解答
tan(5x)⋅cot(x+40∘)=1
解答
x=2180∘n+10∘,x=55∘+2180∘n
+1
弧度
x=18π+2πn,x=3611π+2πn求解步骤
tan(5x)cot(x+40∘)=1
两边减去 1tan(5x)cot(x+40∘)−1=0
用 sin, cos 表示
−1+cot(40∘+x)tan(5x)
使用基本三角恒等式: cot(x)=sin(x)cos(x)=−1+sin(40∘+x)cos(40∘+x)tan(5x)
使用基本三角恒等式: tan(x)=cos(x)sin(x)=−1+sin(40∘+x)cos(40∘+x)⋅cos(5x)sin(5x)
化简 −1+sin(40∘+x)cos(40∘+x)⋅cos(5x)sin(5x):sin(9360∘+9x)cos(5x)−sin(9360∘+9x)cos(5x)+cos(9360∘+9x)sin(5x)
−1+sin(40∘+x)cos(40∘+x)⋅cos(5x)sin(5x)
sin(40∘+x)cos(40∘+x)⋅cos(5x)sin(5x)=sin(9360∘+9x)cos(5x)cos(9360∘+9x)sin(5x)
sin(40∘+x)cos(40∘+x)⋅cos(5x)sin(5x)
分式相乘: ba⋅dc=b⋅da⋅c=sin(40∘+x)cos(5x)cos(40∘+x)sin(5x)
化简 40∘+x:9360∘+9x
40∘+x
将项转换为分式: x=9x9=40∘+9x⋅9
因为分母相等，所以合并分式: ca±cb=ca±b=9360∘+x⋅9
=sin(99x+360∘)cos(5x)cos(x+40∘)sin(5x)
化简 40∘+x:9360∘+9x
40∘+x
将项转换为分式: x=9x9=40∘+9x⋅9
因为分母相等，所以合并分式: ca±cb=ca±b=9360∘+x⋅9
=sin(99x+360∘)cos(5x)cos(99x+360∘)sin(5x)
=−1+sin(99x+360∘)cos(5x)cos(99x+360∘)sin(5x)
将项转换为分式: 1=sin(9360∘+x9)cos(5x)1sin(9360∘+x9)cos(5x)=−sin(9360∘+x⋅9)cos(5x)1⋅sin(9360∘+x⋅9)cos(5x)+sin(9360∘+x⋅9)cos(5x)cos(9360∘+x⋅9)sin(5x)
因为分母相等，所以合并分式: ca±cb=ca±b=sin(9360∘+x⋅9)cos(5x)−1⋅sin(9360∘+x⋅9)cos(5x)+cos(9360∘+x⋅9)sin(5x)
乘以:1⋅sin(9360∘+x⋅9)=sin(9360∘+x⋅9)=sin(99x+360∘)cos(5x)−sin(99x+360∘)cos(5x)+cos(99x+360∘)sin(5x)
=sin(9360∘+9x)cos(5x)−sin(9360∘+9x)cos(5x)+cos(9360∘+9x)sin(5x)
cos(5x)sin(9360∘+9x)−cos(5x)sin(9360∘+9x)+cos(9360∘+9x)sin(5x)=0
g(x)f(x)=0⇒f(x)=0−cos(5x)sin(9360∘+9x)+cos(9360∘+9x)sin(5x)=0
使用三角恒等式改写
−cos(5x)sin(9360∘+9x)+cos(9360∘+9x)sin(5x)
使用角差恒等式: sin(s)cos(t)−cos(s)sin(t)=sin(s−t)=sin(5x−9360∘+9x)
sin(5x−9360∘+9x)=0
sin(5x−9360∘+9x)=0的通解
sin(x) 周期表（周期为 360∘n"）：
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘sin(x)02122231232221x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘sin(x)0−21−22−23−1−23−22−21
5x−9360∘+9x=0+360∘n,5x−9360∘+9x=180∘+360∘n
5x−9360∘+9x=0+360∘n,5x−9360∘+9x=180∘+360∘n
解 5x−9360∘+9x=0+360∘n:x=2180∘n+10∘
5x−9360∘+9x=0+360∘n
0+360∘n=360∘n5x−9360∘+9x=360∘n
在两边乘以 9
5x−9360∘+9x=360∘n
在两边乘以 95x⋅9−9360∘+9x⋅9=360∘n⋅9
化简
5x⋅9−9360∘+9x⋅9=360∘n⋅9
化简 5x⋅9:45x
5x⋅9
数字相乘:5⋅9=45=45x
化简 −9360∘+9x⋅9:−(360∘+9x)
−9360∘+9x⋅9
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=−9(360∘+9x)⋅9
约分:9=−(9x+360∘)
化简 360∘n⋅9:3240∘n
360∘n⋅9
数字相乘:2⋅9=18=3240∘n
45x−(360∘+9x)=3240∘n
45x−(360∘+9x)=3240∘n
45x−(360∘+9x)=3240∘n
展开 45x−(360∘+9x):36x−360∘
45x−(360∘+9x)
−(360∘+9x):−360∘−9x
−(360∘+9x)
打开括号=−(360∘)−(9x)
使用加减运算法则+(−a)=−a=−360∘−9x
=45x−360∘−9x
化简 45x−360∘−9x:36x−360∘
45x−360∘−9x
对同类项分组=45x−9x−360∘
同类项相加:45x−9x=36x=36x−360∘
=36x−360∘
36x−360∘=3240∘n
将 360∘到右边
36x−360∘=3240∘n
两边加上 360∘36x−360∘+360∘=3240∘n+360∘
化简36x=3240∘n+360∘
36x=3240∘n+360∘
两边除以 36
36x=3240∘n+360∘
两边除以 363636x=363240∘n+10∘
化简
3636x=363240∘n+10∘
化简 3636x:x
3636x
数字相除:3636=1=x
化简 363240∘n+10∘:2180∘n+10∘
363240∘n+10∘
消掉 363240∘n:2180∘n
363240∘n
约分:18=2180∘n
=2180∘n+10∘
消掉 10∘:10∘
10∘
约分:2=10∘
=2180∘n+10∘
x=2180∘n+10∘
x=2180∘n+10∘
x=2180∘n+10∘
解 5x−9360∘+9x=180∘+360∘n:x=55∘+2180∘n
5x−9360∘+9x=180∘+360∘n
在两边乘以 9
5x−9360∘+9x=180∘+360∘n
在两边乘以 95x⋅9−9360∘+9x⋅9=180∘9+360∘n⋅9
化简
5x⋅9−9360∘+9x⋅9=180∘9+360∘n⋅9
化简 5x⋅9:45x
5x⋅9
数字相乘:5⋅9=45=45x
化简 −9360∘+9x⋅9:−(360∘+9x)
−9360∘+9x⋅9
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=−9(360∘+9x)⋅9
约分:9=−(9x+360∘)
化简 180∘9:1620∘
180∘9
使用交换律:180∘9=1620∘1620∘
化简 360∘n⋅9:3240∘n
360∘n⋅9
数字相乘:2⋅9=18=3240∘n
45x−(360∘+9x)=1620∘+3240∘n
45x−(360∘+9x)=1620∘+3240∘n
45x−(360∘+9x)=1620∘+3240∘n
展开 45x−(360∘+9x):36x−360∘
45x−(360∘+9x)
−(360∘+9x):−360∘−9x
−(360∘+9x)
打开括号=−(360∘)−(9x)
使用加减运算法则+(−a)=−a=−360∘−9x
=45x−360∘−9x
化简 45x−360∘−9x:36x−360∘
45x−360∘−9x
对同类项分组=45x−9x−360∘
同类项相加:45x−9x=36x=36x−360∘
=36x−360∘
36x−360∘=1620∘+3240∘n
将 360∘到右边
36x−360∘=1620∘+3240∘n
两边加上 360∘36x−360∘+360∘=1620∘+3240∘n+360∘
化简36x=1980∘+3240∘n
36x=1980∘+3240∘n
两边除以 36
36x=1980∘+3240∘n
两边除以 363636x=55∘+363240∘n
化简x=55∘+2180∘n
x=55∘+2180∘n
x=2180∘n+10∘,x=55∘+2180∘n