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Beliebt Trigonometrie >

sqrt(6)sin(x)-sqrt(2)cos(x)=sqrt(2)

Lösung

6 sin (x) - 2 cos (x) = 2

Lösung

x = π + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn

Grad

x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

6 sin (x) - 2 cos (x) = 2

Füge

2 cos (x)

zu beiden Seiten hinzu

6 sin (x) = 2 + 2 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(6 sin (x))^{2} = (2 + 2 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(2 + 2 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

6 sin^{2} (x) - 2 - 4 cos (x) - 2 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 2 - 2 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 6 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 2 - 2 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 6 (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

- 2 - 2 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 6 (1 - cos^{2} (x)) : - 8 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 4

- 2 - 2 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 6 (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

6 (1 - cos^{2} (x)) : 6 - 6 cos^{2} (x)

6 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 6, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 6 \cdot 1 - 6 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 1 = 6

= 6 - 6 cos^{2} (x)

= - 2 - 2 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 6 - 6 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 2 - 2 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 6 - 6 cos^{2} (x) : - 8 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 4

- 2 - 2 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 6 - 6 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 2 cos^{2} (x) - 4 cos (x) - 6 cos^{2} (x) - 2 + 6

Addiere gleiche Elemente:

- 2 cos^{2} (x) - 6 cos^{2} (x) = - 8 cos^{2} (x)

= - 8 cos^{2} (x) - 4 cos (x) - 2 + 6

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 2 + 6 = 4

= - 8 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 4

= - 8 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 4

= - 8 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 4

4 - 4 cos (x) - 8 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

4 - 4 cos (x) - 8 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

4 - 4 u - 8 u^{2} = 0

4 - 4 u - 8 u^{2} = 0 : u = - 1, u = \frac{1}{2}

4 - 4 u - 8 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 8 u^{2} - 4 u + 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 8 u^{2} - 4 u + 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 8, b = - 4, c = 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 8 ) \cdot 4}{2 ( - 8 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 8 ) \cdot 4}{2 ( - 8 )}

(- 4)^{2} - 4 (- 8) \cdot 4 = 12

(- 4)^{2} - 4 (- 8) \cdot 4

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 4

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 8 \cdot 4 = 128

= 4^{2} + 128

4^{2} = 16

= 16 + 128

Addiere die Zahlen:

16 + 128 = 144

= 144

Faktorisiere die Zahl:

144 = 1 2^{2}

= 1 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

1 2^{2} = 12

= 12

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 12}{2 ( - 8 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 12}{2 ( - 8 )}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 12}{2 ( - 8 )}

u = \frac{- ( - 4 ) + 12}{2 ( - 8 )} : - 1

\frac{- ( - 4 ) + 12}{2 ( - 8 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 + 12}{- 2 \cdot 8}

Addiere die Zahlen:

4 + 12 = 16

= \frac{16}{- 2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{16}{- 16}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{16}{16}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 4 ) - 12}{2 ( - 8 )} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 4 ) - 12}{2 ( - 8 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 - 12}{- 2 \cdot 8}

Subtrahiere die Zahlen:

4 - 12 = - 8

= \frac{- 8}{- 2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 8}{- 16}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8}{16}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - 1, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = - 1, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = π + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

6 sin (x) - 2 cos (x) = 2

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

π + 2 πn :

Wahr

π + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + 2 π 1

Setze

x = π + 2 π 1

6 sin (x) - 2 cos (x) = 2

ein, um zu lösen

6 sin (π + 2 π 1) - 2 cos (π + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

1.41421 \dots = 1.41421 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{3} + 2 πn :

Wahr

\frac{π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{3} + 2 π 1

Setze

x = \frac{π}{3} + 2 π 1

6 sin (x) - 2 cos (x) = 2

ein, um zu lösen

6 sin (\frac{π}{3} + 2 π 1) - 2 cos (\frac{π}{3} + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

1.41421 \dots = 1.41421 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{5 π}{3} + 2 πn :

Falsch

\frac{5 π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{5 π}{3} + 2 π 1

Setze

x = \frac{5 π}{3} + 2 π 1

6 sin (x) - 2 cos (x) = 2

ein, um zu lösen

6 sin (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) - 2 cos (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

- 2.82842 \dots = 1.41421 \dots

\Rightarrow Falsch

x = π + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

3-3sin(x)=6cos^2(x)

cos(x)= 60/61 ,tan(x)= 11/60

3sqrt(2)cos(x)+2=-1

4=tan^2(45+x/2)

2sin(5x)-1=0