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beweisen (1-tan^2(A))/(1+tan^2(A))=cos(2A)

Lösung

beweisen

\frac{1 - tan ^{2} ( A )}{1 + tan ^{2} ( A )} = cos (2 A)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 - tan ^{2} ( A )}{1 + tan ^{2} ( A )} = cos (2 A)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 - tan ^{2} ( A )}{1 + tan ^{2} ( A )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 - tan ^{2} ( A )}{1 + tan ^{2} ( A )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 - ( \frac{s i n ( A )}{c o s ( A )} ) ^{2}}{1 + ( \frac{s i n ( A )}{c o s ( A )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1 - ( \frac{s i n ( A )}{c o s ( A )} ) ^{2}}{1 + ( \frac{s i n ( A )}{c o s ( A )} ) ^{2}} : \frac{cos ^{2} ( A ) - sin ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A ) + sin ^{2} ( A )}

\frac{1 - ( \frac{s i n ( A )}{c o s ( A )} ) ^{2}}{1 + ( \frac{s i n ( A )}{c o s ( A )} ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 - ( \frac{s i n ( A )}{c o s ( A )} ) ^{2}}{1 + \frac{s i n ^{2} ( A )}{c o s ^{2} ( A )}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 - \frac{s i n ^{2} ( A )}{c o s ^{2} ( A )}}{1 + \frac{s i n ^{2} ( A )}{c o s ^{2} ( A )}}

Füge

1 + \frac{sin ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( A ) + sin ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )}

1 + \frac{sin ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )} + \frac{sin ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( A ) + sin ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (A) = cos^{2} (A)

= \frac{cos ^{2} ( A ) + sin ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )}

= \frac{1 - \frac{s i n ^{2} ( A )}{c o s ^{2} ( A )}}{\frac{c o s ^{2} ( A ) + s i n ^{2} ( A )}{c o s ^{2} ( A )}}

Füge

1 - \frac{sin ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( A ) - sin ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )}

1 - \frac{sin ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )} - \frac{sin ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( A ) - sin ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (A) = cos^{2} (A)

= \frac{cos ^{2} ( A ) - sin ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( A ) - s i n ^{2} ( A )}{c o s ^{2} ( A )}}{\frac{c o s ^{2} ( A ) + s i n ^{2} ( A )}{c o s ^{2} ( A )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( cos ^{2} ( A ) - sin ^{2} ( A ) ) cos ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A ) ( cos ^{2} ( A ) + sin ^{2} ( A ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (A)

= \frac{cos ^{2} ( A ) - sin ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A ) + sin ^{2} ( A )}

= \frac{cos ^{2} ( A ) - sin ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A ) + sin ^{2} ( A )}

= \frac{cos ^{2} ( A ) - sin ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A ) + sin ^{2} ( A )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( A ) - sin ^{2} ( A )}{cos ^{2} ( A ) + sin ^{2} ( A )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{cos ^{2} ( A ) - sin ^{2} ( A )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= cos^{2} (A) - sin^{2} (A)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= cos (2 A)

= cos (2 A)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (\frac{π}{3}) = cos (\frac{π}{6})

p ro v e cos^{2} (t) = \frac{( 1 + cos ( 2 t ) )}{2}

p ro v e cos (- \frac{π}{6}) = sin (\frac{2 π}{3})

p ro v e sin (x + π) - sin (x) + 1 = 0

p ro v e csc (x) = csc (x) cos^{2} (x) + sin (x)