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Beliebt Trigonometrie >

3sin(x)+4=5cos(x)

Lösung

3 sin (x) + 4 = 5 cos (x)

Lösung

x = 0.27440 \dots + 2 πn, x = - 1.35524 \dots + 2 πn

Grad

x = 15.72238 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 77.64989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 sin (x) + 4 = 5 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(3 sin (x) + 4)^{2} = (5 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(5 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

(3 sin (x) + 4)^{2} - 25 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(4 + 3 sin (x))^{2} - 25 cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (4 + 3 sin (x))^{2} - 25 (1 - sin^{2} (x))

Vereinfache

(4 + 3 sin (x))^{2} - 25 (1 - sin^{2} (x)) : 34 sin^{2} (x) + 24 sin (x) - 9

(4 + 3 sin (x))^{2} - 25 (1 - sin^{2} (x))

(4 + 3 sin (x))^{2} : 16 + 24 sin (x) + 9 sin^{2} (x)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 4, b = 3 sin (x)

= 4^{2} + 2 \cdot 4 \cdot 3 sin (x) + (3 sin (x))^{2}

Vereinfache

4^{2} + 2 \cdot 4 \cdot 3 sin (x) + (3 sin (x))^{2} : 16 + 24 sin (x) + 9 sin^{2} (x)

4^{2} + 2 \cdot 4 \cdot 3 sin (x) + (3 sin (x))^{2}

4^{2} = 16

4^{2}

4^{2} = 16

= 16

2 \cdot 4 \cdot 3 sin (x) = 24 sin (x)

2 \cdot 4 \cdot 3 sin (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 \cdot 3 = 24

= 24 sin (x)

(3 sin (x))^{2} = 9 sin^{2} (x)

(3 sin (x))^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 3^{2} sin^{2} (x)

3^{2} = 9

= 9 sin^{2} (x)

= 16 + 24 sin (x) + 9 sin^{2} (x)

= 16 + 24 sin (x) + 9 sin^{2} (x)

= 16 + 24 sin (x) + 9 sin^{2} (x) - 25 (1 - sin^{2} (x))

Multipliziere aus

- 25 (1 - sin^{2} (x)) : - 25 + 25 sin^{2} (x)

- 25 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 25, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 25 \cdot 1 - (- 25) sin^{2} (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 25 \cdot 1 + 25 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

25 \cdot 1 = 25

= - 25 + 25 sin^{2} (x)

= 16 + 24 sin (x) + 9 sin^{2} (x) - 25 + 25 sin^{2} (x)

Vereinfache

16 + 24 sin (x) + 9 sin^{2} (x) - 25 + 25 sin^{2} (x) : 34 sin^{2} (x) + 24 sin (x) - 9

16 + 24 sin (x) + 9 sin^{2} (x) - 25 + 25 sin^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 24 sin (x) + 9 sin^{2} (x) + 25 sin^{2} (x) + 16 - 25

Addiere gleiche Elemente:

9 sin^{2} (x) + 25 sin^{2} (x) = 34 sin^{2} (x)

= 24 sin (x) + 34 sin^{2} (x) + 16 - 25

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

16 - 25 = - 9

= 34 sin^{2} (x) + 24 sin (x) - 9

= 34 sin^{2} (x) + 24 sin (x) - 9

= 34 sin^{2} (x) + 24 sin (x) - 9

- 9 + 24 sin (x) + 34 sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 9 + 24 sin (x) + 34 sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 9 + 24 u + 34 u^{2} = 0

- 9 + 24 u + 34 u^{2} = 0 : u = \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}, u = - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}

- 9 + 24 u + 34 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

34 u^{2} + 24 u - 9 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

34 u^{2} + 24 u - 9 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 34, b = 24, c = - 9

u_{1, 2} = \frac{- 24 \pm 2 4 ^{2} - 4 \cdot 34 ( - 9 )}{2 \cdot 34}

u_{1, 2} = \frac{- 24 \pm 2 4 ^{2} - 4 \cdot 34 ( - 9 )}{2 \cdot 34}

2 4^{2} - 4 \cdot 34 (- 9) = 302

2 4^{2} - 4 \cdot 34 (- 9)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2 4^{2} + 4 \cdot 34 \cdot 9

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 34 \cdot 9 = 1224

= 2 4^{2} + 1224

2 4^{2} = 576

= 576 + 1224

Addiere die Zahlen:

576 + 1224 = 1800

= 1800

Primfaktorzerlegung von

1800 : 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}

1800

1800

ist durch

21800 = 900 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 900

900

ist durch

2900 = 450 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 450

450

ist durch

2450 = 225 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 225

225

ist durch

3225 = 75 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 75

75

ist durch

375 = 25 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 25

25

ist durch

525 = 5 \cdot 5

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5

2, 3, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5

= 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}

= 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{2} 3^{2} 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22 3^{2} 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2 \cdot 32 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 2 \cdot 3 \cdot 52

Fasse zusammen

= 302

u_{1, 2} = \frac{- 24 \pm 30 2}{2 \cdot 34}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 24 + 30 2}{2 \cdot 34}, u_{2} = \frac{- 24 - 30 2}{2 \cdot 34}

u = \frac{- 24 + 30 2}{2 \cdot 34} : \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}

\frac{- 24 + 30 2}{2 \cdot 34}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 34 = 68

= \frac{- 24 + 30 2}{68}

Faktorisiere

- 24 + 302 : 6 (- 4 + 52)

- 24 + 302

Schreibe um

= - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 52

Klammere gleiche Terme aus

6

= 6 (- 4 + 52)

= \frac{6 ( - 4 + 5 2 )}{68}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}

u = \frac{- 24 - 30 2}{2 \cdot 34} : - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}

\frac{- 24 - 30 2}{2 \cdot 34}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 34 = 68

= \frac{- 24 - 30 2}{68}

Faktorisiere

- 24 - 302 : - 6 (4 + 52)

- 24 - 302

Schreibe um

= - 6 \cdot 4 - 6 \cdot 52

Klammere gleiche Terme aus

6

= - 6 (4 + 52)

= - \frac{6 ( 4 + 5 2 )}{68}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}, u = - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}, sin (x) = - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}

sin (x) = \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}, sin (x) = - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}

sin (x) = \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34} : x = arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn

sin (x) = \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34} : x = arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

3 sin (x) + 4 = 5 cos (x)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 π 1

3 sin (x) + 4 = 5 cos (x)

ein, um zu lösen

3 sin (arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 π 1) + 4 = 5 cos (arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

4.81292 \dots = 4.81292 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn :

Falsch

π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 π 1

Setze

x = π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 π 1

3 sin (x) + 4 = 5 cos (x)

ein, um zu lösen

3 sin (π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 π 1) + 4 = 5 cos (π - arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

4.81292 \dots = - 4.81292 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 π 1

3 sin (x) + 4 = 5 cos (x)

ein, um zu lösen

3 sin (arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 π 1) + 4 = 5 cos (arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

1.06942 \dots = 1.06942 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn :

Falsch

π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 π 1

3 sin (x) + 4 = 5 cos (x)

ein, um zu lösen

3 sin (π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 π 1) + 4 = 5 cos (π + arcsin (\frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

1.06942 \dots = - 1.06942 \dots

\Rightarrow Falsch

x = arcsin (\frac{3 ( 5 2 - 4 )}{34}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{3 ( 4 + 5 2 )}{34}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.27440 \dots + 2 πn, x = - 1.35524 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2cos(2x)+1=0,0<= x<= 2pi

2 cos (2 x) + 1 = 0, 0 \leq x \leq 2 π

sin(1/2 x+pi/3)=-1/2

sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{3}) = - \frac{1}{2}

sin(2x)=-1/3

sin (2 x) = - \frac{1}{3}

-cos(3x)=-cos(x)

- cos (3 x) = - cos (x)

-2cos(C)+5=2cos(C)+4

- 2 cos (C) + 5 = 2 cos (C) + 4