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Popular Trigonometría >

(sin(x)+4)(sqrt(3)-2sin(x))>0

Solución

(sin (x) + 4) (3 - 2 sin (x)) > 0

Solución

- \frac{4 π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

Notación de intervalos

(- \frac{4 π}{3} + 2 πn, \frac{π}{3} + 2 πn)

Decimal

- 4.18879 \dots + 2 πn < x < 1.04719 \dots + 2 πn

Pasos de solución

(sin (x) + 4) (3 - 2 sin (x)) > 0

Sea:

u = sin (x)

(u + 4) (3 - 2 u) > 0

(u + 4) (3 - 2 u) > 0 : - 4 < u < \frac{3}{2}

(u + 4) (3 - 2 u) > 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(u + 4) (3 - 2 u)

Encontrar los signos de

u + 4

u + 4 = 0 : u = - 4

u + 4 = 0

Desplace

4

a la derecha

u + 4 = 0

Restar

4

de ambos lados

u + 4 - 4 = 0 - 4

Simplificar

u = - 4

u = - 4

u + 4 < 0 : u < - 4

u + 4 < 0

Desplace

4

a la derecha

u + 4 < 0

Restar

4

de ambos lados

u + 4 - 4 < 0 - 4

Simplificar

u < - 4

u < - 4

u + 4 > 0 : u > - 4

u + 4 > 0

Desplace

4

a la derecha

u + 4 > 0

Restar

4

de ambos lados

u + 4 - 4 > 0 - 4

Simplificar

u > - 4

u > - 4

Encontrar los signos de

3 - 2 u

3 - 2 u = 0 : u = \frac{3}{2}

3 - 2 u = 0

Desplace

3

a la derecha

3 - 2 u = 0

Restar

3

de ambos lados

3 - 2 u - 3 = 0 - 3

Simplificar

- 2 u = - 3

- 2 u = - 3

Dividir ambos lados entre

- 2

- 2 u = - 3

Dividir ambos lados entre

- 2

\frac{- 2 u}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}

Simplificar

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

3 - 2 u < 0 : u > \frac{3}{2}

3 - 2 u < 0

Desplace

3

a la derecha

3 - 2 u < 0

Restar

3

de ambos lados

3 - 2 u - 3 < 0 - 3

Simplificar

- 2 u < - 3

- 2 u < - 3

Multiplicar ambos lados por

- 1

- 2 u < - 3

Multiplicar ambos lados por -1 (invierte la desigualdad)

(- 2 u) (- 1) > (- 3) (- 1)

Simplificar

2 u > 3

2 u > 3

Dividir ambos lados entre

2

2 u > 3

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} > \frac{3}{2}

Simplificar

u > \frac{3}{2}

u > \frac{3}{2}

3 - 2 u > 0 : u < \frac{3}{2}

3 - 2 u > 0

Desplace

3

a la derecha

3 - 2 u > 0

Restar

3

de ambos lados

3 - 2 u - 3 > 0 - 3

Simplificar

- 2 u > - 3

- 2 u > - 3

Multiplicar ambos lados por

- 1

- 2 u > - 3

Multiplicar ambos lados por -1 (invierte la desigualdad)

(- 2 u) (- 1) < (- 3) (- 1)

Simplificar

2 u < 3

2 u < 3

Dividir ambos lados entre

2

2 u < 3

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} < \frac{3}{2}

Simplificar

u < \frac{3}{2}

u < \frac{3}{2}

Resumir en una tabla:

u + 4 3 - 2 u (u + 4) (3 - 2 u) u < - 4 - + - u = - 4 0 + 0 - 4 < u < \frac{3}{2} + + + u = \frac{3}{2} + 00 u > \frac{3}{2} + - -

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

> 0

- 4 < u < \frac{3}{2}

- 4 < u < \frac{3}{2}

- 4 < u < \frac{3}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

- 4 < sin (x) < \frac{3}{2}

a < u < b

entonces

a < u and u < b

- 4 < sin (x) and sin (x) < \frac{3}{2}

- 4 < sin (x) :

Verdadero para todo

x \in R

- 4 < sin (x)

Intercambiar lados

sin (x) > - 4

Rango de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) > - 4 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Sea

y

sin (x)

Combinar los rangos

y > - 4 and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y > - 4 and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y > - 4

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Verdadero para todo x

Verdadero para todo x \in R

sin (x) < \frac{3}{2} : - \frac{4 π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

sin (x) < \frac{3}{2}

Para

sin (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

entonces

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn < x < arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn

Simplificar

- π - arcsin (\frac{3}{2}) : - \frac{4 π}{3}

- π - arcsin (\frac{3}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{3}

Simplificar

- π - \frac{π}{3}

Convertir a fracción:

π = \frac{π 3}{3}

= - \frac{π 3}{3} - \frac{π}{3}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 - π}{3}

Sumar elementos similares:

- 3 π - π = - 4 π

= \frac{- 4 π}{3}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 π}{3}

= - \frac{4 π}{3}

Simplificar

arcsin (\frac{3}{2}) : \frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

- \frac{4 π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

Combinar los rangos

Verdadero para todo x \in R and - \frac{4 π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

- \frac{4 π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

Ejemplos populares

6.5<= 5+3sin(30t)

solvefor x,2*cos(4x)<= 5

2cos^2(x)+cos(x)-1<= 0

sin(x/3)<(sqrt(3))/2

tan(x)>=-(sqrt(3))/3