integral of 1/(3x^2-2x+60)

Lösung

\int \frac{1}{3 x ^{2} - 2 x + 60} d x

\frac{1}{179} arctan (\frac{3 x - 1}{179}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{3 x ^{2} - 2 x + 60} d x

Vervollständige das Quadrat

3 x^{2} - 2 x + 60 : 3 (x - \frac{1}{3})^{2} + \frac{179}{3}

= \int \frac{1}{3 ( x - \frac{1}{3} ) ^{2} + \frac{179}{3}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{3}{9 u ^{2} + 179} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int \frac{1}{9 u ^{2} + 179} d u

Wende integrale Substitution an

= 3 \cdot \int \frac{1}{3 179 ( v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \frac{1}{3 179} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= 3 \cdot \frac{1}{3 179} arctan (v)

Ersetze zurück

= 3 \cdot \frac{1}{3 179} arctan (\frac{3}{179} (x - \frac{1}{3}))

Vereinfache

3 \cdot \frac{1}{3 179} arctan (\frac{3}{179} (x - \frac{1}{3})) : \frac{1}{179} arctan (\frac{3 x - 1}{179})

= \frac{1}{179} arctan (\frac{3 x - 1}{179})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{179} arctan (\frac{3 x - 1}{179}) + C