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受欢迎的三角函数 >

证明 sqrt(2)cos(x-pi/4)=cos(x)+sin(x)

解答

证明

2 cos (x - \frac{π}{4}) = cos (x) + sin (x)

解答

真

求解步骤

2 cos (x - \frac{π}{4}) = cos (x) + sin (x)

调整左侧

2 cos (x - \frac{π}{4})

使用三角恒等式改写

cos (x - \frac{π}{4})

使用角差恒等式:

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

= cos (x) cos (\frac{π}{4}) + sin (x) sin (\frac{π}{4})

化简

cos (x) cos (\frac{π}{4}) + sin (x) sin (\frac{π}{4}) : \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

cos (x) cos (\frac{π}{4}) + sin (x) sin (\frac{π}{4})

cos (x) cos (\frac{π}{4}) = \frac{2 cos ( x )}{2}

cos (x) cos (\frac{π}{4})

化简

cos (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

使用以下普通恒等式:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x)

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

sin (x) sin (\frac{π}{4}) = \frac{2 sin ( x )}{2}

sin (x) sin (\frac{π}{4})

化简

sin (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4})

使用以下普通恒等式:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} sin (x)

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( x )}{2}

= \frac{2 cos ( x )}{2} + \frac{2 sin ( x )}{2}

使用法则

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

= 2 \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

化简

2 \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2} : cos (x) + sin (x)

2 \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 2 cos ( x ) + 2 sin ( x ) ) 2}{2}

消掉

\frac{( 2 cos ( x ) + 2 sin ( x ) ) 2}{2} : \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

\frac{( 2 cos ( x ) + 2 sin ( x ) ) 2}{2}

使用根式运算法则:

n a = a^{\frac{1}{n}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{\frac{1}{2}} ( 2 cos ( x ) + 2 sin ( x ) )}{2}

使用指数法则:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{2 ^{\frac{1}{2}}}{2 ^{1}} = \frac{1}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2 ^{1 - \frac{1}{2}}}

数字相减:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2 ^{\frac{1}{2}}}

使用根式运算法则:

a^{\frac{1}{n}} = n a

2^{\frac{1}{2}} = 2

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

因式分解出通项

2

= \frac{2 ( cos ( x ) + sin ( x ) )}{2}

约分:

2

= cos (x) + sin (x)

= cos (x) + sin (x)

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 (cos(u))/(1-sin(u))=sec(u)+tan(u)

p ro v e \frac{cos ( u )}{1 - sin ( u )} = sec (u) + tan (u)

证明 cos(x-(3pi)/2)=-sin(x)

p ro v e cos (x - \frac{3 π}{2}) = - sin (x)

证明 sin^2(x)sec^2(x)+1=sec^2(x)

p ro v e sin^{2} (x) sec^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

证明 cos(a+b)-cos(a-b)=-2sin(a)sin(b)

p ro v e cos (a + b) - cos (a - b) = - 2 sin (a) sin (b)

证明 (tan(β)+sec(β))(1-sin(β))=cos(β)

p ro v e (tan (β) + sec (β)) (1 - sin (β)) = cos (β)