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-2+3csc(2y-pi)>= 0

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解答

−2+3csc(2y−π)≥0

解答

2π​+πn<y<π+πn
+2
间隔符号
(2π​+πn,π+πn)
十进制
1.57079…+πn<y<3.14159…+πn
求解步骤
−2+3csc(2y−π)≥0
−2+3csc(2y−π)的周期:π
周期 csc(bx+c)+d=∣b∣csc(x)的周期​csc(x)的周期是 2π=∣2∣2π​
化简=π
用 sin, cos 表示
−2+3csc(2y−π)≥0
使用基本三角恒等式: csc(x)=sin(x)1​−2+3⋅sin(2y−π)1​≥0
−2+3⋅sin(2y−π)1​≥0
化简 −2+3⋅sin(2y−π)1​:sin(2y−π)−2sin(2y−π)+3​
−2+3⋅sin(2y−π)1​
3⋅sin(2y−π)1​=sin(2y−π)3​
3⋅sin(2y−π)1​
分式相乘: a⋅cb​=ca⋅b​=sin(2y−π)1⋅3​
数字相乘:1⋅3=3=sin(2y−π)3​
=−2+sin(2y−π)3​
将项转换为分式: 2=sin(2y−π)2sin(2y−π)​=−sin(2y−π)2sin(2y−π)​+sin(2y−π)3​
因为分母相等,所以合并分式: ca​±cb​=ca±b​=sin(2y−π)−2sin(2y−π)+3​
sin(2y−π)−2sin(2y−π)+3​≥0
确定 0≤y<π 时 sin(2y−π)−2sin(2y−π)+3​ 的零点和无定义点
要找到零点,将不等式设置为零sin(2y−π)−2sin(2y−π)+3​=0
sin(2y−π)−2sin(2y−π)+3​=0,0≤y<π:y∈R无解
sin(2y−π)−2sin(2y−π)+3​=0,0≤y<π
用替代法求解
sin(2y−π)−2sin(2y−π)+3​=0
令:sin(2y−π)=uu−2u+3​=0
u−2u+3​=0:u=23​
u−2u+3​=0
g(x)f(x)​=0⇒f(x)=0−2u+3=0
将 3到右边
−2u+3=0
两边减去 3−2u+3−3=0−3
化简−2u=−3
−2u=−3
两边除以 −2
−2u=−3
两边除以 −2−2−2u​=−2−3​
化简u=23​
u=23​
验证解
找到无定义的点(奇点):u=0
取 u−2u+3​ 的分母,令其等于零
u=0
以下点无定义u=0
将不在定义域的点与解相综合:
u=23​
u=sin(2y−π)代回sin(2y−π)=23​
sin(2y−π)=23​
sin(2y−π)=23​,0≤y<π:无解
sin(2y−π)=23​,0≤y<π
−1≤sin(x)≤1无解
合并所有解y∈R无解
确定无定义点:y=2π​,y=0
找到分母的零解sin(2y−π)=0
sin(2y−π)=0的通解
sin(x) 周期表(周期为 2πn"):
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​sin(x)021​22​​23​​123​​22​​21​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​sin(x)0−21​−22​​−23​​−1−23​​−22​​−21​​​
2y−π=0+2πn,2y−π=π+2πn
2y−π=0+2πn,2y−π=π+2πn
解 2y−π=0+2πn:y=πn+2π​
2y−π=0+2πn
0+2πn=2πn2y−π=2πn
将 π到右边
2y−π=2πn
两边加上 π2y−π+π=2πn+π
化简2y=2πn+π
2y=2πn+π
两边除以 2
2y=2πn+π
两边除以 222y​=22πn​+2π​
化简y=πn+2π​
y=πn+2π​
解 2y−π=π+2πn:y=π+πn
2y−π=π+2πn
将 π到右边
2y−π=π+2πn
两边加上 π2y−π+π=π+2πn+π
化简2y=2π+2πn
2y=2π+2πn
两边除以 2
2y=2π+2πn
两边除以 222y​=22π​+22πn​
化简y=π+πn
y=π+πn
y=πn+2π​,y=π+πn
在 0≤y<π范围内的解y=2π​,y=0
0,2π​
确定区间0<y<2π​,2π​<y<π
总结如下表:−2sin(2y−π)+3sin(2y−π)sin(2y−π)−2sin(2y−π)+3​​y=0+0未定义​0<y<2π​+−−​y=2π​+0未定义​2π​<y<π+++​y=π+0未定义​​
确定满足所需条件的区间:≥02π​<y<π
使用周期 −2+3csc(2y−π)2π​+πn<y<π+πn

流行的例子

sin(x)<sin^2(x)sin(x)<sin2(x)tan(x)<= 0tan(x)≤0cos(2t)>0cos(2t)>090-arctan((3x)/4)>= 4090−arctan(43x​)≥40cos(2θ)-3sin(θ)-2>0cos(2θ)−3sin(θ)−2>0
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