integral of 1/((81x^2+4)^2)

Lösung

\int \frac{1}{( 81 x ^{2} + 4 ) ^{2}} d x

\frac{1}{144} (arctan (\frac{9}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{9}{2} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( 81 x ^{2} + 4 ) ^{2}} d x

Wende integrale Substitution an

= \int \frac{1}{72 ( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{72} \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \frac{1}{72} \cdot \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{72} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{72} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{72} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= \frac{1}{72} \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= \frac{1}{72} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{9}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{9}{2} x)))

Vereinfache

\frac{1}{72} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{9}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{9}{2} x))) : \frac{1}{144} (arctan (\frac{9}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{9}{2} x)))

= \frac{1}{144} (arctan (\frac{9}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{9}{2} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{144} (arctan (\frac{9}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{9}{2} x))) + C

\int \frac{4 - x}{2 + x} d x

\int - 5 x cos (2 x) d x

\int \frac{1}{( 2 x ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\int \frac{1}{x + 1} d x

\int x - 1 - (x - 1)^{4} d x