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beweisen 1-((cos^2(θ)))/(1+sin(θ))=sin(θ)

Lösung

beweisen

1 - \frac{( cos ^{2} ( θ ) )}{1 + sin ( θ )} = sin (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

1 - \frac{cos ^{2} ( θ )}{1 + sin ( θ )} = sin (θ)

Manipuliere die linke Seite

1 - \frac{cos ^{2} ( θ )}{1 + sin ( θ )}

Vereinfache

1 - \frac{cos ^{2} ( θ )}{1 + sin ( θ )} : \frac{1 + sin ( θ ) - cos ^{2} ( θ )}{1 + sin ( θ )}

1 - \frac{cos ^{2} ( θ )}{1 + sin ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 ( 1 + sin ( θ ) )}{1 + sin ( θ )}

= \frac{1 \cdot ( 1 + sin ( θ ) )}{1 + sin ( θ )} - \frac{cos ^{2} ( θ )}{1 + sin ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot ( 1 + sin ( θ ) ) - cos ^{2} ( θ )}{1 + sin ( θ )}

1 \cdot (1 + sin (θ)) = 1 + sin (θ)

1 \cdot (1 + sin (θ))

Multipliziere:

1 \cdot (1 + sin (θ)) = (1 + sin (θ))

= (1 + sin (θ))

Entferne die Klammern:

(a) = a

= 1 + sin (θ)

= \frac{1 + sin ( θ ) - cos ^{2} ( θ )}{1 + sin ( θ )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( θ ) + sin ( θ )}{1 + sin ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - cos ^{2} ( θ ) + sin ( θ )}{1 + sin ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + sin ( θ )}{1 + sin ( θ )}

Vereinfache

\frac{sin ^{2} ( θ ) + sin ( θ )}{1 + sin ( θ )} : sin (θ)

\frac{sin ^{2} ( θ ) + sin ( θ )}{1 + sin ( θ )}

Faktorisiere

sin^{2} (θ) + sin (θ) : sin (θ) (sin (θ) + 1)

sin^{2} (θ) + sin (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (θ) = sin (θ) sin (θ)

= sin (θ) sin (θ) + sin (θ)

Klammere gleiche Terme aus

sin (θ)

= sin (θ) (sin (θ) + 1)

= \frac{sin ( θ ) ( sin ( θ ) + 1 )}{1 + sin ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (θ) + 1

= sin (θ)

= sin (θ)

= sin (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e tan (18 0^{\circ} - y) = - tan (y)

p ro v e cot (2 x) = \frac{cot ( 2 x ) - 1}{2 cot ( x )}

p ro v e \frac{1}{csc ^{2} ( x )} = 1 - cos^{2} (x)

p ro v e tan^{2} (x) - (sec (x) + 1) (sec (x) - 1) = 0

p ro v e sec^{4} (θ) = sec^{2} (θ) tan^{2} (θ) + sec^{2} (θ)