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受欢迎的三角函数 >

7sec^3(x)+16sec^2(x)+11sec(x)+2=0

解答

7 sec^{3} (x) + 16 sec^{2} (x) + 11 sec (x) + 2 = 0

解答

x = π + 2 πn

+1

度数

x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

求解步骤

7 sec^{3} (x) + 16 sec^{2} (x) + 11 sec (x) + 2 = 0

用替代法求解

7 sec^{3} (x) + 16 sec^{2} (x) + 11 sec (x) + 2 = 0

令

: sec (x) = u

7 u^{3} + 16 u^{2} + 11 u + 2 = 0

7 u^{3} + 16 u^{2} + 11 u + 2 = 0 : u = - 1, u = - \frac{2}{7}

7 u^{3} + 16 u^{2} + 11 u + 2 = 0

因式分解

7 u^{3} + 16 u^{2} + 11 u + 2 : (u + 1)^{2} (7 u + 2)

7 u^{3} + 16 u^{2} + 11 u + 2

使用有理根定理

a_{0} = 2, a_{n} = 7

a_{0}

的除数

: 1, 2, a_{n}

的除数

: 1, 7

因此，检验以下有理数:

\pm \frac{1 , 2}{1 , 7}

- \frac{1}{1}

是表达式的根，所以因式分解

u + 1

= (u + 1) \frac{7 u ^{3} + 16 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1}

\frac{7 u ^{3} + 16 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1} = 7 u^{2} + 9 u + 2

\frac{7 u ^{3} + 16 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1}

对

\frac{7 u ^{3} + 16 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1}

做除法:

\frac{7 u ^{3} + 16 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1} = 7 u^{2} + \frac{9 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1}

将分子

7 u^{3} + 16 u^{2} + 11 u + 2

与除数

u + 1

的首项系数相除：

\frac{7 u ^{3}}{u} = 7 u^{2}

商 = 7 u^{2}

将

u + 1

乘以

7 u^{2} : 7 u^{3} + 7 u^{2}

将

7 u^{3} + 16 u^{2} + 11 u + 2

减去

7 u^{3} + 7 u^{2}

得到新的余数

余数 = 9 u^{2} + 11 u + 2

因此

\frac{7 u ^{3} + 16 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1} = 7 u^{2} + \frac{9 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1}

= 7 u^{2} + \frac{9 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1}

对

\frac{9 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1}

做除法:

\frac{9 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1} = 9 u + \frac{2 u + 2}{u + 1}

将分子

9 u^{2} + 11 u + 2

与除数

u + 1

的首项系数相除：

\frac{9 u ^{2}}{u} = 9 u

商 = 9 u

将

u + 1

乘以

9 u : 9 u^{2} + 9 u

将

9 u^{2} + 11 u + 2

减去

9 u^{2} + 9 u

得到新的余数

余数 = 2 u + 2

因此

\frac{9 u ^{2} + 11 u + 2}{u + 1} = 9 u + \frac{2 u + 2}{u + 1}

= 7 u^{2} + 9 u + \frac{2 u + 2}{u + 1}

对

\frac{2 u + 2}{u + 1}

做除法:

\frac{2 u + 2}{u + 1} = 2

将分子

2 u + 2

与除数

u + 1

的首项系数相除：

\frac{2 u}{u} = 2

商 = 2

将

u + 1

乘以

2 : 2 u + 2

将

2 u + 2

减去

2 u + 2

得到新的余数

余数 = 0

因此

\frac{2 u + 2}{u + 1} = 2

= 7 u^{2} + 9 u + 2

= 7 u^{2} + 9 u + 2

分解

7 u^{2} + 9 u + 2 : (7 u + 2) (u + 1)

7 u^{2} + 9 u + 2

将表达式拆分成组

7 u^{2} + 9 u + 2

定义

14

的因数:

1, 2, 7, 14

14

约数 (因数)

找到

14

的质因数:

2, 7

14

14

除以

214 = 7 \cdot 2

= 2 \cdot 7

2, 7

都是质数，因此无法进一步因数分解

= 2 \cdot 7

添加质因数:

2, 7

将 1 和数字

14

自身相加

1, 14

14

的因数

1, 2, 7, 14

对于每两个因数

u * v = 14

，检验是否

u + v = 9

检验

u = 1, v = 14 : u * v = 14, u + v = 15 \Rightarrow

假检验

u = 2, v = 7 : u * v = 14, u + v = 9 \Rightarrow

真

u = 2, v = 7

分组为

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(7 u^{2} + 2 u) + (7 u + 2)

= (7 u^{2} + 2 u) + (7 u + 2)

从

7 u^{2} + 2 u

分解出因式

u

:

u (7 u + 2)

7 u^{2} + 2 u

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 7 uu + 2 u

因式分解出通项

u

= u (7 u + 2)

= u (7 u + 2) + (7 u + 2)

因式分解出通项

7 u + 2

= (7 u + 2) (u + 1)

= (u + 1) (7 u + 2) (u + 1)

整理后得

= (u + 1)^{2} (7 u + 2)

(u + 1)^{2} (7 u + 2) = 0

使用零因数法则： If

ab = 0

then

a = 0

or

b = 0

u + 1 = 0 or 7 u + 2 = 0

解

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

将

1

到右边

u + 1 = 0

两边减去

1

u + 1 - 1 = 0 - 1

化简

u = - 1

u = - 1

解

7 u + 2 = 0 : u = - \frac{2}{7}

7 u + 2 = 0

将

2

到右边

7 u + 2 = 0

两边减去

2

7 u + 2 - 2 = 0 - 2

化简

7 u = - 2

7 u = - 2

两边除以

7

7 u = - 2

两边除以

7

\frac{7 u}{7} = \frac{- 2}{7}

化简

u = - \frac{2}{7}

u = - \frac{2}{7}

解为

u = - 1, u = - \frac{2}{7}

u = sec (x)

代回

sec (x) = - 1, sec (x) = - \frac{2}{7}

sec (x) = - 1, sec (x) = - \frac{2}{7}

sec (x) = - 1 : x = π + 2 πn

sec (x) = - 1

sec (x) = - 1

的通解

sec (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

sec (x) = - \frac{2}{7} :

无解

sec (x) = - \frac{2}{7}

sec (x) \leq - 1 or sec (x) \geq 1

无解

合并所有解

x = π + 2 πn

作图

流行的例子

1 + sin (5 x) = 0

0= pi/2-2arctan((pi/2-2-c)/(pi/2-c))

0 = \frac{π}{2} - 2 arctan (\frac{\frac{π}{2} - 2 - c}{\frac{π}{2} - c})

2sin(2x+10)-sqrt(3)=0

2 sin (2 x + 10) - 3 = 0

cos(θ)=(13)/(sqrt(6)*\sqrt{86)}

cos (θ) = \frac{13}{6 \cdot 86}

(1+tan(x))/(1+cot(x))=2

\frac{1 + tan ( x )}{1 + cot ( x )} = 2