English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

tan(x)*(2tan(x))/(1-tan^2(x))>1

الحلّ

tan (x) \cdot \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} > 1

الحلّ

\frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{4} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x < \frac{5 π}{6} + πn

تدوين الفاصل الزمني

(\frac{π}{6} + πn, \frac{π}{4} + πn) \cup (\frac{3 π}{4} + πn, \frac{5 π}{6} + πn)

عشري

0.52359 \dots + πn < x < 0.78539 \dots + πn or 2.35619 \dots + πn < x < 2.61799 \dots + πn

خطوات الحلّ

tan (x) \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} > 1

u = tan (x) :

على افتراض أنّ

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} > 1

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} > 1 : - 1 < u < - \frac{3}{3} or \frac{3}{3} < u < 1

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} > 1

Rewrite in standard form

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} > 1

من الطرفين

1

اطرح

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} - 1 > 1 - 1

بسّط

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} - 1 > 1 - 1

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} - 1

بسّط:

\frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} - 1

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} - 1

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}} = \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}}

u \frac{2 u}{1 - u ^{2}}

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:اضرب كسور

= \frac{2 uu}{1 - u ^{2}}

2 uu = 2 u^{2}

2 uu

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:فعّل قانون القوى

uu = u^{1 + 1}

= 2 u^{1 + 1}

1 + 1 = 2 :

اجمع الأعداد

= 2 u^{2}

= \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}}

= \frac{2 u ^{2}}{- u ^{2} + 1} - 1

\frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} - 1 > 0

\frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} - 1

بسّط:

\frac{3 u ^{2} - 1}{1 - u ^{2}}

\frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} - 1

1 = \frac{1 ( 1 - u ^{2} )}{1 - u ^{2}}

:حوّل الأعداد لكسور

= \frac{2 u ^{2}}{1 - u ^{2}} - \frac{1 \cdot ( 1 - u ^{2} )}{1 - u ^{2}}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:بما أنّ المقامات متساوية، اجمع البسوط

= \frac{2 u ^{2} - 1 \cdot ( 1 - u ^{2} )}{1 - u ^{2}}

1 \cdot (1 - u^{2}) = (1 - u^{2}) :

اضرب

= \frac{2 u ^{2} - ( - u ^{2} + 1 )}{1 - u ^{2}}

2 u^{2} - (1 - u^{2})

وسٌع:

3 u^{2} - 1

2 u^{2} - (1 - u^{2})

- (1 - u^{2}) : - 1 + u^{2}

- (1 - u^{2})

افتح أقواس

= - (1) - (- u^{2})

فعّل قوانين سالب-موجب

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + u^{2}

= 2 u^{2} - 1 + u^{2}

2 u^{2} - 1 + u^{2}

بسّط:

3 u^{2} - 1

2 u^{2} - 1 + u^{2}

جمّع التعابير المتشابهة

= 2 u^{2} + u^{2} - 1

2 u^{2} + u^{2} = 3 u^{2} :

اجمع العناصر المتشابهة

= 3 u^{2} - 1

= 3 u^{2} - 1

= \frac{3 u ^{2} - 1}{1 - u ^{2}}

\frac{3 u ^{2} - 1}{1 - u ^{2}} > 0

\frac{3 u ^{2} - 1}{1 - u ^{2}} > 0

\frac{3 u ^{2} - 1}{1 - u ^{2}}

حلل إلى عوامل:

\frac{( 3 u + 1 ) ( 3 u - 1 )}{- ( u + 1 ) ( u - 1 )}

\frac{3 u ^{2} - 1}{1 - u ^{2}}

- u^{2} + 1

حلل إلى عوامل:

- (u + 1) (u - 1)

- u^{2} + 1

- 1

قم باخراج العامل المشترك

= - (u^{2} - 1)

u^{2} - 1

حلل إلى عوامل:

(u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

1^{2}

كـ

1

اكتب مجددًا

= u^{2} - 1^{2}

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

فعّل قانون فرق المربّعات

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= - (u + 1) (u - 1)

= \frac{3 u ^{2} - 1}{- ( u + 1 ) ( u - 1 )}

3 u^{2} - 1

حلل إلى عوامل:

(3 u + 1) (3 u - 1)

3 u^{2} - 1

(3 u)^{2} - 1^{2}

كـ

3 u^{2} - 1

اكتب مجددًا

3 u^{2} - 1

a = (a)^{2}

:فعْل قانون الجذور

3 = (3)^{2}

= (3)^{2} u^{2} - 1

1^{2}

كـ

1

اكتب مجددًا

= (3)^{2} u^{2} - 1^{2}

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

:فعّل قانون القوى

(3)^{2} u^{2} = (3 u)^{2}

= (3 u)^{2} - 1^{2}

= (3 u)^{2} - 1^{2}

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

فعّل قانون فرق المربّعات

(3 u)^{2} - 1^{2} = (3 u + 1) (3 u - 1)

= (3 u + 1) (3 u - 1)

= \frac{( 3 u + 1 ) ( 3 u - 1 )}{- ( u + 1 ) ( u - 1 )}

\frac{( 3 u + 1 ) ( 3 u - 1 )}{- ( u + 1 ) ( u - 1 )} > 0

Multiply both sides by

- 1

(reverse the inequality)

\frac{( 3 u + 1 ) ( 3 u - 1 ) ( - 1 )}{- ( u + 1 ) ( u - 1 )} < 0 \cdot (- 1)

بسّط

\frac{( 3 u + 1 ) ( 3 u - 1 )}{( u + 1 ) ( u - 1 )} < 0

ميّز المقاطع المختلفة

\frac{( 3 u + 1 ) ( 3 u - 1 )}{( u + 1 ) ( u - 1 )}

:جد إشارة كل واحد من عوامل

3 u + 1

:جد إشارة

3 u + 1 = 0 : u = - \frac{3}{3}

3 u + 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

3 u + 1 = 0

من الطرفين

1

اطرح

3 u + 1 - 1 = 0 - 1

بسّط

3 u = - 1

3 u = - 1

3

اقسم الطرفين على

3 u = - 1

3

اقسم الطرفين على

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

بسّط

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

\frac{3 u}{3}

بسّط:

u

\frac{3 u}{3}

3 :

إلغ العوامل المشتركة

= u

\frac{- 1}{3}

بسّط:

- \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= - \frac{1}{3}

- \frac{1}{3}

حوّل لصيغة عدد كسريّ:

- \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

\frac{3}{3}

اضرب بالمرافق

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

a a = a

:فعْل قانون الجذور

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

3 u + 1 < 0 : u < - \frac{3}{3}

3 u + 1 < 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

3 u + 1 < 0

من الطرفين

1

اطرح

3 u + 1 - 1 < 0 - 1

بسّط

3 u < - 1

3 u < - 1

3

اقسم الطرفين على

3 u < - 1

3

اقسم الطرفين على

\frac{3 u}{3} < \frac{- 1}{3}

بسّط

\frac{3 u}{3} < \frac{- 1}{3}

\frac{3 u}{3}

بسّط:

u

\frac{3 u}{3}

3 :

إلغ العوامل المشتركة

= u

\frac{- 1}{3}

بسّط:

- \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= - \frac{1}{3}

- \frac{1}{3}

حوّل لصيغة عدد كسريّ:

- \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

\frac{3}{3}

اضرب بالمرافق

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

a a = a

:فعْل قانون الجذور

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

u < - \frac{3}{3}

u < - \frac{3}{3}

u < - \frac{3}{3}

3 u + 1 > 0 : u > - \frac{3}{3}

3 u + 1 > 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

3 u + 1 > 0

من الطرفين

1

اطرح

3 u + 1 - 1 > 0 - 1

بسّط

3 u > - 1

3 u > - 1

3

اقسم الطرفين على

3 u > - 1

3

اقسم الطرفين على

\frac{3 u}{3} > \frac{- 1}{3}

بسّط

\frac{3 u}{3} > \frac{- 1}{3}

\frac{3 u}{3}

بسّط:

u

\frac{3 u}{3}

3 :

إلغ العوامل المشتركة

= u

\frac{- 1}{3}

بسّط:

- \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= - \frac{1}{3}

- \frac{1}{3}

حوّل لصيغة عدد كسريّ:

- \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

\frac{3}{3}

اضرب بالمرافق

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

a a = a

:فعْل قانون الجذور

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

u > - \frac{3}{3}

u > - \frac{3}{3}

u > - \frac{3}{3}

3 u - 1

:جد إشارة

3 u - 1 = 0 : u = \frac{3}{3}

3 u - 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

3 u - 1 = 0

للطرفين

1

أضف

3 u - 1 + 1 = 0 + 1

بسّط

3 u = 1

3 u = 1

3

اقسم الطرفين على

3 u = 1

3

اقسم الطرفين على

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

بسّط

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

\frac{3 u}{3}

بسّط:

u

\frac{3 u}{3}

3 :

إلغ العوامل المشتركة

= u

\frac{1}{3}

بسّط:

\frac{3}{3}

\frac{1}{3}

\frac{3}{3}

اضرب بالمرافق

= \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

a a = a

:فعْل قانون الجذور

33 = 3

= 3

= \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

3 u - 1 < 0 : u < \frac{3}{3}

3 u - 1 < 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

3 u - 1 < 0

للطرفين

1

أضف

3 u - 1 + 1 < 0 + 1

بسّط

3 u < 1

3 u < 1

3

اقسم الطرفين على

3 u < 1

3

اقسم الطرفين على

\frac{3 u}{3} < \frac{1}{3}

بسّط

\frac{3 u}{3} < \frac{1}{3}

\frac{3 u}{3}

بسّط:

u

\frac{3 u}{3}

3 :

إلغ العوامل المشتركة

= u

\frac{1}{3}

بسّط:

\frac{3}{3}

\frac{1}{3}

\frac{3}{3}

اضرب بالمرافق

= \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

a a = a

:فعْل قانون الجذور

33 = 3

= 3

= \frac{3}{3}

u < \frac{3}{3}

u < \frac{3}{3}

u < \frac{3}{3}

3 u - 1 > 0 : u > \frac{3}{3}

3 u - 1 > 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

3 u - 1 > 0

للطرفين

1

أضف

3 u - 1 + 1 > 0 + 1

بسّط

3 u > 1

3 u > 1

3

اقسم الطرفين على

3 u > 1

3

اقسم الطرفين على

\frac{3 u}{3} > \frac{1}{3}

بسّط

\frac{3 u}{3} > \frac{1}{3}

\frac{3 u}{3}

بسّط:

u

\frac{3 u}{3}

3 :

إلغ العوامل المشتركة

= u

\frac{1}{3}

بسّط:

\frac{3}{3}

\frac{1}{3}

\frac{3}{3}

اضرب بالمرافق

= \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

a a = a

:فعْل قانون الجذور

33 = 3

= 3

= \frac{3}{3}

u > \frac{3}{3}

u > \frac{3}{3}

u > \frac{3}{3}

u + 1

:جد إشارة

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u + 1 = 0

من الطرفين

1

اطرح

u + 1 - 1 = 0 - 1

بسّط

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u + 1 < 0

من الطرفين

1

اطرح

u + 1 - 1 < 0 - 1

بسّط

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u + 1 > 0

من الطرفين

1

اطرح

u + 1 - 1 > 0 - 1

بسّط

u > - 1

u > - 1

u - 1

:جد إشارة

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u - 1 = 0

للطرفين

1

أضف

u - 1 + 1 = 0 + 1

بسّط

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u - 1 < 0

للطرفين

1

أضف

u - 1 + 1 < 0 + 1

بسّط

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u - 1 > 0

للطرفين

1

أضف

u - 1 + 1 > 0 + 1

بسّط

u > 1

u > 1

Find singularity points

Find the zeros of the denominator

(u + 1) (u - 1) : u = - 1, u = 1

(u + 1) (u - 1) = 0

حلّ عن طريق مساواة العوامل لصفر

u + 1 = 0 or u - 1 = 0

u + 1 = 0

حلّ:

u = - 1

u + 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u + 1 = 0

من الطرفين

1

اطرح

u + 1 - 1 = 0 - 1

بسّط

u = - 1

u = - 1

u - 1 = 0

حلّ:

u = 1

u - 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u - 1 = 0

للطرفين

1

أضف

u - 1 + 1 = 0 + 1

بسّط

u = 1

u = 1

حلول المعادلة التربيعيّة هي

u = - 1, u = 1

لخّص في جدول

3 u + 1 3 u - 1 u + 1 u - 1 \frac{( 3 u + 1 ) ( 3 u - 1 )}{( u + 1 ) ( u - 1 )} u < - 1 - - - - + u = - 1 - - 0 - غير معرّف - 1 < u < - \frac{3}{3} - - + - - u = - \frac{3}{3} 0 - + - 0 - \frac{3}{3} < u < \frac{3}{3} + - + - + u = \frac{3}{3} + 0 + - 0 \frac{3}{3} < u < 1 + + + - - u = 1 + + + 0 غير معرّف u > 1 + + + + +

< 0 :

ميّز المقاطع التي تحقّق الشرط

- 1 < u < - \frac{3}{3} or \frac{3}{3} < u < 1

- 1 < u < - \frac{3}{3} or \frac{3}{3} < u < 1

- 1 < u < - \frac{3}{3} or \frac{3}{3} < u < 1

u = tan (x)

استبدل مجددًا

- 1 < tan (x) < - \frac{3}{3} or \frac{3}{3} < tan (x) < 1

- 1 < tan (x) < - \frac{3}{3} : \frac{3 π}{4} + πn < x < \frac{5 π}{6} + πn

- 1 < tan (x) < - \frac{3}{3}

a < u and u < b

إذًا

a < u < b

إذا تحقّق أنّ

- 1 < tan (x) and tan (x) < - \frac{3}{3}

- 1 < tan (x) : - \frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

- 1 < tan (x)

بدّل الأطراف

tan (x) > - 1

arctan (a) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

إذًا

tan (x) > a

إذا تحقّق أنّ

arctan (- 1) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

arctan (- 1)

بسّط:

- \frac{π}{4}

arctan (- 1)

arctan (- x) = - arctan (x) :

استخدم القانون التالي

arctan (- 1) = - arctan (1)

= - arctan (1)

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arctan (1) = \frac{π}{4}

arctan (1)

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4}

- \frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

tan (x) < - \frac{3}{3} : - \frac{π}{2} + πn < x < - \frac{π}{6} + πn

tan (x) < - \frac{3}{3}

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (a) + πn

إذًا

tan (x) < a

إذا تحقّق أنّ

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (- \frac{3}{3}) + πn

arctan (- \frac{3}{3})

بسّط:

- \frac{π}{6}

arctan (- \frac{3}{3})

arctan (- x) = - arctan (x) :

استخدم القانون التالي

arctan (- \frac{3}{3}) = - arctan (\frac{3}{3})

= - arctan (\frac{3}{3})

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arctan (\frac{3}{3}) = \frac{π}{6}

arctan (\frac{3}{3})

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

- \frac{π}{2} + πn < x < - \frac{π}{6} + πn

وحّد المقاطع

- \frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn and - \frac{π}{2} + πn < x < - \frac{π}{6} + πn

ادمج المجالات المتطابقة

\frac{3 π}{4} + πn < x < \frac{5 π}{6} + πn

\frac{3}{3} < tan (x) < 1 : \frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

\frac{3}{3} < tan (x) < 1

a < u and u < b

إذًا

a < u < b

إذا تحقّق أنّ

\frac{3}{3} < tan (x) and tan (x) < 1

\frac{3}{3} < tan (x) : \frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

\frac{3}{3} < tan (x)

بدّل الأطراف

tan (x) > \frac{3}{3}

arctan (a) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

إذًا

tan (x) > a

إذا تحقّق أنّ

arctan (\frac{3}{3}) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

arctan (\frac{3}{3})

بسّط:

\frac{π}{6}

arctan (\frac{3}{3})

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arctan (\frac{3}{3}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

\frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

tan (x) < 1 : - \frac{π}{2} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

tan (x) < 1

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (a) + πn

إذًا

tan (x) < a

إذا تحقّق أنّ

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (1) + πn

arctan (1)

بسّط:

\frac{π}{4}

arctan (1)

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arctan (1) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

- \frac{π}{2} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

وحّد المقاطع

\frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{2} + πn and - \frac{π}{2} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

ادمج المجالات المتطابقة

\frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

وحّد المقاطع

\frac{3 π}{4} + πn < x < \frac{5 π}{6} + πn or \frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

ادمج المجالات المتطابقة

\frac{π}{6} + πn < x < \frac{π}{4} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x < \frac{5 π}{6} + πn

أمثلة شائعة

cos^2(x)-2cos(x)+1<= 0