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受欢迎的三角函数 >

tan(θ)-4/5 cos(θ)>0csc(θ)

解答

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0 csc (θ)

解答

0.58745 \dots + 2 πn < θ < \frac{π}{2} + 2 πn or π - 0.58745 \dots + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn

+2

间隔符号

(0.58745 \dots + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (π - 0.58745 \dots + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn)

十进制

0.58745 \dots + 2 πn < θ < 1.57079 \dots + 2 πn or 2.55413 \dots + 2 πn < θ < 4.71238 \dots + 2 πn

求解步骤

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0 \cdot csc (θ)

将

0 csc (θ)

para o lado esquerdo

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0 \cdot csc (θ)

两边减去

0 csc (θ)

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) - 0 \cdot csc (θ) > 0 \cdot csc (θ) - 0 \cdot csc (θ)

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) - 0 \cdot csc (θ) > 0 \cdot csc (θ) - 0 \cdot csc (θ)

整理后得

化简

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) - 0 \cdot csc (θ) : tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ)

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) - 0 \cdot csc (θ)

使用法则

0 \cdot a = 0

= tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) - 0

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) - 0 = tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ)

= tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ)

0 \cdot csc (θ) - 0 \cdot csc (θ)

同类项相加:

0 csc (θ) - 0 csc (θ) > 0

= 0

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ)

的周期:

2 π

周期函数和的复合周期是这些周期的最小公倍数

tan (θ), \frac{4}{5} cos (θ)

tan (θ)

的周期:

π

tan (x)

的周期是

π

= π

\frac{4}{5} cos (θ)

的周期:

2 π

周期

cos (b x + c) + d = \frac{cos ( x ) 的周期}{∣ b ∣}

cos (x)

的周期是

2 π

= \frac{2 π}{∣ 1 ∣}

化简

= 2 π

合并周期:

π, 2 π

= 2 π

用 sin, cos 表示

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0

使用基本三角恒等式:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{4}{5} cos (θ) > 0

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{4}{5} cos (θ) > 0

化简

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{4}{5} cos (θ) : \frac{5 sin ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )}

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{4}{5} cos (θ)

乘

\frac{4}{5} cos (θ) : \frac{4 cos ( θ )}{5}

\frac{4}{5} cos (θ)

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 cos ( θ )}{5}

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{4 cos ( θ )}{5}

cos (θ), 5

的最小公倍数:

5 cos (θ)

cos (θ), 5

最小公倍数 (LCM)

计算出由出现在

cos (θ)

或

5

中的因子组成的表达式

= 5 cos (θ)

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

5 cos (θ)

对于

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} :

将分母和分子乘以

5

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) \cdot 5}{cos ( θ ) \cdot 5}

对于

\frac{4 cos ( θ )}{5} :

将分母和分子乘以

cos (θ)

\frac{4 cos ( θ )}{5} = \frac{4 cos ( θ ) cos ( θ )}{5 cos ( θ )} = \frac{4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ ) \cdot 5}{cos ( θ ) \cdot 5} - \frac{4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( θ ) \cdot 5 - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )}

\frac{5 sin ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )} > 0

确定

0 \leq θ < 2 π

时

\frac{5 sin ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )}

的零点和无定义点

要找到零点，将不等式设置为零

\frac{5 sin ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )} = 0

\frac{5 sin ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )} = 0, 0 \leq θ < 2 π : θ = 0.58745 \dots, θ = π - 0.58745 \dots

\frac{5 sin ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )} = 0, 0 \leq θ < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

5 sin (θ) - 4 cos^{2} (θ) = 0

使用三角恒等式改写

- 4 cos^{2} (θ) + 5 sin (θ)

使用毕达哥拉斯恒等式:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 4 (1 - sin^{2} (θ)) + 5 sin (θ)

- (1 - sin^{2} (θ)) \cdot 4 + 5 sin (θ) = 0

用替代法求解

- (1 - sin^{2} (θ)) \cdot 4 + 5 sin (θ) = 0

令

: sin (θ) = u

- (1 - u^{2}) \cdot 4 + 5 u = 0

- (1 - u^{2}) \cdot 4 + 5 u = 0 : u = \frac{- 5 + 89}{8}, u = \frac{- 5 - 89}{8}

- (1 - u^{2}) \cdot 4 + 5 u = 0

展开

- (1 - u^{2}) \cdot 4 + 5 u : - 4 + 4 u^{2} + 5 u

- (1 - u^{2}) \cdot 4 + 5 u

= - 4 (1 - u^{2}) + 5 u

乘开

- 4 (1 - u^{2}) : - 4 + 4 u^{2}

- 4 (1 - u^{2})

使用分配律:

a (b - c) = ab - a c

a = - 4, b = 1, c = u^{2}

= - 4 \cdot 1 - (- 4) u^{2}

使用加减运算法则

- (- a) = a

= - 4 \cdot 1 + 4 u^{2}

数字相乘:

4 \cdot 1 = 4

= - 4 + 4 u^{2}

= - 4 + 4 u^{2} + 5 u

- 4 + 4 u^{2} + 5 u = 0

改写成标准形式

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} + 5 u - 4 = 0

使用求根公式求解

4 u^{2} + 5 u - 4 = 0

二次方程求根公式:

若

a = 4, b = 5, c = - 4

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 4 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 4 )}{2 \cdot 4}

5^{2} - 4 \cdot 4 (- 4) = 89

5^{2} - 4 \cdot 4 (- 4)

使用法则

- (- a) = a

= 5^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 4

数字相乘:

4 \cdot 4 \cdot 4 = 64

= 5^{2} + 64

5^{2} = 25

= 25 + 64

数字相加:

25 + 64 = 89

= 89

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 89}{2 \cdot 4}

将解分隔开

u_{1} = \frac{- 5 + 89}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 5 - 89}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 5 + 89}{2 \cdot 4} : \frac{- 5 + 89}{8}

\frac{- 5 + 89}{2 \cdot 4}

数字相乘:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 5 + 89}{8}

u = \frac{- 5 - 89}{2 \cdot 4} : \frac{- 5 - 89}{8}

\frac{- 5 - 89}{2 \cdot 4}

数字相乘:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 5 - 89}{8}

二次方程组的解是:

u = \frac{- 5 + 89}{8}, u = \frac{- 5 - 89}{8}

u = sin (θ)

代回

sin (θ) = \frac{- 5 + 89}{8}, sin (θ) = \frac{- 5 - 89}{8}

sin (θ) = \frac{- 5 + 89}{8}, sin (θ) = \frac{- 5 - 89}{8}

sin (θ) = \frac{- 5 + 89}{8}, 0 \leq θ < 2 π : θ = arcsin (\frac{89 - 5}{8}), θ = π - arcsin (\frac{89 - 5}{8})

sin (θ) = \frac{- 5 + 89}{8}, 0 \leq θ < 2 π

使用反三角函数性质

sin (θ) = \frac{- 5 + 89}{8}

sin (θ) = \frac{- 5 + 89}{8}

的通解

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{- 5 + 89}{8}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{- 5 + 89}{8}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{- 5 + 89}{8}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{- 5 + 89}{8}) + 2 πn

在

0 \leq θ < 2 π

范围内的解

θ = arcsin (\frac{89 - 5}{8}), θ = π - arcsin (\frac{89 - 5}{8})

sin (θ) = \frac{- 5 - 89}{8}, 0 \leq θ < 2 π :

无解

sin (θ) = \frac{- 5 - 89}{8}, 0 \leq θ < 2 π

- 1 \leq sin (x) \leq 1

无解

合并所有解

θ = arcsin (\frac{89 - 5}{8}), θ = π - arcsin (\frac{89 - 5}{8})

以小数形式表示解

θ = 0.58745 \dots, θ = π - 0.58745 \dots

确定无定义点:

θ = \frac{π}{2}, θ = \frac{3 π}{2}

找到分母的零解

5 cos (θ) = 0

两边除以

5

5 cos (θ) = 0

两边除以

5

\frac{5 cos ( θ )}{5} = \frac{0}{5}

化简

cos (θ) = 0

cos (θ) = 0

cos (θ) = 0

的通解

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

在

0 \leq θ < 2 π

范围内的解

θ = \frac{π}{2}, θ = \frac{3 π}{2}

0.58745 \dots, \frac{π}{2}, π - 0.58745 \dots, \frac{3 π}{2}

确定区间

0 < θ < 0.58745 \dots, 0.58745 \dots < θ < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < θ < π - 0.58745 \dots, π - 0.58745 \dots < θ < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < θ < 2 π

总结如下表：

5 sin (θ) - 4 cos^{2} (θ) cos (θ) \frac{5 s i n ( θ ) - 4 c o s ^{2} ( θ )}{5 c o s ( θ )} θ = 0 - + - 0 < θ < 0.58745 \dots - + - θ = 0.58745 \dots 0 + 0 0.58745 \dots < θ < \frac{π}{2} + + + θ = \frac{π}{2} + 0 未定义 \frac{π}{2} < θ < π - 0.58745 \dots + - - θ = π - 0.58745 \dots 0 - 0 π - 0.58745 \dots < θ < \frac{3 π}{2} - - + θ = \frac{3 π}{2} - 0 未定义 \frac{3 π}{2} < θ < 2 π - + - θ = 2 π - + -

确定满足所需条件的区间：

> 0

0.58745 \dots < θ < \frac{π}{2} or π - 0.58745 \dots < θ < \frac{3 π}{2}

使用周期

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ)

0.58745 \dots + 2 πn < θ < \frac{π}{2} + 2 πn or π - 0.58745 \dots + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn

流行的例子

cot(x)>-1/(sqrt(3))

cot (x) > - \frac{1}{3}

(cos(x)-1.5708)(cos(x)+1.5708)<= 0

(cos (x) - 1.5708) (cos (x) + 1.5708) \leq 0

cot (π - x) < - 1

cos(2x)-cos(x)>0

cos (2 x) - cos (x) > 0

1 - sin (x) < 1