English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

3sin(x)+5cos(x)=4

פתרון

3 sin (x) + 5 cos (x) = 4

פתרון

x = 1.35524 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.27440 \dots + 2 πn

מעלות

x = 77.64989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 344.27761 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

צעדי פתרון

3 sin (x) + 5 cos (x) = 4

משני האגפים

5 cos (x)

החסר

3 sin (x) = 4 - 5 cos (x)

העלה בריבוע את שני האגפים

(3 sin (x))^{2} = (4 - 5 cos (x))^{2}

משני האגפים

(4 - 5 cos (x))^{2}

החסר

9 sin^{2} (x) - 16 + 40 cos (x) - 25 cos^{2} (x) = 0

Rewrite using trig identities

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 sin^{2} (x)

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:הפעל זהות פיטגורית

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

פשט את:

40 cos (x) - 34 cos^{2} (x) - 7

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

9 (1 - cos^{2} (x))

הרחב את:

9 - 9 cos^{2} (x)

9 (1 - cos^{2} (x))

a (b - c) = ab - a c

: פתח סוגריים בעזרת

a = 9, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 9 \cdot 1 - 9 cos^{2} (x)

9 \cdot 1 = 9 :

הכפל את המספרים

= 9 - 9 cos^{2} (x)

= - 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

פשט את:

40 cos (x) - 34 cos^{2} (x) - 7

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

קבץ ביטויים דומים יחד

= - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) - 9 cos^{2} (x) - 16 + 9

- 25 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) = - 34 cos^{2} (x) :

חבר איברים דומים

= - 34 cos^{2} (x) + 40 cos (x) - 16 + 9

- 16 + 9 = - 7 :

חסר/חבר את המספרים

= 40 cos (x) - 34 cos^{2} (x) - 7

= 40 cos (x) - 34 cos^{2} (x) - 7

= 40 cos (x) - 34 cos^{2} (x) - 7

- 7 - 34 cos^{2} (x) + 40 cos (x) = 0

בעזרת שיטת ההצבה

- 7 - 34 cos^{2} (x) + 40 cos (x) = 0

cos (x) = u :

נניח ש

- 7 - 34 u^{2} + 40 u = 0

- 7 - 34 u^{2} + 40 u = 0 : u = \frac{20 - 9 2}{34}, u = \frac{20 + 9 2}{34}

- 7 - 34 u^{2} + 40 u = 0

a x^{2} + b x + c = 0

כתוב בצורה הסטנדרטית

- 34 u^{2} + 40 u - 7 = 0

פתור בעזרת הנוסחה הריבועית

- 34 u^{2} + 40 u - 7 = 0

הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית

a = - 34, b = 40, c = - 7

עבור

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 ( - 34 ) ( - 7 )}{2 ( - 34 )}

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 ( - 34 ) ( - 7 )}{2 ( - 34 )}

4 0^{2} - 4 (- 34) (- 7) = 182

4 0^{2} - 4 (- 34) (- 7)

- (- a) = a

הפעל את החוק

= 4 0^{2} - 4 \cdot 34 \cdot 7

4 \cdot 34 \cdot 7 = 952 :

הכפל את המספרים

= 4 0^{2} - 952

4 0^{2} = 1600

= 1600 - 952

1600 - 952 = 648 :

חסר את המספרים

= 648

648

פירוק לגורמים ראשוניים של:

2^{3} \cdot 3^{4}

648

648 = 324 \cdot 2, 2

מתחלק ב

648

= 2 \cdot 324

324 = 162 \cdot 2, 2

מתחלק ב

324

= 2 \cdot 2 \cdot 162

162 = 81 \cdot 2, 2

מתחלק ב

162

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 81

81 = 27 \cdot 3, 3

מתחלק ב

81

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 27

27 = 9 \cdot 3, 3

מתחלק ב

27

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 9

9 = 3 \cdot 3, 3

מתחלק ב

9

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

מורכב ממספרים ראשוניים בלבד, לכו פירוק נוסף אינו אפשרי

2, 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3^{4}

= 3^{4} \cdot 2^{3}

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

:הפעל את חוק החזקות

= 3^{4} \cdot 2^{2} \cdot 2

:הפעל את חוק השורשים

= 2 2^{2} 3^{4}

:הפעל את חוק השורשים

2^{2} = 2

= 22 3^{4}

:הפעל את חוק השורשים

3^{4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^{2}

= 3^{2} \cdot 22

פשט

= 182

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 18 2}{2 ( - 34 )}

Separate the solutions

u_{1} = \frac{- 40 + 18 2}{2 ( - 34 )}, u_{2} = \frac{- 40 - 18 2}{2 ( - 34 )}

u = \frac{- 40 + 18 2}{2 ( - 34 )} : \frac{20 - 9 2}{34}

\frac{- 40 + 18 2}{2 ( - 34 )}

(- a) = - a

:הסר סוגריים

= \frac{- 40 + 18 2}{- 2 \cdot 34}

2 \cdot 34 = 68 :

הכפל את המספרים

= \frac{- 40 + 18 2}{- 68}

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

- 40 + 182 = - (40 - 182)

= \frac{40 - 18 2}{68}

40 - 182

פרק לגורמים את:

2 (20 - 92)

40 - 182

כתוב מחדש בתור

= 2 \cdot 20 - 2 \cdot 92

2

הוצא את הגורם המשותף

= 2 (20 - 92)

= \frac{2 ( 20 - 9 2 )}{68}

2 :

בטל את הגורמים המשותפים

= \frac{20 - 9 2}{34}

u = \frac{- 40 - 18 2}{2 ( - 34 )} : \frac{20 + 9 2}{34}

\frac{- 40 - 18 2}{2 ( - 34 )}

(- a) = - a

:הסר סוגריים

= \frac{- 40 - 18 2}{- 2 \cdot 34}

2 \cdot 34 = 68 :

הכפל את המספרים

= \frac{- 40 - 18 2}{- 68}

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

- 40 - 182 = - (40 + 182)

= \frac{40 + 18 2}{68}

40 + 182

פרק לגורמים את:

2 (20 + 92)

40 + 182

כתוב מחדש בתור

= 2 \cdot 20 + 2 \cdot 92

2

הוצא את הגורם המשותף

= 2 (20 + 92)

= \frac{2 ( 20 + 9 2 )}{68}

2 :

בטל את הגורמים המשותפים

= \frac{20 + 9 2}{34}

הפתרונות למשוואה הריבועית הם

u = \frac{20 - 9 2}{34}, u = \frac{20 + 9 2}{34}

u = cos (x)

החלף בחזרה

cos (x) = \frac{20 - 9 2}{34}, cos (x) = \frac{20 + 9 2}{34}

cos (x) = \frac{20 - 9 2}{34}, cos (x) = \frac{20 + 9 2}{34}

cos (x) = \frac{20 - 9 2}{34} : x = arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 - 9 2}{34}

Apply trig inverse properties

cos (x) = \frac{20 - 9 2}{34}

cos (x) = \frac{20 - 9 2}{34} :

פתרונות כלליים עבור

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 + 9 2}{34} : x = arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 + 9 2}{34}

Apply trig inverse properties

cos (x) = \frac{20 + 9 2}{34}

cos (x) = \frac{20 + 9 2}{34} :

פתרונות כלליים עבור

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn

אחד את הפתרונות

x = arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn, x = arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn

וודא את נכונות הפתרונות על ידי הצבתם במשוואה המקורית

כדי לבדוק את נכונותם

3 sin (x) + 5 cos (x) = 4

הצב את הפתרונות ב

מחק את הפתרונות שמביאים לביטוי שקר

arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn

בדוק את הפתרון:

נכון

arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn

n = 1

החלף את

arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 π 1

x = arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 π 1

הצב

, 3 sin (x) + 5 cos (x) = 4

עבור

3 sin (arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 π 1) + 5 cos (arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 π 1) = 4

פשט

4 = 4

\Rightarrow נכון

2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn

בדוק את הפתרון:

לא נכון

2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn

n = 1

החלף את

2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 π 1

x = 2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 π 1

הצב

, 3 sin (x) + 5 cos (x) = 4

עבור

3 sin (2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 π 1) + 5 cos (2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 π 1) = 4

פשט

- 1.86115 \dots = 4

\Rightarrow לא נכון

arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn

בדוק את הפתרון:

לא נכון

arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn

n = 1

החלף את

arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 π 1

x = arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 π 1

הצב

, 3 sin (x) + 5 cos (x) = 4

עבור

3 sin (arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 π 1) + 5 cos (arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 π 1) = 4

פשט

5.62585 \dots = 4

\Rightarrow לא נכון

2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn

בדוק את הפתרון:

נכון

2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn

n = 1

החלף את

2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 π 1

x = 2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 π 1

הצב

, 3 sin (x) + 5 cos (x) = 4

עבור

3 sin (2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 π 1) + 5 cos (2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 π 1) = 4

פשט

4 = 4

\Rightarrow נכון

x = arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn

הראה פיתרון ביצוג עשרוני

x = 1.35524 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.27440 \dots + 2 πn

גרף

דוגמאות פופולריות

3+2cos(x)=4cos(x/2)

-sqrt(3)sin(x)=cos(x)

2csc^2(x)=5-5cot(x)

2sin^2(x)=3sin(x)

5+2sin(x)-7=0