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Popolare Trigonometria >

tan(2θ)+2cos(θ)=0,0<= θ<2pi

Soluzione

tan (2 θ) + 2 cos (θ) = 0, 0 \leq θ < 2 π

Soluzione

θ = \frac{π}{2}, θ = \frac{3 π}{2}, θ = \frac{7 π}{6}, θ = \frac{11 π}{6}

Gradi

θ = 9 0^{\circ}, θ = 27 0^{\circ}, θ = 21 0^{\circ}, θ = 33 0^{\circ}

Fasi della soluzione

tan (2 θ) + 2 cos (θ) = 0, 0 \leq θ < 2 π

Esprimere con sen e cos

tan (2 θ) + 2 cos (θ)

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )} + 2 cos (θ)

Semplifica

\frac{sin ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )} + 2 cos (θ) : \frac{sin ( 2 θ ) + 2 cos ( θ ) cos ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )}

\frac{sin ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )} + 2 cos (θ)

Converti l'elemento in frazione:

2 cos (θ) = \frac{2 cos ( θ ) cos ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )}

= \frac{sin ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )} + \frac{2 cos ( θ ) cos ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( 2 θ ) + 2 cos ( θ ) cos ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )}

= \frac{sin ( 2 θ ) + 2 cos ( θ ) cos ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )}

\frac{sin ( 2 θ ) + 2 cos ( 2 θ ) cos ( θ )}{cos ( 2 θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (2 θ) + 2 cos (2 θ) cos (θ) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

sin (2 θ) + 2 cos (2 θ) cos (θ)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 sin (θ) cos (θ) + 2 cos (2 θ) cos (θ)

2 cos (2 θ) cos (θ) + 2 cos (θ) sin (θ) = 0

Fattorizza

2 cos (2 θ) cos (θ) + 2 cos (θ) sin (θ) : 2 cos (θ) (cos (2 θ) + sin (θ))

2 cos (2 θ) cos (θ) + 2 cos (θ) sin (θ)

Riscrivi come

= 2 cos (θ) cos (2 θ) + 2 cos (θ) sin (θ)

Fattorizzare dal termine comune

2 cos (θ)

= 2 cos (θ) (cos (2 θ) + sin (θ))

2 cos (θ) (cos (2 θ) + sin (θ)) = 0

Risolvere ogni parte separatamente

cos (θ) = 0 or cos (2 θ) + sin (θ) = 0

cos (θ) = 0, 0 \leq θ < 2 π : θ = \frac{π}{2}, θ = \frac{3 π}{2}

cos (θ) = 0, 0 \leq θ < 2 π

Soluzioni generali per

cos (θ) = 0

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq θ < 2 π

θ = \frac{π}{2}, θ = \frac{3 π}{2}

cos (2 θ) + sin (θ) = 0, 0 \leq θ < 2 π : θ = \frac{7 π}{6}, θ = \frac{11 π}{6}, θ = \frac{π}{2}

cos (2 θ) + sin (θ) = 0, 0 \leq θ < 2 π

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cos (2 θ) + sin (θ)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin^{2} (θ) + sin (θ)

1 + sin (θ) - 2 sin^{2} (θ) = 0

Risolvi per sostituzione

1 + sin (θ) - 2 sin^{2} (θ) = 0

Sia:

sin (θ) = u

1 + u - 2 u^{2} = 0

1 + u - 2 u^{2} = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = 1

1 + u - 2 u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + u + 1 = 0

Risolvi con la formula quadratica

- 2 u^{2} + u + 1 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 2, b = 1, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

1^{2} - 4 (- 2) \cdot 1 = 3

1^{2} - 4 (- 2) \cdot 1

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 2) \cdot 1

Applicare la regola

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 2 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 1 + 8

Aggiungi i numeri:

1 + 8 = 9

= 9

Fattorizzare il numero:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Applicare la regola della radice:

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2 ( - 2 )}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 3}{- 2 \cdot 2}

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 1 + 3 = 2

= \frac{2}{- 2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{- 4}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{4}

Cancella il fattore comune:

2

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )} : 1

\frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 3}{- 2 \cdot 2}

Sottrai i numeri:

- 1 - 3 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{- 4}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{4}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= 1

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = - \frac{1}{2}, u = 1

Sostituire indietro

u = sin (θ)

sin (θ) = - \frac{1}{2}, sin (θ) = 1

sin (θ) = - \frac{1}{2}, sin (θ) = 1

sin (θ) = - \frac{1}{2}, 0 \leq θ < 2 π : θ = \frac{7 π}{6}, θ = \frac{11 π}{6}

sin (θ) = - \frac{1}{2}, 0 \leq θ < 2 π

Soluzioni generali per

sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq θ < 2 π

θ = \frac{7 π}{6}, θ = \frac{11 π}{6}

sin (θ) = 1, 0 \leq θ < 2 π : θ = \frac{π}{2}

sin (θ) = 1, 0 \leq θ < 2 π

Soluzioni generali per

sin (θ) = 1

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq θ < 2 π

θ = \frac{π}{2}

Combinare tutte le soluzioni

θ = \frac{7 π}{6}, θ = \frac{11 π}{6}, θ = \frac{π}{2}

Combinare tutte le soluzioni

θ = \frac{π}{2}, θ = \frac{3 π}{2}, θ = \frac{7 π}{6}, θ = \frac{11 π}{6}

Grafico

Esempi popolari

tan((5pi)/4+x)+tan((5pi)/4-x)=4

-8cos(8x)=0

tan^2(x)+7tan(x)+9=0

4cos(x)=sec(x)+3,0<= x<2pi

solvefor x,-1/(2y^2)=3sin(x)-1/8