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Populaire Trigonométrie >

prouver tan(135+θ)=(-1+tan(θ))/(1+tan(θ))

Solution

prouver

tan (13 5^{\circ} + θ) = \frac{- 1 + tan ( θ )}{1 + tan ( θ )}

Solution

vrai

étapes des solutions

tan (13 5^{\circ} + θ) = \frac{- 1 + tan ( θ )}{1 + tan ( θ )}

En manipulant le côté gauche

tan (13 5^{\circ} + θ)

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

tan (13 5^{\circ} + θ)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( 13 5 ^{\circ} + θ )}{cos ( 13 5 ^{\circ} + θ )}

Utiliser l'identité de la somme de l'angle:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= \frac{sin ( 13 5 ^{\circ} ) cos ( θ ) + cos ( 13 5 ^{\circ} ) sin ( θ )}{cos ( 13 5 ^{\circ} + θ )}

Utiliser l'identité de la somme de l'angle:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= \frac{sin ( 13 5 ^{\circ} ) cos ( θ ) + cos ( 13 5 ^{\circ} ) sin ( θ )}{cos ( 13 5 ^{\circ} ) cos ( θ ) - sin ( 13 5 ^{\circ} ) sin ( θ )}

Simplifier

\frac{sin ( 13 5 ^{\circ} ) cos ( θ ) + cos ( 13 5 ^{\circ} ) sin ( θ )}{cos ( 13 5 ^{\circ} ) cos ( θ ) - sin ( 13 5 ^{\circ} ) sin ( θ )} : - \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

\frac{sin ( 13 5 ^{\circ} ) cos ( θ ) + cos ( 13 5 ^{\circ} ) sin ( θ )}{cos ( 13 5 ^{\circ} ) cos ( θ ) - sin ( 13 5 ^{\circ} ) sin ( θ )}

sin (13 5^{\circ}) cos (θ) + cos (13 5^{\circ}) sin (θ) = \frac{2}{2} cos (θ) - \frac{2}{2} sin (θ)

sin (13 5^{\circ}) cos (θ) + cos (13 5^{\circ}) sin (θ)

Simplifier

sin (13 5^{\circ}) : \frac{2}{2}

sin (13 5^{\circ})

Utiliser l'identité triviale suivante:

sin (13 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

36 0^{\circ} n

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (θ) + cos (13 5^{\circ}) sin (θ)

Simplifier

cos (13 5^{\circ}) : - \frac{2}{2}

cos (13 5^{\circ})

Utiliser l'identité triviale suivante:

cos (13 5^{\circ}) = - \frac{2}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

36 0^{\circ} n

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= - \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (θ) - \frac{2}{2} sin (θ)

= \frac{\frac{2}{2} cos ( θ ) - \frac{2}{2} sin ( θ )}{cos ( 13 5 ^{\circ} ) cos ( θ ) - sin ( 13 5 ^{\circ} ) sin ( θ )}

cos (13 5^{\circ}) cos (θ) - sin (13 5^{\circ}) sin (θ) = - \frac{2}{2} cos (θ) - \frac{2}{2} sin (θ)

cos (13 5^{\circ}) cos (θ) - sin (13 5^{\circ}) sin (θ)

Simplifier

cos (13 5^{\circ}) : - \frac{2}{2}

cos (13 5^{\circ})

Utiliser l'identité triviale suivante:

cos (13 5^{\circ}) = - \frac{2}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

36 0^{\circ} n

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2} cos (θ) - sin (13 5^{\circ}) sin (θ)

Simplifier

sin (13 5^{\circ}) : \frac{2}{2}

sin (13 5^{\circ})

Utiliser l'identité triviale suivante:

sin (13 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

36 0^{\circ} n

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2} cos (θ) - \frac{2}{2} sin (θ)

= \frac{\frac{2}{2} cos ( θ ) - \frac{2}{2} sin ( θ )}{- \frac{2}{2} cos ( θ ) - \frac{2}{2} sin ( θ )}

Multiplier

\frac{2}{2} cos (θ) : \frac{2 cos ( θ )}{2}

\frac{2}{2} cos (θ)

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( θ )}{2}

= \frac{\frac{2}{2} cos ( θ ) - \frac{2}{2} sin ( θ )}{- \frac{2 c o s ( θ )}{2} - \frac{2}{2} sin ( θ )}

Multiplier

\frac{2}{2} sin (θ) : \frac{2 sin ( θ )}{2}

\frac{2}{2} sin (θ)

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( θ )}{2}

= \frac{\frac{2}{2} cos ( θ ) - \frac{2}{2} sin ( θ )}{- \frac{2 c o s ( θ )}{2} - \frac{2 s i n ( θ )}{2}}

Multiplier

\frac{2}{2} cos (θ) : \frac{2 cos ( θ )}{2}

\frac{2}{2} cos (θ)

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( θ )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( θ )}{2} - \frac{2}{2} sin ( θ )}{- \frac{2 c o s ( θ )}{2} - \frac{2 s i n ( θ )}{2}}

Multiplier

\frac{2}{2} sin (θ) : \frac{2 sin ( θ )}{2}

\frac{2}{2} sin (θ)

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( θ )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( θ )}{2} - \frac{2 s i n ( θ )}{2}}{- \frac{2 c o s ( θ )}{2} - \frac{2 s i n ( θ )}{2}}

Combiner les fractions

- \frac{2 cos ( θ )}{2} - \frac{2 sin ( θ )}{2} : \frac{- 2 cos ( θ ) - 2 sin ( θ )}{2}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 2 cos ( θ ) - 2 sin ( θ )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( θ )}{2} - \frac{2 s i n ( θ )}{2}}{\frac{- 2 c o s ( θ ) - 2 s i n ( θ )}{2}}

Combiner les fractions

\frac{2 cos ( θ )}{2} - \frac{2 sin ( θ )}{2} : \frac{2 cos ( θ ) - 2 sin ( θ )}{2}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( θ ) - 2 sin ( θ )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( θ ) - 2 s i n ( θ )}{2}}{\frac{- 2 c o s ( θ ) - 2 s i n ( θ )}{2}}

Diviser des fractions:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( 2 cos ( θ ) - 2 sin ( θ ) ) \cdot 2}{2 ( - 2 cos ( θ ) - 2 sin ( θ ) )}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{2 cos ( θ ) - 2 sin ( θ )}{- 2 cos ( θ ) - 2 sin ( θ )}

Factoriser le terme commun

2

= \frac{2 ( cos ( θ ) - sin ( θ ) )}{- 2 cos ( θ ) - 2 sin ( θ )}

Factoriser le terme commun

2

= - \frac{2 ( cos ( θ ) - sin ( θ ) )}{2 ( cos ( θ ) + sin ( θ ) )}

Annuler le facteur commun :

2

= - \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

= - \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

= - \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

= \frac{- ( cos ( θ ) - sin ( θ ) )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

Simplifier

= \frac{- cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

En manipulant le côté droit

\frac{- 1 + tan ( θ )}{1 + tan ( θ )}

Exprimer avec sinus, cosinus

\frac{- 1 + tan ( θ )}{1 + tan ( θ )}

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{- 1 + \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{1 + \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}

Simplifier

\frac{- 1 + \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{1 + \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}} : \frac{- cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

\frac{- 1 + \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{1 + \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}

Relier

1 + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

1 + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 cos ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{1 \cdot cos ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multiplier:

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

= \frac{cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{- 1 + \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{\frac{c o s ( θ ) + s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}

Relier

- 1 + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{- cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

- 1 + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 cos ( θ )}{cos ( θ )}

= - \frac{1 \cdot cos ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multiplier:

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

= \frac{- cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{\frac{- c o s ( θ ) + s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{\frac{c o s ( θ ) + s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}

Diviser des fractions:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( - cos ( θ ) + sin ( θ ) ) cos ( θ )}{cos ( θ ) ( cos ( θ ) + sin ( θ ) )}

Annuler le facteur commun :

cos (θ)

= \frac{- cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

= \frac{- cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

= \frac{- cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

Exemples populaires

prouver (csc(pi/2-x))/(-tan(-x))=csc(x)

p ro v e \frac{csc ( \frac{π}{2} - x )}{- tan ( - x )} = csc (x)

prouver tan(120)=tan(180-60)

p ro v e tan (12 0^{\circ}) = tan (18 0^{\circ} - 6 0^{\circ})

prouver sin(2x)tan(x)=2sin^2(x)

p ro v e sin (2 x) tan (x) = 2 sin^{2} (x)

prouver (1-4sec^2(x))/(1+2sec(x))=1-2sec(x)

p ro v e \frac{1 - 4 sec ^{2} ( x )}{1 + 2 sec ( x )} = 1 - 2 sec (x)

prouver tan(x)=cot(pi/2-x)

p ro v e tan (x) = cot (\frac{π}{2} - x)