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Popular Trigonometría >

verificar sin^3(x)= 3/4 sin(x)-1/4 sin(3x)

Solución

verificar

sin^{3} (x) = \frac{3}{4} sin (x) - \frac{1}{4} sin (3 x)

Solución

Verdadero

Pasos de solución

sin^{3} (x) = \frac{3}{4} sin (x) - \frac{1}{4} sin (3 x)

Manipular el lado izquierdo

\frac{3}{4} sin (x) - \frac{1}{4} sin (3 x)

Re-escribir usando identidades trigonométricas

\frac{3}{4} sin (x) - \frac{1}{4} sin (3 x)

Usar la siguiente identidad:

sin (3 x) = 3 sin (x) - 4 sin^{3} (x)

sin (3 x)

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (3 x)

Reescribir como

= sin (2 x + x)

Utilizar la identidad de suma de ángulos:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (2 x) cos (x) + cos (2 x) sin (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 x) sin (x) + cos (x) 2 sin (x) cos (x)

Simplificar

cos (2 x) sin (x) + cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) : sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

cos (2 x) sin (x) + cos (x) 2 sin (x) cos (x)

cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) = 2 cos^{2} (x) sin (x)

cos (x) 2 sin (x) cos (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 2 sin (x) cos^{1 + 1} (x)

Sumar:

1 + 1 = 2

= 2 sin (x) cos^{2} (x)

= sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

Expandir

(1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x) : - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

(1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

= sin (x) (1 - 2 sin^{2} (x)) + 2 sin (x) (1 - sin^{2} (x))

Expandir

sin (x) (1 - 2 sin^{2} (x)) : sin (x) - 2 sin^{3} (x)

sin (x) (1 - 2 sin^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = sin (x), b = 1, c = 2 sin^{2} (x)

= sin (x) 1 - sin (x) 2 sin^{2} (x)

= 1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

Simplificar

1 \cdot sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x) : sin (x) - 2 sin^{3} (x)

1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

1 \cdot sin (x) = sin (x)

1 sin (x)

Multiplicar:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= sin (x)

2 sin^{2} (x) sin (x) = 2 sin^{3} (x)

2 sin^{2} (x) sin (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{2 + 1} (x)

= 2 sin^{2 + 1} (x)

Sumar:

2 + 1 = 3

= 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

Expandir

2 sin (x) (1 - sin^{2} (x)) : 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

2 sin (x) (1 - sin^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2 sin (x), b = 1, c = sin^{2} (x)

= 2 sin (x) 1 - 2 sin (x) sin^{2} (x)

= 2 \cdot 1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

Simplificar

2 \cdot 1 \cdot sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x) : 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

2 \cdot 1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

2 \cdot 1 \cdot sin (x) = 2 sin (x)

2 \cdot 1 sin (x)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 2 sin (x)

2 sin^{2} (x) sin (x) = 2 sin^{3} (x)

2 sin^{2} (x) sin (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{2 + 1} (x)

= 2 sin^{2 + 1} (x)

Sumar:

2 + 1 = 3

= 2 sin^{3} (x)

= 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

Simplificar

sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x) : - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

Agrupar términos semejantes

= - 2 sin^{3} (x) - 2 sin^{3} (x) + sin (x) + 2 sin (x)

Sumar elementos similares:

- 2 sin^{3} (x) - 2 sin^{3} (x) = - 4 sin^{3} (x)

= - 4 sin^{3} (x) + sin (x) + 2 sin (x)

Sumar elementos similares:

sin (x) + 2 sin (x) = 3 sin (x)

= - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

= - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

= - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

= 3 sin (x) - 4 sin^{3} (x)

= \frac{3}{4} sin (x) - \frac{1}{4} (3 sin (x) - 4 sin^{3} (x))

Simplificar

\frac{3}{4} sin (x) - \frac{1}{4} (3 sin (x) - 4 sin^{3} (x)) : sin^{3} (x)

\frac{3}{4} sin (x) - \frac{1}{4} (3 sin (x) - 4 sin^{3} (x))

Expandir

- \frac{1}{4} (3 sin (x) - 4 sin^{3} (x)) : - \frac{3}{4} sin (x) + sin^{3} (x)

- \frac{1}{4} (3 sin (x) - 4 sin^{3} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - \frac{1}{4}, b = 3 sin (x), c = 4 sin^{3} (x)

= - \frac{1}{4} \cdot 3 sin (x) - (- \frac{1}{4}) \cdot 4 sin^{3} (x)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 3 \cdot \frac{1}{4} sin (x) + 4 \cdot \frac{1}{4} sin^{3} (x)

Simplificar

- 3 \cdot \frac{1}{4} sin (x) + 4 \cdot \frac{1}{4} sin^{3} (x) : - \frac{3}{4} sin (x) + sin^{3} (x)

- 3 \cdot \frac{1}{4} sin (x) + 4 \cdot \frac{1}{4} sin^{3} (x)

3 \cdot \frac{1}{4} sin (x) = \frac{3}{4} sin (x)

3 \cdot \frac{1}{4} sin (x)

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{4} sin (x)

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{4} sin (x)

4 \cdot \frac{1}{4} sin^{3} (x) = sin^{3} (x)

4 \cdot \frac{1}{4} sin^{3} (x)

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{4} sin^{3} (x)

Eliminar los terminos comunes:

4

= sin^{3} (x) \cdot 1

Multiplicar:

sin^{3} (x) \cdot 1 = sin^{3} (x)

= sin^{3} (x)

= - \frac{3}{4} sin (x) + sin^{3} (x)

= - \frac{3}{4} sin (x) + sin^{3} (x)

= \frac{3}{4} sin (x) - \frac{3}{4} sin (x) + sin^{3} (x)

Sumar elementos similares:

\frac{3}{4} sin (x) - \frac{3}{4} sin (x) = 0

\frac{3}{4} sin (x) - \frac{3}{4} sin (x)

Factorizar el termino común

sin (x)

= sin (x) (\frac{3}{4} - \frac{3}{4})

\frac{3}{4} - \frac{3}{4} = 0

\frac{3}{4} - \frac{3}{4}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 - 3}{4}

Simplificar

= 0

= 0

= sin^{3} (x)

= sin^{3} (x)

= sin^{3} (x)

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

Ejemplos populares

verificar cos^2(x)=(1-sin(x))(1+sin(x))

verificar ((cos(x)sec(x)))/(tan(x))=cot(x)

verificar (sin^2(x)+cos^2(x))^5=1

verificar (cot^2(x)-1)/(2cot(x))=cot(2x)

verificar csc(θ)=(sec(θ))/(tan(θ))