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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (1-cos(a))/(1+cos(a))=tan^2(a/2)

Lösung

beweisen

\frac{1 - cos ( a )}{1 + cos ( a )} = tan^{2} (\frac{a}{2})

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 - cos ( a )}{1 + cos ( a )} = tan^{2} (\frac{a}{2})

Angenommen:

u = \frac{a}{2}

\frac{1 - cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )} = tan^{2} (u)

Beweise

\frac{1 - cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )} = tan^{2} (u) :

Wahr

\frac{1 - cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )} = tan^{2} (u)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 - cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{1 + 1 - 2 sin ^{2} ( u )}

Vereinfache

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{1 + 1 - 2 sin ^{2} ( u )} : \frac{sin ^{2} ( u )}{- sin ^{2} ( u ) + 1}

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{1 + 1 - 2 sin ^{2} ( u )}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= \frac{1 - ( - 2 sin ^{2} ( u ) + 1 )}{- 2 sin ^{2} ( u ) + 2}

Multipliziere aus

1 - (1 - 2 sin^{2} (u)) : 2 sin^{2} (u)

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

- (1 - 2 sin^{2} (u)) : - 1 + 2 sin^{2} (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u))

Setze Klammern

= - (1) - (- 2 sin^{2} (u))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (u)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (u)

= \frac{2 sin ^{2} ( u )}{- 2 sin ^{2} ( u ) + 2}

Faktorisiere

- 2 sin^{2} (u) + 2 : 2 (- sin^{2} (u) + 1)

- 2 sin^{2} (u) + 2

Schreibe um

= - 2 sin^{2} (u) + 2 \cdot 1

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- sin^{2} (u) + 1)

= \frac{2 sin ^{2} ( u )}{2 ( - sin ^{2} ( u ) + 1 )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ^{2} ( u )}{( - sin ^{2} ( u ) + 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{sin ^{2} ( u )}{- sin ^{2} ( u ) + 1}

= \frac{sin ^{2} ( u )}{- sin ^{2} ( u ) + 1}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )} \cdot \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

\frac{sin ( u ) tan ( u )}{cos ( u )}

= tan (u) \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (u) tan (u)

Vereinfache

tan (u) tan (u) : tan^{2} (u)

tan (u) tan (u)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan (u) tan (u) = tan^{1 + 1} (u)

= tan^{1 + 1} (u)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= tan^{2} (u)

tan^{2} (u)

tan^{2} (u)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Deshalb

\frac{1 - cos ( a )}{1 + cos ( a )} = tan^{2} (\frac{a}{2})

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen csc^2(x)-cos(x)sec(x)=cot^2(x)

p ro v e csc^{2} (x) - cos (x) sec (x) = cot^{2} (x)

beweisen (csc(x)+1)/(cot(x)+cos(x))=sec(x)

p ro v e \frac{csc ( x ) + 1}{cot ( x ) + cos ( x )} = sec (x)

beweisen csc^2(θ/2)= 2/(1-cos(θ))

p ro v e csc^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{2}{1 - cos ( θ )}

beweisen sec(x)cos(x)+tan^2(x)=sec^2(x)

p ro v e sec (x) cos (x) + tan^{2} (x) = sec^{2} (x)

beweisen cot^2(θ)+1= 1/(sin^2(θ))

p ro v e cot^{2} (θ) + 1 = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}