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Popolare Trigonometria >

dimostrare csc^2(x)sec^2(x)=sec^2(x)+csc^2(x)

Soluzione

dimostrare

csc^{2} (x) sec^{2} (x) = sec^{2} (x) + csc^{2} (x)

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

csc^{2} (x) sec^{2} (x) = sec^{2} (x) + csc^{2} (x)

Manipolando il lato destro

sec^{2} (x) + csc^{2} (x)

Esprimere con sen e cos

csc^{2} (x) + sec^{2} (x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= (\frac{1}{sin ( x )})^{2} + sec^{2} (x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (\frac{1}{sin ( x )})^{2} + (\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Semplifica

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} + (\frac{1}{cos ( x )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} + (\frac{1}{cos ( x )})^{2}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )} + \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Minimo Comune Multiplo di

sin^{2} (x), cos^{2} (x) : sin^{2} (x) cos^{2} (x)

sin^{2} (x), cos^{2} (x)

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

sin^{2} (x)

cos^{2} (x)

= sin^{2} (x) cos^{2} (x)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

sin^{2} (x) cos^{2} (x)

Per

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos^{2} (x)

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} = \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

Per

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

sin^{2} (x)

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} = \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )} = \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )}

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

Usare l'identità trigonometrica di base:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{cos ^{2} ( x ) ( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}

Usare l'identità trigonometrica di base:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{s e c ( x )} ) ^{2} ( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}

Semplificare

\frac{1}{( \frac{1}{s e c ( x )} ) ^{2} ( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sec ( x )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sec ( x )})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( x )}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

= \frac{1}{( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2} \frac{1}{s e c ^{2} ( x )}}

(\frac{1}{csc ( x )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

(\frac{1}{csc ( x )})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( x )}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{1}{s e c ^{2} ( x )} \cdot \frac{1}{c s c ^{2} ( x )}}

Moltiplicare

\frac{1}{sec ^{2} ( x )} \cdot \frac{1}{csc ^{2} ( x )} : \frac{1}{sec ^{2} ( x ) csc ^{2} ( x )}

\frac{1}{sec ^{2} ( x )} \cdot \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

Moltiplica le frazioni:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{sec ^{2} ( x ) csc ^{2} ( x )}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( x ) csc ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{1}{s e c ^{2} ( x ) c s c ^{2} ( x )}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ^{2} ( x ) csc ^{2} ( x )}{1}

Applicare la regola

\frac{a}{1} = a

= sec^{2} (x) csc^{2} (x)

sec^{2} (x) csc^{2} (x)

sec^{2} (x) csc^{2} (x)

= csc^{2} (x) sec^{2} (x)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare (sin(x)+cos(x))/(cos(x))=1+tan(x)

p ro v e \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x )} = 1 + tan (x)

dimostrare (1+sin(-x))/(cos(x)tan(x)-1)=-1

p ro v e \frac{1 + sin ( - x )}{cos ( x ) tan ( x ) - 1} = - 1

dimostrare sec(A)-(cos(A))/(1+sin(A))=tan(A)

p ro v e sec (A) - \frac{cos ( A )}{1 + sin ( A )} = tan (A)

dimostrare (1-tan^2(A))/(1+tan^2(A))=cos(2A)

p ro v e \frac{1 - tan ^{2} ( A )}{1 + tan ^{2} ( A )} = cos (2 A)

dimostrare sin(pi/3)=cos(pi/6)

p ro v e sin (\frac{π}{3}) = cos (\frac{π}{6})