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Popular Trigonometría >

-2+3csc(2y-pi)>= 0

Solución

- 2 + 3 csc (2 y - π) \geq 0

Solución

\frac{π}{2} + πn < y < π + πn

Notación de intervalos

(\frac{π}{2} + πn, π + πn)

Decimal

1.57079 \dots + πn < y < 3.14159 \dots + πn

Pasos de solución

- 2 + 3 csc (2 y - π) \geq 0

Periodicidad de

- 2 + 3 csc (2 y - π) : π

La periodicidad de

a \cdot csc (b x + c) + d = \frac{periodicidad de csc ( x )}{∣ b ∣}

La periodicidad de

csc (x)

2 π

= \frac{2 π}{∣ 2 ∣}

Simplificar

= π

Expresar con seno, coseno

- 2 + 3 csc (2 y - π) \geq 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

- 2 + 3 \cdot \frac{1}{sin ( 2 y - π )} \geq 0

- 2 + 3 \cdot \frac{1}{sin ( 2 y - π )} \geq 0

Simplificar

- 2 + 3 \cdot \frac{1}{sin ( 2 y - π )} : \frac{- 2 sin ( 2 y - π ) + 3}{sin ( 2 y - π )}

- 2 + 3 \cdot \frac{1}{sin ( 2 y - π )}

3 \cdot \frac{1}{sin ( 2 y - π )} = \frac{3}{sin ( 2 y - π )}

3 \cdot \frac{1}{sin ( 2 y - π )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{sin ( 2 y - π )}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{sin ( 2 y - π )}

= - 2 + \frac{3}{sin ( 2 y - π )}

Convertir a fracción:

2 = \frac{2 sin ( 2 y - π )}{sin ( 2 y - π )}

= - \frac{2 sin ( 2 y - π )}{sin ( 2 y - π )} + \frac{3}{sin ( 2 y - π )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 2 sin ( 2 y - π ) + 3}{sin ( 2 y - π )}

\frac{- 2 sin ( 2 y - π ) + 3}{sin ( 2 y - π )} \geq 0

Encontrar los ceros y puntos indefinidos de

\frac{- 2 sin ( 2 y - π ) + 3}{sin ( 2 y - π )}

para

0 \leq y < π

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

\frac{- 2 sin ( 2 y - π ) + 3}{sin ( 2 y - π )} = 0

\frac{- 2 sin ( 2 y - π ) + 3}{sin ( 2 y - π )} = 0, 0 \leq y < π :

Sin solución para

y \in R

\frac{- 2 sin ( 2 y - π ) + 3}{sin ( 2 y - π )} = 0, 0 \leq y < π

Usando el método de sustitución

\frac{- 2 sin ( 2 y - π ) + 3}{sin ( 2 y - π )} = 0

Sea:

sin (2 y - π) = u

\frac{- 2 u + 3}{u} = 0

\frac{- 2 u + 3}{u} = 0 : u = \frac{3}{2}

\frac{- 2 u + 3}{u} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 2 u + 3 = 0

Desplace

3

a la derecha

- 2 u + 3 = 0

Restar

3

de ambos lados

- 2 u + 3 - 3 = 0 - 3

Simplificar

- 2 u = - 3

- 2 u = - 3

Dividir ambos lados entre

- 2

- 2 u = - 3

Dividir ambos lados entre

- 2

\frac{- 2 u}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}

Simplificar

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

\frac{- 2 u + 3}{u}

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = \frac{3}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (2 y - π)

sin (2 y - π) = \frac{3}{2}

sin (2 y - π) = \frac{3}{2}

sin (2 y - π) = \frac{3}{2}, 0 \leq y < π :

Sin solución

sin (2 y - π) = \frac{3}{2}, 0 \leq y < π

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para y \in R

Encontrar los puntos indefinidos:

y = \frac{π}{2}, y = 0

Encontrar los ceros del denominador

sin (2 y - π) = 0

Soluciones generales para

sin (2 y - π) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 y - π = 0 + 2 πn, 2 y - π = π + 2 πn

2 y - π = 0 + 2 πn, 2 y - π = π + 2 πn

Resolver

2 y - π = 0 + 2 πn : y = πn + \frac{π}{2}

2 y - π = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

2 y - π = 2 πn

Desplace

π

a la derecha

2 y - π = 2 πn

Sumar

π

a ambos lados

2 y - π + π = 2 πn + π

Simplificar

2 y = 2 πn + π

2 y = 2 πn + π

Dividir ambos lados entre

2

2 y = 2 πn + π

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 y}{2} = \frac{2 πn}{2} + \frac{π}{2}

Simplificar

y = πn + \frac{π}{2}

y = πn + \frac{π}{2}

Resolver

2 y - π = π + 2 πn : y = π + πn

2 y - π = π + 2 πn

Desplace

π

a la derecha

2 y - π = π + 2 πn

Sumar

π

a ambos lados

2 y - π + π = π + 2 πn + π

Simplificar

2 y = 2 π + 2 πn

2 y = 2 π + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

2 y = 2 π + 2 πn

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 y}{2} = \frac{2 π}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

y = π + πn

y = π + πn

y = πn + \frac{π}{2}, y = π + πn

Soluciones para el rango

0 \leq y < π

y = \frac{π}{2}, y = 0

0, \frac{π}{2}

Identificar los intervalos

0 < y < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < y < π

Resumir en una tabla:

- 2 sin (2 y - π) + 3 sin (2 y - π) \frac{- 2 s i n ( 2 y - π ) + 3}{s i n ( 2 y - π )} y = 0 + 0 Sin definir 0 < y < \frac{π}{2} + - - y = \frac{π}{2} + 0 Sin definir \frac{π}{2} < y < π + + + y = π + 0 Sin definir

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\geq 0

\frac{π}{2} < y < π

Utilizar la periodicidad de

- 2 + 3 csc (2 y - π)

\frac{π}{2} + πn < y < π + πn

Ejemplos populares

sin(x)<sin^2(x)

tan(x)<= 0

cos(2t)>0

90-arctan((3x)/4)>= 40

cos(2θ)-3sin(θ)-2>0