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Popular Trigonometría >

tan(θ)-4/5 cos(θ)>0csc(θ)

Solución

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0 csc (θ)

Solución

0.58745 \dots + 2 πn < θ < \frac{π}{2} + 2 πn or π - 0.58745 \dots + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Notación de intervalos

(0.58745 \dots + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (π - 0.58745 \dots + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn)

Decimal

0.58745 \dots + 2 πn < θ < 1.57079 \dots + 2 πn or 2.55413 \dots + 2 πn < θ < 4.71238 \dots + 2 πn

Pasos de solución

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0 \cdot csc (θ)

Desplace

0 csc (θ)

a la izquierda

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0 \cdot csc (θ)

Restar

0 csc (θ)

de ambos lados

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) - 0 \cdot csc (θ) > 0 \cdot csc (θ) - 0 \cdot csc (θ)

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) - 0 \cdot csc (θ) > 0 \cdot csc (θ) - 0 \cdot csc (θ)

Simplificar

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) - 0 \cdot csc (θ) : tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ)

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) - 0 \cdot csc (θ)

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) - 0

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) - 0 = tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ)

= tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ)

0 \cdot csc (θ) - 0 \cdot csc (θ)

Sumar elementos similares:

0 csc (θ) - 0 csc (θ) > 0

= 0

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0

Periodicidad de

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) : 2 π

La periodicidad combinada de la suma de funciones periódicas es el mínimo común múltiplo de los períodos

tan (θ), \frac{4}{5} cos (θ)

Periodicidad de

tan (θ) : π

La periodicidad de

tan (x)

π

= π

Periodicidad de

\frac{4}{5} cos (θ) : 2 π

La periodicidad de

a \cdot cos (b x + c) + d = \frac{periodicidad de cos ( x )}{∣ b ∣}

La periodicidad de

cos (x)

2 π

= \frac{2 π}{∣ 1 ∣}

Simplificar

= 2 π

Combinar períodos:

π, 2 π

= 2 π

Expresar con seno, coseno

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{4}{5} cos (θ) > 0

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{4}{5} cos (θ) > 0

Simplificar

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{4}{5} cos (θ) : \frac{5 sin ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )}

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{4}{5} cos (θ)

Multiplicar

\frac{4}{5} cos (θ) : \frac{4 cos ( θ )}{5}

\frac{4}{5} cos (θ)

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 cos ( θ )}{5}

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{4 cos ( θ )}{5}

Mínimo común múltiplo de

cos (θ), 5 : 5 cos (θ)

cos (θ), 5

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

cos (θ)

5

= 5 cos (θ)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

5

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) \cdot 5}{cos ( θ ) \cdot 5}

Para

\frac{4 cos ( θ )}{5} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (θ)

\frac{4 cos ( θ )}{5} = \frac{4 cos ( θ ) cos ( θ )}{5 cos ( θ )} = \frac{4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ ) \cdot 5}{cos ( θ ) \cdot 5} - \frac{4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( θ ) \cdot 5 - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )}

\frac{5 sin ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )} > 0

Encontrar los ceros y puntos indefinidos de

\frac{5 sin ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )}

para

0 \leq θ < 2 π

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

\frac{5 sin ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )} = 0

\frac{5 sin ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )} = 0, 0 \leq θ < 2 π : θ = 0.58745 \dots, θ = π - 0.58745 \dots

\frac{5 sin ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )} = 0, 0 \leq θ < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

5 sin (θ) - 4 cos^{2} (θ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 4 cos^{2} (θ) + 5 sin (θ)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 4 (1 - sin^{2} (θ)) + 5 sin (θ)

- (1 - sin^{2} (θ)) \cdot 4 + 5 sin (θ) = 0

Usando el método de sustitución

- (1 - sin^{2} (θ)) \cdot 4 + 5 sin (θ) = 0

Sea:

sin (θ) = u

- (1 - u^{2}) \cdot 4 + 5 u = 0

- (1 - u^{2}) \cdot 4 + 5 u = 0 : u = \frac{- 5 + 89}{8}, u = \frac{- 5 - 89}{8}

- (1 - u^{2}) \cdot 4 + 5 u = 0

Desarrollar

- (1 - u^{2}) \cdot 4 + 5 u : - 4 + 4 u^{2} + 5 u

- (1 - u^{2}) \cdot 4 + 5 u

= - 4 (1 - u^{2}) + 5 u

Expandir

- 4 (1 - u^{2}) : - 4 + 4 u^{2}

- 4 (1 - u^{2})

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 4, b = 1, c = u^{2}

= - 4 \cdot 1 - (- 4) u^{2}

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 4 \cdot 1 + 4 u^{2}

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 = 4

= - 4 + 4 u^{2}

= - 4 + 4 u^{2} + 5 u

- 4 + 4 u^{2} + 5 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} + 5 u - 4 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

4 u^{2} + 5 u - 4 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 4, b = 5, c = - 4

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 4 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 4 )}{2 \cdot 4}

5^{2} - 4 \cdot 4 (- 4) = 89

5^{2} - 4 \cdot 4 (- 4)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 5^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 4

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 4 = 64

= 5^{2} + 64

5^{2} = 25

= 25 + 64

Sumar:

25 + 64 = 89

= 89

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 89}{2 \cdot 4}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 5 + 89}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 5 - 89}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 5 + 89}{2 \cdot 4} : \frac{- 5 + 89}{8}

\frac{- 5 + 89}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 5 + 89}{8}

u = \frac{- 5 - 89}{2 \cdot 4} : \frac{- 5 - 89}{8}

\frac{- 5 - 89}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 5 - 89}{8}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{- 5 + 89}{8}, u = \frac{- 5 - 89}{8}

Sustituir en la ecuación

u = sin (θ)

sin (θ) = \frac{- 5 + 89}{8}, sin (θ) = \frac{- 5 - 89}{8}

sin (θ) = \frac{- 5 + 89}{8}, sin (θ) = \frac{- 5 - 89}{8}

sin (θ) = \frac{- 5 + 89}{8}, 0 \leq θ < 2 π : θ = arcsin (\frac{89 - 5}{8}), θ = π - arcsin (\frac{89 - 5}{8})

sin (θ) = \frac{- 5 + 89}{8}, 0 \leq θ < 2 π

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (θ) = \frac{- 5 + 89}{8}

Soluciones generales para

sin (θ) = \frac{- 5 + 89}{8}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{- 5 + 89}{8}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{- 5 + 89}{8}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{- 5 + 89}{8}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{- 5 + 89}{8}) + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq θ < 2 π

θ = arcsin (\frac{89 - 5}{8}), θ = π - arcsin (\frac{89 - 5}{8})

sin (θ) = \frac{- 5 - 89}{8}, 0 \leq θ < 2 π :

Sin solución

sin (θ) = \frac{- 5 - 89}{8}, 0 \leq θ < 2 π

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

θ = arcsin (\frac{89 - 5}{8}), θ = π - arcsin (\frac{89 - 5}{8})

Mostrar soluciones en forma decimal

θ = 0.58745 \dots, θ = π - 0.58745 \dots

Encontrar los puntos indefinidos:

θ = \frac{π}{2}, θ = \frac{3 π}{2}

Encontrar los ceros del denominador

5 cos (θ) = 0

Dividir ambos lados entre

5

5 cos (θ) = 0

Dividir ambos lados entre

5

\frac{5 cos ( θ )}{5} = \frac{0}{5}

Simplificar

cos (θ) = 0

cos (θ) = 0

Soluciones generales para

cos (θ) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq θ < 2 π

θ = \frac{π}{2}, θ = \frac{3 π}{2}

0.58745 \dots, \frac{π}{2}, π - 0.58745 \dots, \frac{3 π}{2}

Identificar los intervalos

0 < θ < 0.58745 \dots, 0.58745 \dots < θ < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < θ < π - 0.58745 \dots, π - 0.58745 \dots < θ < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < θ < 2 π

Resumir en una tabla:

5 sin (θ) - 4 cos^{2} (θ) cos (θ) \frac{5 s i n ( θ ) - 4 c o s ^{2} ( θ )}{5 c o s ( θ )} θ = 0 - + - 0 < θ < 0.58745 \dots - + - θ = 0.58745 \dots 0 + 0 0.58745 \dots < θ < \frac{π}{2} + + + θ = \frac{π}{2} + 0 Sin definir \frac{π}{2} < θ < π - 0.58745 \dots + - - θ = π - 0.58745 \dots 0 - 0 π - 0.58745 \dots < θ < \frac{3 π}{2} - - + θ = \frac{3 π}{2} - 0 Sin definir \frac{3 π}{2} < θ < 2 π - + - θ = 2 π - + -

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

> 0

0.58745 \dots < θ < \frac{π}{2} or π - 0.58745 \dots < θ < \frac{3 π}{2}

Utilizar la periodicidad de

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ)

0.58745 \dots + 2 πn < θ < \frac{π}{2} + 2 πn or π - 0.58745 \dots + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Ejemplos populares

cot(x)>-1/(sqrt(3))

(cos(x)-1.5708)(cos(x)+1.5708)<= 0

cot(pi-x)<-1

cos(2x)-cos(x)>0

1-sin(x)<1