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prouver (1+csc(a))/(cot(a)+cos(a))=sec(a)

Solution

prouver

\frac{1 + csc ( a )}{cot ( a ) + cos ( a )} = sec (a)

vrai

étapes des solutions

\frac{1 + csc ( a )}{cot ( a ) + cos ( a )} = sec (a)

En manipulant le côté gauche

\frac{1 + csc ( a )}{cot ( a ) + cos ( a )}

Exprimer avec sinus, cosinus

\frac{1 + csc ( a )}{cos ( a ) + cot ( a )}

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1 + \frac{1}{s i n ( a )}}{cos ( a ) + cot ( a )}

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 + \frac{1}{s i n ( a )}}{cos ( a ) + \frac{c o s ( a )}{s i n ( a )}}

Simplifier

\frac{1 + \frac{1}{s i n ( a )}}{cos ( a ) + \frac{c o s ( a )}{s i n ( a )}} : \frac{1}{cos ( a )}

\frac{1 + \frac{1}{s i n ( a )}}{cos ( a ) + \frac{c o s ( a )}{s i n ( a )}}

Relier

cos (a) + \frac{cos ( a )}{sin ( a )} : \frac{cos ( a ) sin ( a ) + cos ( a )}{sin ( a )}

cos (a) + \frac{cos ( a )}{sin ( a )}

Convertir un élément en fraction:

cos (a) = \frac{cos ( a ) sin ( a )}{sin ( a )}

= \frac{cos ( a ) sin ( a )}{sin ( a )} + \frac{cos ( a )}{sin ( a )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( a ) sin ( a ) + cos ( a )}{sin ( a )}

= \frac{1 + \frac{1}{s i n ( a )}}{\frac{c o s ( a ) s i n ( a ) + c o s ( a )}{s i n ( a )}}

Relier

1 + \frac{1}{sin ( a )} : \frac{sin ( a ) + 1}{sin ( a )}

1 + \frac{1}{sin ( a )}

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 sin ( a )}{sin ( a )}

= \frac{1 \cdot sin ( a )}{sin ( a )} + \frac{1}{sin ( a )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( a ) + 1}{sin ( a )}

Multiplier:

1 \cdot sin (a) = sin (a)

= \frac{sin ( a ) + 1}{sin ( a )}

= \frac{\frac{s i n ( a ) + 1}{s i n ( a )}}{\frac{c o s ( a ) s i n ( a ) + c o s ( a )}{s i n ( a )}}

Diviser des fractions:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( sin ( a ) + 1 ) sin ( a )}{sin ( a ) ( cos ( a ) sin ( a ) + cos ( a ) )}

Annuler le facteur commun :

sin (a)

= \frac{sin ( a ) + 1}{cos ( a ) sin ( a ) + cos ( a )}

Factoriser le terme commun

cos (a)

= \frac{sin ( a ) + 1}{cos ( a ) ( sin ( a ) + 1 )}

Annuler le facteur commun :

sin (a) + 1

= \frac{1}{cos ( a )}

= \frac{1}{cos ( a )}

= \frac{1}{cos ( a )}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( a )}}

Simplifier

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( a )}}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( a )}{1}

Appliquer la règle

\frac{a}{1} = a

= sec (a)

sec (a)

sec (a)

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

p ro v e sec (θ) - sec (θ) sin^{2} (θ) = cos (θ)

p ro v e 2 cos (2 x) = 4 cos^{2} (x) - 2

p ro v e tan (\frac{π}{4} - θ) = \frac{cos ( 2 θ )}{1 + sin ( 2 θ )}

p ro v e \frac{1 - sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} = \frac{cos ( 2 x )}{1 + sin ( 2 x )}

p ro v e (csc (α) + cot (α)) (sec (α) - 1) = tan (α)