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beweisen sin(θ)+(cos^2(θ))/(sin(θ))=csc(θ)

Lösung

beweisen

sin (θ) + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )} = csc (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (θ) + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )} = csc (θ)

Manipuliere die rechte Seite

csc (θ)

Drücke mit sin, cos aus

csc (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( θ )}

= \frac{1}{sin ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1}{sin ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Multipliziere aus

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )} : \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )} + sin (θ)

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Streiche

\frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )} : sin (θ)

\frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (θ)

= sin (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )} + sin (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )} + sin (θ)

= sin (θ) + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{cos ( - x ) tan ( - x )}{sin ( x )} = - 1

p ro v e sin (5 x) - sin (x) = 2 cos (3 x) sin (2 x)

p ro v e tan (\frac{π}{3}) sin (\frac{2}{3} π) = 1 + sin (\frac{π}{6})

p ro v e csc (2 x) = \frac{2 3}{3}

p ro v e tan (x) = sin (x) - cos (x)