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beweisen sin(2x)tan(x)=2sin^2(x)

Lösung

beweisen

sin (2 x) tan (x) = 2 sin^{2} (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (2 x) tan (x) = 2 sin^{2} (x)

Manipuliere die linke Seite

sin (2 x) tan (x)

Drücke mit sin, cos aus

sin (2 x) tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= sin (2 x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Vereinfache

sin (2 x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{sin ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( x )}

sin (2 x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( 2 x ) sin ( x )}{cos ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ( 2 x ) sin ( x )}{cos ( x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{2 sin ( x ) cos ( x ) sin ( x )}{cos ( x )}

Vereinfache

\frac{2 sin ( x ) cos ( x ) sin ( x )}{cos ( x )} : 2 sin^{2} (x)

\frac{2 sin ( x ) cos ( x ) sin ( x )}{cos ( x )}

2 sin (x) cos (x) sin (x) = 2 sin^{2} (x) cos (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 2 cos (x) sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2 cos (x) sin^{2} (x)

= \frac{2 sin ^{2} ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x)

= 2 sin^{2} (x)

= 2 sin^{2} (x)

= 2 sin^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{1 - 4 sec ^{2} ( x )}{1 + 2 sec ( x )} = 1 - 2 sec (x)

p ro v e tan (x) = cot (\frac{π}{2} - x)

p ro v e sec (2 x) = \frac{csc ^{2} ( x )}{csc ^{2} ( x ) - 2}

p ro v e \frac{1 - cos ( a )}{1 + cos ( a )} = tan^{2} (\frac{a}{2})

p ro v e csc^{2} (x) - cos (x) sec (x) = cot^{2} (x)