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 16 = 16

= \frac{16}{2}

Dividir:

\frac{16}{2} = 8

= 8

= 8 y^{2}

3 - 16 y^{4} = 8 y^{2}

3 - 16 y^{4} = 8 y^{2}

3 - 16 y^{4} = 8 y^{2}

Resolver

3 - 16 y^{4} = 8 y^{2} : y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

3 - 16 y^{4} = 8 y^{2}

Desplace

8 y^{2}

a la izquierda

3 - 16 y^{4} = 8 y^{2}

Restar

8 y^{2}

de ambos lados

3 - 16 y^{4} - 8 y^{2} = 8 y^{2} - 8 y^{2}

Simplificar

3 - 16 y^{4} - 8 y^{2} = 0

3 - 16 y^{4} - 8 y^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a = 0

- 16 y^{4} - 8 y^{2} + 3 = 0

Re-escribir la ecuación con

u = y^{2}

u^{2} = y^{4}

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Resolver

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0 : u = - \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4}

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 16, b = - 8, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 16 ) \cdot 3}{2 ( - 16 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 16 ) \cdot 3}{2 ( - 16 )}

(- 8)^{2} - 4 (- 16) \cdot 3 = 16

(- 8)^{2} - 4 (- 16) \cdot 3

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 8)^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 16 \cdot 3 = 192

= 8^{2} + 192

8^{2} = 64

= 64 + 192

Sumar:

64 + 192 = 256

= 256

Descomponer el número en factores primos:

256 = 1 6^{2}

= 1 6^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 6^{2} = 16

= 16

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 16}{2 ( - 16 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 16}{2 ( - 16 )}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 16}{2 ( - 16 )}

u = \frac{- ( - 8 ) + 16}{2 ( - 16 )} : - \frac{3}{4}

\frac{- ( - 8 ) + 16}{2 ( - 16 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 + 16}{- 2 \cdot 16}

Sumar:

8 + 16 = 24

= \frac{24}{- 2 \cdot 16}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{24}{- 32}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{24}{32}

Eliminar los terminos comunes:

8

= - \frac{3}{4}

u = \frac{- ( - 8 ) - 16}{2 ( - 16 )} : \frac{1}{4}

\frac{- ( - 8 ) - 16}{2 ( - 16 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 - 16}{- 2 \cdot 16}

Restar:

8 - 16 = - 8

= \frac{- 8}{- 2 \cdot 16}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{- 8}{- 32}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8}{32}

Eliminar los terminos comunes:

8

= \frac{1}{4}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4}

u = - \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4}

Sustituir hacia atrás la

u = y^{2},

resolver para

y

Resolver

y^{2} = - \frac{3}{4} :

Sin solución para

y \in R

y^{2} = - \frac{3}{4}

x^{2}

no puede ser negativo para

x \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para y \in R

Resolver

y^{2} = \frac{1}{4} : y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

y^{2} = \frac{1}{4}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

y = \frac{1}{4}, y = - \frac{1}{4}

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 = 1

1 = 1

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

- \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{1}{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 = 1

1 = 1

= - \frac{1}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= - \frac{1}{2}

y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

Las soluciones son

y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

y = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

(- \frac{3}{4 y})^{2} - y^{2}

y comparar con cero

Resolver

4 y = 0 : y = 0

4 y = 0

Dividir ambos lados entre

4

4 y = 0

Dividir ambos lados entre

4

\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}

Simplificar

y = 0

y = 0

Los siguientes puntos no están definidos

y = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

Sustituir las soluciones

y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}

2 x y = - \frac{3}{2}

Para

2 x y = - \frac{3}{2}

, sustituir

y

con

\frac{1}{2} : x = - \frac{3}{2}

Para

2 x y = - \frac{3}{2}

, sustituir

y

con

\frac{1}{2}

2 x \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}

Resolver

2 x \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} : x = - \frac{3}{2}

2 x \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

\frac{1 \cdot 2}{2} x = - \frac{3}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

x \cdot 1 = - \frac{3}{2}

Multiplicar:

x \cdot 1 = x

x = - \frac{3}{2}

Para

2 x y = - \frac{3}{2}

, sustituir

y

con

- \frac{1}{2} : x = \frac{3}{2}

Para

2 x y = - \frac{3}{2}

, sustituir

y

con

- \frac{1}{2}

2 x (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}

Resolver

2 x (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} : x = \frac{3}{2}

2 x (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}

Dividir ambos lados entre

2 (- \frac{1}{2})

2 x (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}

Dividir ambos lados entre

2 (- \frac{1}{2})

\frac{2 x ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )} = \frac{- \frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Simplificar

\frac{2 x ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )} = \frac{- \frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Simplificar

\frac{2 x ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )} : x

\frac{2 x ( - \frac{1}{2} )}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 2 x \frac{1}{2}}{- 2 \cdot \frac{1}{2}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2 x \frac{1}{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Multiplicar

2 x \frac{1}{2} : x

2 x \frac{1}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 x}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1 \cdot x

Multiplicar:

1 \cdot x = x

= x

= \frac{x}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Multiplicar

2 \cdot \frac{1}{2} : 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= \frac{x}{1}

Aplicar la regla

\frac{a}{1} = a

= x

Simplificar

\frac{- \frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )} : \frac{3}{2}

\frac{- \frac{3}{2}}{2 ( - \frac{1}{2} )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- \frac{3}{2}}{- 2 \cdot \frac{1}{2}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{\frac{3}{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3}{2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3}{4 \cdot \frac{1}{2}}

Multiplicar

4 \cdot \frac{1}{2} : 2

4 \cdot \frac{1}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{2}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{2}

Dividir:

\frac{4}{2} = 2

= 2

= \frac{3}{2}

x = \frac{3}{2}

x = \frac{3}{2}

x = \frac{3}{2}

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

Eq u a t i o n 0

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

x = \frac{3}{2}, y = - \frac{1}{2} :

Verdadero

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

Sustituir

x = \frac{3}{2}, y = - \frac{1}{2}

(\frac{3}{2})^{2} - (- \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Verdadero

Verificar la solución

x = - \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2} :

Verdadero

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}

Sustituir

x = - \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2}

(- \frac{3}{2})^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Verdadero

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

2 x y = - \frac{3}{2}

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

x = \frac{3}{2}, y = - \frac{1}{2} :

Verdadero

2 x y = - \frac{3}{2}

Sustituir

x = \frac{3}{2}, y = - \frac{1}{2}

2 \cdot \frac{3}{2} (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}

Simplificar

- \frac{3}{2} = - \frac{3}{2}

Verdadero

Verificar la solución

x = - \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2} :

Verdadero

2 x y = - \frac{3}{2}

Sustituir

x = - \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2}

2 (- \frac{3}{2}) \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}

Simplificar

- \frac{3}{2} = - \frac{3}{2}

Verdadero

Por lo tanto, las soluciones finales para

x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}, 2 x y = - \frac{3}{2}

son

(x = - \frac{3}{2}, x = \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2} y = - \frac{1}{2})

Sustituir en la ecuación

u = x + y i

u = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

Las soluciones son

u = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

u = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i, u = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, u = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

Sustituir en la ecuación

u = sec (a)

sec (a) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, sec (a) = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i, sec (a) = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, sec (a) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

sec (a) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, sec (a) = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i, sec (a) = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i, sec (a) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

sec (a) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i :

Sin solución

sec (a) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sec (a) = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i :

Sin solución

sec (a) = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sec (a) = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i :

Sin solución

sec (a) = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sec (a) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i :

Sin solución

sec (a) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para a \in R

Gráfica

Ejemplos populares

(1-cos(a))(1+cos(a))=tan(a)sin(a)

tan^2(x)+1/6+(tan(1))/3 =0

-2cos^2(x)-5sin(x)+5=0

3-4sin^3(x)=sin^3(x)

cos^4(x)= 3/8+1/2 cos^2(x)+1/8 cos^4(x)