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Popular Trigonometría >

sin(3x-pi/6)+cos(3x-pi/6)>0

Solución

sin (3 x - \frac{π}{6}) + cos (3 x - \frac{π}{6}) > 0

Solución

- \frac{π}{36} + \frac{2 π}{3} n < x < \frac{11 π}{36} + \frac{2 π}{3} n

Notación de intervalos

(- \frac{π}{36} + \frac{2 π}{3} n, \frac{11 π}{36} + \frac{2 π}{3} n)

Decimal

- 0.08726 \dots + \frac{2 π}{3} n < x < 0.95993 \dots + \frac{2 π}{3} n

Pasos de solución

sin (3 x - \frac{π}{6}) + cos (3 x - \frac{π}{6}) > 0

Usar la siguiente identidad:

cos (x) + sin (x) = 2 sin (\frac{π}{4} + x)

2 sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6} + 3 x) > 0

Dividir ambos lados entre

2

2 sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6} + 3 x) > 0

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 sin ( \frac{π}{4} - \frac{π}{6} + 3 x )}{2} > \frac{0}{2}

Simplificar

sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6} + 3 x) > 0

sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6} + 3 x) > 0

Para

sin (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

entonces

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn < (\frac{π}{4} - \frac{π}{6} + 3 x) < π - arcsin (0) + 2 πn

a < u < b

entonces

a < u and u < b

arcsin (0) + 2 πn < \frac{π}{4} - \frac{π}{6} + 3 x and \frac{π}{4} - \frac{π}{6} + 3 x < π - arcsin (0) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn < \frac{π}{4} - \frac{π}{6} + 3 x : x > \frac{2 πn}{3} - \frac{π}{36}

arcsin (0) + 2 πn < \frac{π}{4} - \frac{π}{6} + 3 x

Intercambiar lados

\frac{π}{4} - \frac{π}{6} + 3 x > arcsin (0) + 2 πn

Simplificar

arcsin (0) + 2 πn : 2 πn

arcsin (0) + 2 πn

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

= 2 πn

\frac{π}{4} - \frac{π}{6} + 3 x > 2 πn

Desplace

\frac{π}{4}

a la derecha

\frac{π}{4} - \frac{π}{6} + 3 x > 2 πn

Restar

\frac{π}{4}

de ambos lados

\frac{π}{4} - \frac{π}{6} + 3 x - \frac{π}{4} > 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

- \frac{π}{6} + 3 x > 2 πn - \frac{π}{4}

- \frac{π}{6} + 3 x > 2 πn - \frac{π}{4}

Desplace

\frac{π}{6}

a la derecha

- \frac{π}{6} + 3 x > 2 πn - \frac{π}{4}

Sumar

\frac{π}{6}

a ambos lados

- \frac{π}{6} + 3 x + \frac{π}{6} > 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{π}{6}

Simplificar

- \frac{π}{6} + 3 x + \frac{π}{6} > 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{π}{6}

Simplificar

- \frac{π}{6} + 3 x + \frac{π}{6} : 3 x

- \frac{π}{6} + 3 x + \frac{π}{6}

Sumar elementos similares:

- \frac{π}{6} + \frac{π}{6} > 0

= 3 x

Simplificar

2 πn - \frac{π}{4} + \frac{π}{6} : 2 πn - \frac{π}{12}

2 πn - \frac{π}{4} + \frac{π}{6}

Mínimo común múltiplo de

4, 6 : 12

4, 6

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Descomposición en factores primos de

6 : 2 \cdot 3

6

6

divida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 3

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

4

6

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{π}{4} :

multiplicar el denominador y el numerador por

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

Para

\frac{π}{6} :

multiplicar el denominador y el numerador por

2

\frac{π}{6} = \frac{π 2}{6 \cdot 2} = \frac{π 2}{12}

= - \frac{π 3}{12} + \frac{π 2}{12}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 + π 2}{12}

Sumar elementos similares:

- 3 π + 2 π = - π

= \frac{- π}{12}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= 2 πn - \frac{π}{12}

3 x > 2 πn - \frac{π}{12}

3 x > 2 πn - \frac{π}{12}

3 x > 2 πn - \frac{π}{12}

Dividir ambos lados entre

3

3 x > 2 πn - \frac{π}{12}

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 x}{3} > \frac{2 πn}{3} - \frac{\frac{π}{12}}{3}

Simplificar

\frac{3 x}{3} > \frac{2 πn}{3} - \frac{\frac{π}{12}}{3}

Simplificar

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Dividir:

\frac{3}{3} = 1

= x

Simplificar

\frac{2 πn}{3} - \frac{\frac{π}{12}}{3} : \frac{2 πn}{3} - \frac{π}{36}

\frac{2 πn}{3} - \frac{\frac{π}{12}}{3}

\frac{\frac{π}{12}}{3} = \frac{π}{36}

\frac{\frac{π}{12}}{3}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{12 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

12 \cdot 3 = 36

= \frac{π}{36}

= \frac{2 πn}{3} - \frac{π}{36}

x > \frac{2 πn}{3} - \frac{π}{36}

x > \frac{2 πn}{3} - \frac{π}{36}

x > \frac{2 πn}{3} - \frac{π}{36}

\frac{π}{4} - \frac{π}{6} + 3 x < π - arcsin (0) + 2 πn : x < \frac{11 π}{36} + \frac{2 π}{3} n

\frac{π}{4} - \frac{π}{6} + 3 x < π - arcsin (0) + 2 πn

Simplificar

π - arcsin (0) + 2 πn : π + 2 πn

π - arcsin (0) + 2 πn

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0 + 2 πn

π - 0 + 2 πn = π + 2 πn

= π + 2 πn

\frac{π}{4} - \frac{π}{6} + 3 x < π + 2 πn

Desplace

\frac{π}{4}

a la derecha

\frac{π}{4} - \frac{π}{6} + 3 x < π + 2 πn

Restar

\frac{π}{4}

de ambos lados

\frac{π}{4} - \frac{π}{6} + 3 x - \frac{π}{4} < π + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

- \frac{π}{6} + 3 x < π + 2 πn - \frac{π}{4}

- \frac{π}{6} + 3 x < π + 2 πn - \frac{π}{4}

Desplace

\frac{π}{6}

a la derecha

- \frac{π}{6} + 3 x < π + 2 πn - \frac{π}{4}

Sumar

\frac{π}{6}

a ambos lados

- \frac{π}{6} + 3 x + \frac{π}{6} < π + 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{π}{6}

Simplificar

- \frac{π}{6} + 3 x + \frac{π}{6} < π + 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{π}{6}

Simplificar

- \frac{π}{6} + 3 x + \frac{π}{6} : 3 x

- \frac{π}{6} + 3 x + \frac{π}{6}

Sumar elementos similares:

- \frac{π}{6} + \frac{π}{6} < 0

= 3 x

Simplificar

π + 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{π}{6} : π + 2 πn - \frac{π}{12}

π + 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{π}{6}

Mínimo común múltiplo de

4, 6 : 12

4, 6

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Descomposición en factores primos de

6 : 2 \cdot 3

6

6

divida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 3

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

4

6

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{π}{4} :

multiplicar el denominador y el numerador por

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

Para

\frac{π}{6} :

multiplicar el denominador y el numerador por

2

\frac{π}{6} = \frac{π 2}{6 \cdot 2} = \frac{π 2}{12}

= - \frac{π 3}{12} + \frac{π 2}{12}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 + π 2}{12}

Sumar elementos similares:

- 3 π + 2 π = - π

= \frac{- π}{12}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= π + 2 πn - \frac{π}{12}

3 x < π + 2 πn - \frac{π}{12}

3 x < π + 2 πn - \frac{π}{12}

3 x < π + 2 πn - \frac{π}{12}

Dividir ambos lados entre

3

3 x < π + 2 πn - \frac{π}{12}

Dividir ambos lados entre

3

\frac{3 x}{3} < \frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3} - \frac{\frac{π}{12}}{3}

Simplificar

\frac{3 x}{3} < \frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3} - \frac{\frac{π}{12}}{3}

Simplificar

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Dividir:

\frac{3}{3} = 1

= x

Simplificar

\frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3} - \frac{\frac{π}{12}}{3} : \frac{π}{3} - \frac{π}{36} + \frac{2 πn}{3}

\frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3} - \frac{\frac{π}{12}}{3}

\frac{\frac{π}{12}}{3} = \frac{π}{36}

\frac{\frac{π}{12}}{3}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{12 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

12 \cdot 3 = 36

= \frac{π}{36}

= \frac{π}{3} + \frac{2 πn}{3} - \frac{π}{36}

Agrupar términos semejantes

= \frac{π}{3} - \frac{π}{36} + \frac{2 πn}{3}

x < \frac{π}{3} - \frac{π}{36} + \frac{2 πn}{3}

x < \frac{π}{3} - \frac{π}{36} + \frac{2 πn}{3}

Simplificar

\frac{π}{3} - \frac{π}{36} : \frac{11 π}{36}

\frac{π}{3} - \frac{π}{36}

Mínimo común múltiplo de

3, 36 : 36

3, 36

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

3 : 3

3

3

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 3

Descomposición en factores primos de

36 : 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

36

36

divida por

236 = 18 \cdot 2

= 2 \cdot 18

18

divida por

218 = 9 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 9

9

divida por

39 = 3 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

3

36

= 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 36

= 36

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para