integral of 1/(x(1+x^2)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{1}{x ( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

ln tan (\frac{1}{2} arctan (x)) + \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x ( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{sec ( u ) tan ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1 - sin ^{2} ( u )}{sin ( u )} d u

Multipliziere aus

\frac{1 - sin ^{2} ( u )}{sin ( u )} : \frac{1}{sin ( u )} - sin (u)

= \int \frac{1}{sin ( u )} - sin (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{sin ( u )} d u - \int sin (u) d u

\int \frac{1}{sin ( u )} d u = ln tan (\frac{u}{2})

\int sin (u) d u = - cos (u)

= ln tan (\frac{u}{2}) - (- cos (u))

Setze in

u = arctan (x)

ein

= ln tan (\frac{arctan ( x )}{2}) - (- cos (arctan (x)))

Vereinfache

ln tan (\frac{arctan ( x )}{2}) - (- cos (arctan (x))) : ln tan (\frac{1}{2} arctan (x)) + \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= ln tan (\frac{1}{2} arctan (x)) + \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln tan (\frac{1}{2} arctan (x)) + \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C