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Beliebt Trigonometrie >

2tan^2(x)+4sec(x)+sec^2(x)=2

Lösung

2 tan^{2} (x) + 4 sec (x) + sec^{2} (x) = 2

Lösung

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Grad

x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 tan^{2} (x) + 4 sec (x) + sec^{2} (x) = 2

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

2 tan^{2} (x) + 4 sec (x) + sec^{2} (x) - 2 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 2 + sec^{2} (x) + 2 tan^{2} (x) + 4 sec (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

tan^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

= - 2 + sec^{2} (x) + 2 (sec^{2} (x) - 1) + 4 sec (x)

Vereinfache

- 2 + sec^{2} (x) + 2 (sec^{2} (x) - 1) + 4 sec (x) : 3 sec^{2} (x) + 4 sec (x) - 4

- 2 + sec^{2} (x) + 2 (sec^{2} (x) - 1) + 4 sec (x)

Multipliziere aus

2 (sec^{2} (x) - 1) : 2 sec^{2} (x) - 2

2 (sec^{2} (x) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = sec^{2} (x), c = 1

= 2 sec^{2} (x) - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 sec^{2} (x) - 2

= - 2 + sec^{2} (x) + 2 sec^{2} (x) - 2 + 4 sec (x)

Vereinfache

- 2 + sec^{2} (x) + 2 sec^{2} (x) - 2 + 4 sec (x) : 3 sec^{2} (x) + 4 sec (x) - 4

- 2 + sec^{2} (x) + 2 sec^{2} (x) - 2 + 4 sec (x)

Addiere gleiche Elemente:

sec^{2} (x) + 2 sec^{2} (x) = 3 sec^{2} (x)

= - 2 + 3 sec^{2} (x) - 2 + 4 sec (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 3 sec^{2} (x) + 4 sec (x) - 2 - 2

Subtrahiere die Zahlen:

- 2 - 2 = - 4

= 3 sec^{2} (x) + 4 sec (x) - 4

= 3 sec^{2} (x) + 4 sec (x) - 4

= 3 sec^{2} (x) + 4 sec (x) - 4

- 4 + 3 sec^{2} (x) + 4 sec (x) = 0

Löse mit Substitution

- 4 + 3 sec^{2} (x) + 4 sec (x) = 0

Angenommen:

sec (x) = u

- 4 + 3 u^{2} + 4 u = 0

- 4 + 3 u^{2} + 4 u = 0 : u = \frac{2}{3}, u = - 2

- 4 + 3 u^{2} + 4 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

3 u^{2} + 4 u - 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

3 u^{2} + 4 u - 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 3, b = 4, c = - 4

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 4 )}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 4 )}{2 \cdot 3}

4^{2} - 4 \cdot 3 (- 4) = 8

4^{2} - 4 \cdot 3 (- 4)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 4 = 48

= 4^{2} + 48

4^{2} = 16

= 16 + 48

Addiere die Zahlen:

16 + 48 = 64

= 64

Faktorisiere die Zahl:

64 = 8^{2}

= 8^{2}

Wende Radikal Regel an:

8^{2} = 8

= 8

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 8}{2 \cdot 3}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 4 + 8}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- 4 - 8}{2 \cdot 3}

u = \frac{- 4 + 8}{2 \cdot 3} : \frac{2}{3}

\frac{- 4 + 8}{2 \cdot 3}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 4 + 8 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{4}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2}{3}

u = \frac{- 4 - 8}{2 \cdot 3} : - 2

\frac{- 4 - 8}{2 \cdot 3}

Subtrahiere die Zahlen:

- 4 - 8 = - 12

= \frac{- 12}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 12}{6}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{12}{6}

Teile die Zahlen:

\frac{12}{6} = 2

= - 2

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{2}{3}, u = - 2

Setze in

u = sec (x)

ein

sec (x) = \frac{2}{3}, sec (x) = - 2

sec (x) = \frac{2}{3}, sec (x) = - 2

sec (x) = \frac{2}{3} :

Keine Lösung

sec (x) = \frac{2}{3}

sec (x) \leq - 1 or sec (x) \geq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

sec (x) = - 2 : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

sec (x) = - 2

Allgemeine Lösung für

sec (x) = - 2

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sec(x+10)=5.759

cos(3x+pi/4)=(sqrt(3))/2

tan(θ)=(3sqrt(3))/3

cos(2x)=sqrt(1-sin^2(2x)),0<= x<= 2pi

sqrt(2)=sec(x)tan(x)