English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

2sin^2(x)+cos(x)-1>= 0

الحلّ

2 sin^{2} (x) + cos (x) - 1 \geq 0

الحلّ

- \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn

تدوين الفاصل الزمني

[- \frac{2 π}{3} + 2 πn, \frac{2 π}{3} + 2 πn]

عشري

- 2.09439 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.09439 \dots + 2 πn

خطوات الحلّ

2 sin^{2} (x) + cos (x) - 1 \geq 0

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:استخدم المتطابقة التالية

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

لذلك

2 (1 - cos^{2} (x)) + cos (x) - 1 \geq 0

2 (1 - cos^{2} (x)) + cos (x) - 1

بسّط:

cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 1

2 (1 - cos^{2} (x)) + cos (x) - 1

2 (1 - cos^{2} (x))

وسٌع:

2 - 2 cos^{2} (x)

2 (1 - cos^{2} (x))

a (b - c) = ab - a c

: افتح أقواس بالاستعانة بـ

a = 2, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 2 \cdot 1 - 2 cos^{2} (x)

2 \cdot 1 = 2 :

اضرب الأعداد

= 2 - 2 cos^{2} (x)

= 2 - 2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1

2 - 2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1

بسّط:

cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 1

2 - 2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1

جمّع التعابير المتشابهة

= - 2 cos^{2} (x) + cos (x) + 2 - 1

2 - 1 = 1 :

اطرح/اجمع الأعداد

= cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 1

= cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 1

cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 1 \geq 0

u = cos (x) :

على افتراض أنّ

u - 2 u^{2} + 1 \geq 0

u - 2 u^{2} + 1 \geq 0 : - \frac{1}{2} \leq u \leq 1

u - 2 u^{2} + 1 \geq 0

u - 2 u^{2} + 1

حلل إلى عوامل:

- (2 u + 1) (u - 1)

u - 2 u^{2} + 1

- 1

قم باخراج العامل المشترك

= - (2 u^{2} - u - 1)

2 u^{2} - u - 1

حلل إلى عوامل:

(2 u + 1) (u - 1)

2 u^{2} - u - 1

a x^{2} + b x + c

اكتب بالصورة الاعتياديّة

= 2 u^{2} - u - 1

قسّم التعابير لمجموعات

2 u^{2} - u - 1

تعريف

Factors of

2 : 1, 2

2

Divisors (Factors)

Find the Prime factors of

2 : 2

2

هو عدد أوّليّ لذلك لا يمكن تحليله لعوامل أوّليّة

2

= 2

Add 1

1

2

قواسم

1, 2

Negative factors of

2 : - 1, - 2

Multiply the factors by

- 1

to get the negative factors

- 1, - 2

For every two factors such that

u * v = - 2,

check if

u + v = - 1

Check

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

صحيحCheck

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

خطأ

u = 1, v = - 2

Group into

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

= (2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

من

u

اخرج العامل

2 u^{2} + u

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

:فعّل قانون القوى

u^{2} = uu

= 2 uu + u

u

قم باخراج العامل المشترك

= u (2 u + 1)

- (2 u + 1)

- 2 u - 1

من

- 1

اخرج العامل

- 2 u - 1

- 1

قم باخراج العامل المشترك

= - (2 u + 1)

= u (2 u + 1) - (2 u + 1)

2 u + 1

قم باخراج العامل المشترك

= (2 u + 1) (u - 1)

= - (2 u + 1) (u - 1)

- (2 u + 1) (u - 1) \geq 0

Multiply both sides by

- 1

(reverse the inequality)

(- (2 u + 1) (u - 1)) (- 1) \leq 0 \cdot (- 1)

بسّط

(2 u + 1) (u - 1) \leq 0

ميّز المقاطع المختلفة

(2 u + 1) (u - 1)

:جد إشارة كل واحد من عوامل

2 u + 1

:جد إشارة

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 u + 1 = 0

من الطرفين

1

اطرح

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

بسّط

2 u = - 1

2 u = - 1

2

اقسم الطرفين على

2 u = - 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

بسّط

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 u + 1 < 0

من الطرفين

1

اطرح

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

بسّط

2 u < - 1

2 u < - 1

2

اقسم الطرفين على

2 u < - 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

بسّط

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 u + 1 > 0

من الطرفين

1

اطرح

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

بسّط

2 u > - 1

2 u > - 1

2

اقسم الطرفين على

2 u > - 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

بسّط

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

u - 1

:جد إشارة

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u - 1 = 0

للطرفين

1

أضف

u - 1 + 1 = 0 + 1

بسّط

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u - 1 < 0

للطرفين

1

أضف

u - 1 + 1 < 0 + 1

بسّط

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u - 1 > 0

للطرفين

1

أضف

u - 1 + 1 > 0 + 1

بسّط

u > 1

u > 1

لخّص في جدول

2 u + 1 u - 1 (2 u + 1) (u - 1) u < - \frac{1}{2} - - + u = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

\leq 0 :

ميّز المقاطع التي تحقّق الشرط

u = - \frac{1}{2} or - \frac{1}{2} < u < 1 or u = 1

ادمج المجالات المتطابقة

- \frac{1}{2} \leq u < 1 or u = 1

اتحاد مجالين هو مجموعة الأرقام الموجودة بواحد أو أكثر من المجالين

u = - \frac{1}{2}

או

- \frac{1}{2} < u < 1

- \frac{1}{2} \leq u < 1

اتحاد مجالين هو مجموعة الأرقام الموجودة بواحد أو أكثر من المجالين

- \frac{1}{2} \leq u < 1

או

u = 1

- \frac{1}{2} \leq u \leq 1

- \frac{1}{2} \leq u \leq 1

- \frac{1}{2} \leq u \leq 1

- \frac{1}{2} \leq u \leq 1

u = cos (x)

استبدل مجددًا

- \frac{1}{2} \leq cos (x) \leq 1

a \leq u and u \leq b

إذًا

a \leq u \leq b

إذا تحقّق أنّ

- \frac{1}{2} \leq cos (x) and cos (x) \leq 1

- \frac{1}{2} \leq cos (x) : - \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn

- \frac{1}{2} \leq cos (x)

بدّل الأطراف

cos (x) \geq - \frac{1}{2}

For

cos (x) \geq a

, if

- 1 < a < 1

then

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

- arccos (- \frac{1}{2})

بسّط:

- \frac{2 π}{3}

- arccos (- \frac{1}{2})

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{2 π}{3}

arccos (- \frac{1}{2})

بسّط:

\frac{2 π}{3}

arccos (- \frac{1}{2})

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3}

- \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn

cos (x) \leq 1 : x \in R

يتحقّق لكلّ

cos (x) \leq 1

cos (x)

المدى لـ:

- 1 \leq cos (x) \leq 1

تعريف مدى دالّة

- 1 \leq cos (x) \leq 1

هي

cos

صورة الدالّة

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \leq 1 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

y = cos (x)

استبدل

وحّد المقاطع

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

ادمج المجالات المتطابقة

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

تقاطع مجالين هو مجموعة الأرقام الموجودة بكلا المجالين معًا

y \leq 1

וגם

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

يتحقّق لكلّ x

x \in R يتحقّق لكلّ

وحّد المقاطع

- \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn and x \in R يتحقّق لكلّ

ادمج المجالات المتطابقة

- \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{2 π}{3} + 2 πn

أمثلة شائعة

(2sin(x)-1)/(3cos(x))<= 0

\frac{2 sin ( x ) - 1}{3 cos ( x )} \leq 0

sin(2x)-1/2 <0

sin (2 x) - \frac{1}{2} < 0

cos^2(x)> 1/4 ,0<= x<= 2pi

cos^{2} (x) > \frac{1}{4}, 0 \leq x \leq 2 π

sin((x*pi}{(\frac{1+sqrt(5))/2)^2})>0

sin \frac{x \cdot π}{( \frac{1 + 5}{2} ) ^{2}} > 0

2sin(x)-sqrt(3)<= 0

2 sin (x) - 3 \leq 0