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beweisen 1/(sec(x)(tan(x)))=csc(x)-sin(x)

Lösung

beweisen

\frac{1}{sec ( x ) ( tan ( x ) )} = csc (x) - sin (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1}{sec ( x ) tan ( x )} = csc (x) - sin (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1}{sec ( x ) tan ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1}{sec ( x ) tan ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{\frac{1}{c o s ( x )} tan ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{\frac{1}{c o s ( x )} \cdot \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{c o s ( x )} \cdot \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}} : \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{c o s ( x )} \cdot \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Multipliziere

\frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{cos ( x ) cos ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x )}{cos ( x ) cos ( x )}

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= \frac{sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{s i n ( x )}{c o s ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

csc (x) - sin (x)

Drücke mit sin, cos aus

csc (x) - sin (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} - sin (x)

Vereinfache

\frac{1}{sin ( x )} - sin (x) : \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} - sin (x)

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (x) = \frac{sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} - \frac{sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

1 - sin (x) sin (x) = 1 - sin^{2} (x)

1 - sin (x) sin (x)

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

= 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{2 sin ( x ) cos ( x ) sec ( x )}{2} = sin (x)

p ro v e cos^{2} (x) + tan^{2} (x) cos^{2} (x) = sin (x)

p ro v e \frac{- csc ( x )}{sec ( x )} + \frac{cos ( x )}{- sin ( x )} = - 2 cot (x)

p ro v e 1 + tan^{2} (\frac{3}{4}) = sec^{2} (x)

p ro v e sin (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2}