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Popular Trigonometría >

2sin(x)+3((sin(2x))/(2sin(x)))<0

Solución

2 sin (x) + 3 (\frac{sin ( 2 x )}{2 sin ( x )}) < 0

Solución

- 0.98279 \dots + π + 2 πn < x < π + 2 πn or π + 2 πn < x < - 0.98279 \dots + 2 π + 2 πn

Notación de intervalos

(- 0.98279 \dots + π + 2 πn, π + 2 πn) \cup (π + 2 πn, - 0.98279 \dots + 2 π + 2 πn)

Decimal

2.15879 \dots + 2 πn < x < 3.14159 \dots + 2 πn or 3.14159 \dots + 2 πn < x < 5.30039 \dots + 2 πn

Pasos de solución

2 sin (x) + 3 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2 sin ( x )} < 0

Simplificar

2 sin (x) + 3 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2 sin ( x )} : \frac{4 sin ^{2} ( x ) + 3 sin ( 2 x )}{2 sin ( x )}

2 sin (x) + 3 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2 sin ( x )}

Multiplicar

3 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2 sin ( x )} : \frac{3 sin ( 2 x )}{2 sin ( x )}

3 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2 sin ( x )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( 2 x ) \cdot 3}{2 sin ( x )}

= 2 sin (x) + \frac{3 sin ( 2 x )}{2 sin ( x )}

Convertir a fracción:

2 sin (x) = \frac{2 sin ( x ) 2 sin ( x )}{2 sin ( x )}

= \frac{2 sin ( x ) \cdot 2 sin ( x )}{2 sin ( x )} + \frac{sin ( 2 x ) \cdot 3}{2 sin ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 sin ( x ) \cdot 2 sin ( x ) + sin ( 2 x ) \cdot 3}{2 sin ( x )}

2 sin (x) \cdot 2 sin (x) + sin (2 x) \cdot 3 = 4 sin^{2} (x) + 3 sin (2 x)

2 sin (x) \cdot 2 sin (x) + sin (2 x) \cdot 3

2 sin (x) \cdot 2 sin (x) = 4 sin^{2} (x)

2 sin (x) \cdot 2 sin (x)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= 4 sin (x) sin (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 4 sin^{1 + 1} (x)

Sumar:

1 + 1 = 2

= 4 sin^{2} (x)

= 4 sin^{2} (x) + 3 sin (2 x)

= \frac{4 sin ^{2} ( x ) + 3 sin ( 2 x )}{2 sin ( x )}

\frac{4 sin ^{2} ( x ) + 3 sin ( 2 x )}{2 sin ( x )} < 0

Periodicidad de

2 sin (x) + 3 \frac{sin ( 2 x )}{2 sin ( x )} : 2 π

La periodicidad combinada de la suma de funciones periódicas es el mínimo común múltiplo de los períodos

2 sin (x), 3 \frac{sin ( 2 x )}{2 sin ( x )}

Periodicidad de

2 sin (x) : 2 π

La periodicidad de

a \cdot sin (b x + c) + d = \frac{periodicidad de sin ( x )}{∣ b ∣}

La periodicidad de

sin (x)

2 π

= \frac{2 π}{∣ 1 ∣}

Simplificar

= 2 π

Periodicidad de

3 \frac{sin ( 2 x )}{2 sin ( x )} : 2 π

3 \frac{sin ( 2 x )}{2 sin ( x )}

esta compuesta de las siguientes funciones y periodos:

sin (x)

con periodicidad de

2 π

La periodicidad compuesta es:

2 π

Combinar períodos:

2 π, 2 π

= 2 π

Encontrar los ceros y puntos indefinidos de

\frac{4 sin ^{2} ( x ) + 3 sin ( 2 x )}{2 sin ( x )}

para

0 \leq x < 2 π

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

\frac{4 sin ^{2} ( x ) + 3 sin ( 2 x )}{2 sin ( x )} = 0

\frac{4 sin ^{2} ( x ) + 3 sin ( 2 x )}{2 sin ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π : x = - 0.98279 \dots + π, x = - 0.98279 \dots + 2 π

\frac{4 sin ^{2} ( x ) + 3 sin ( 2 x )}{2 sin ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 sin^{2} (x) + 3 sin (2 x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

3 sin (2 x) + 4 sin^{2} (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 3 \cdot 2 sin (x) cos (x) + 4 sin^{2} (x)

Simplificar

= 6 sin (x) cos (x) + 4 sin^{2} (x)

4 sin^{2} (x) + 6 cos (x) sin (x) = 0

Factorizar

4 sin^{2} (x) + 6 cos (x) sin (x) : 2 sin (x) (2 sin (x) + 3 cos (x))

4 sin^{2} (x) + 6 cos (x) sin (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (x) = sin (x) sin (x)

= 4 sin (x) sin (x) + 6 sin (x) cos (x)

Reescribir

6

como

3 \cdot 2

Reescribir

4

como

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 sin (x) sin (x) + 3 \cdot 2 sin (x) cos (x)

Factorizar el termino común

2 sin (x)

= 2 sin (x) (2 sin (x) + 3 cos (x))

2 sin (x) (2 sin (x) + 3 cos (x)) = 0

Resolver cada parte por separado

sin (x) = 0 or 2 sin (x) + 3 cos (x) = 0

sin (x) = 0, 0 \leq x < 2 π : x = 0, x = π

sin (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Soluciones generales para

sin (x) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = 0, x = π

2 sin (x) + 3 cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π : x = - arctan (\frac{3}{2}) + π, x = - arctan (\frac{3}{2}) + 2 π

2 sin (x) + 3 cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Re-escribir usando identidades trigonométricas

2 sin (x) + 3 cos (x) = 0

Dividir ambos lados entre

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{2 sin ( x ) + 3 cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplificar

\frac{2 sin ( x )}{cos ( x )} + 3 = 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

2 tan (x) + 3 = 0

2 tan (x) + 3 = 0

Desplace

3

a la derecha

2 tan (x) + 3 = 0

Restar

3

de ambos lados

2 tan (x) + 3 - 3 = 0 - 3

Simplificar

2 tan (x) = - 3

2 tan (x) = - 3

Dividir ambos lados entre

2

2 tan (x) = - 3

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 tan ( x )}{2} = \frac{- 3}{2}

Simplificar

tan (x) = - \frac{3}{2}

tan (x) = - \frac{3}{2}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

tan (x) = - \frac{3}{2}

Soluciones generales para

tan (x) = - \frac{3}{2}

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

x = arctan (- \frac{3}{2}) + πn

x = arctan (- \frac{3}{2}) + πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = - arctan (\frac{3}{2}) + π, x = - arctan (\frac{3}{2}) + 2 π

Combinar toda las soluciones

x = 0, x = π, x = - arctan (\frac{3}{2}) + π, x = - arctan (\frac{3}{2}) + 2 π

Siendo que la ecuación esta indefinida para:

0, π

x = - arctan (\frac{3}{2}) + π, x = - arctan (\frac{3}{2}) + 2 π

Mostrar soluciones en forma decimal

x = - 0.98279 \dots + π, x = - 0.98279 \dots + 2 π

Encontrar los puntos indefinidos:

x = 0, x = π

Encontrar los ceros del denominador

2 sin (x) = 0

Dividir ambos lados entre

2

2 sin (x) = 0

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 sin ( x )}{2} = \frac{0}{2}

Simplificar

sin (x) = 0

sin (x) = 0

Soluciones generales para

sin (x) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < 2 π

x = 0, x = π

0, - 0.98279 \dots + π, π, - 0.98279 \dots + 2 π

Identificar los intervalos

0 < x < - 0.98279 \dots + π, - 0.98279 \dots + π < x < π, π < x < - 0.98279 \dots + 2 π, - 0.98279 \dots + 2 π < x < 2 π

Resumir en una tabla:

4 sin^{2} (x) + 3 sin (2 x) sin (x) \frac{4 s i n ^{2} ( x ) + 3 s i n ( 2 x )}{2 s i n ( x )} x = 0 00 Sin definir 0 < x < - 0.98279 \dots + π + + + x = - 0.98279 \dots + π 0 + 0 - 0.98279 \dots + π < x < π - + - x = π 00 Sin definir π < x < - 0.98279 \dots + 2 π + - - x = - 0.98279 \dots + 2 π 0 - 0 - 0.98279 \dots + 2 π < x < 2 π - - + x = 2 π 00 Sin definir

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

< 0

- 0.98279 \dots + π < x < π or π < x < - 0.98279 \dots + 2 π

Utilizar la periodicidad de

2 sin (x) + 3 \frac{sin ( 2 x )}{2 sin ( x )}

- 0.98279 \dots + π + 2 πn < x < π + 2 πn or π + 2 πn < x < - 0.98279 \dots + 2 π + 2 πn

Ejemplos populares

cos^2(x)>sin(x)cos(x)

cos(θ)>0,sin(θ)>0

tan^2(x)>= sqrt(3)tan(x)

solvefor θ,cos(θ)>= 0

arcsin(3pix+2)>= 0