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Beliebt Trigonometrie >

3sinh(x)+cosh(x)=-2

Lösung

3 sinh (x) + cosh (x) = - 2

Lösung

x = ln (\frac{- 1 + 3}{2})

Grad

x = - 57.58526 \dots^{\circ}

Schritte zur Lösung

3 sinh (x) + cosh (x) = - 2

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

3 sinh (x) + cosh (x) = - 2

Hyperbolische Identität anwenden:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} + cosh (x) = - 2

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} + \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = - 2

3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} + \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = - 2

3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} + \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = - 2 : x = ln (\frac{- 1 + 3}{2})

3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} + \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = - 2

Multipliziere beide Seiten mit

2

3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} \cdot 2 + \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot 2 = - 2 \cdot 2

Vereinfache

3 (e^{x} - e^{- x}) + e^{x} + e^{- x} = - 4

Wende Exponentenregel an

3 (e^{x} - e^{- x}) + e^{x} + e^{- x} = - 4

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

3 (e^{x} - (e^{x})^{- 1}) + e^{x} + (e^{x})^{- 1} = - 4

3 (e^{x} - (e^{x})^{- 1}) + e^{x} + (e^{x})^{- 1} = - 4

Schreibe die Gleichung um mit

e^{x} = u

3 (u - (u)^{- 1}) + u + (u)^{- 1} = - 4

Löse

3 (u - u^{- 1}) + u + u^{- 1} = - 4 : u = \frac{- 1 + 3}{2}, u = - \frac{1 + 3}{2}

3 (u - u^{- 1}) + u + u^{- 1} = - 4

Fasse zusammen

3 (u - \frac{1}{u}) + u + \frac{1}{u} = - 4

Multipliziere beide Seiten mit

u

3 (u - \frac{1}{u}) + u + \frac{1}{u} = - 4

Multipliziere beide Seiten mit

u

3 (u - \frac{1}{u}) u + uu + \frac{1}{u} u = - 4 u

Vereinfache

3 (u - \frac{1}{u}) u + uu + \frac{1}{u} u = - 4 u

Vereinfache

uu : u^{2}

uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= u^{2}

Vereinfache

\frac{1}{u} u : 1

\frac{1}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 1

3 (u - \frac{1}{u}) u + u^{2} + 1 = - 4 u

3 (u - \frac{1}{u}) u + u^{2} + 1 = - 4 u

3 (u - \frac{1}{u}) u + u^{2} + 1 = - 4 u

Schreibe

3 (u - \frac{1}{u}) u + u^{2} + 1

um:

4 u^{2} - 2

3 (u - \frac{1}{u}) u + u^{2} + 1

= 3 u (u - \frac{1}{u}) + u^{2} + 1

Multipliziere aus

3 u (u - \frac{1}{u}) : 3 u^{2} - 3

3 u (u - \frac{1}{u})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 3 u, b = u, c = \frac{1}{u}

= 3 uu - 3 u \frac{1}{u}

= 3 uu - 3 \cdot \frac{1}{u} u

Vereinfache

3 uu - 3 \cdot \frac{1}{u} u : 3 u^{2} - 3

3 uu - 3 \cdot \frac{1}{u} u

3 uu = 3 u^{2}

3 uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 3 u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 3 u^{2}

3 \cdot \frac{1}{u} u = 3

3 \cdot \frac{1}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3 u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 1 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 3 = 3

= 3

= 3 u^{2} - 3

= 3 u^{2} - 3

= 3 u^{2} - 3 + u^{2} + 1

Vereinfache

3 u^{2} - 3 + u^{2} + 1 : 4 u^{2} - 2

3 u^{2} - 3 + u^{2} + 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= 3 u^{2} + u^{2} - 3 + 1

Addiere gleiche Elemente:

3 u^{2} + u^{2} = 4 u^{2}

= 4 u^{2} - 3 + 1

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 3 + 1 = - 2

= 4 u^{2} - 2

= 4 u^{2} - 2

4 u^{2} - 2 = - 4 u

Löse

4 u^{2} - 2 = - 4 u : u = \frac{- 1 + 3}{2}, u = - \frac{1 + 3}{2}

4 u^{2} - 2 = - 4 u

Verschiebe

4 u

auf die linke Seite

4 u^{2} - 2 = - 4 u

Füge

4 u

zu beiden Seiten hinzu

4 u^{2} - 2 + 4 u = - 4 u + 4 u

Vereinfache

4 u^{2} - 2 + 4 u = 0

4 u^{2} - 2 + 4 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} + 4 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 u^{2} + 4 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = 4, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

4^{2} - 4 \cdot 4 (- 2) = 43

4^{2} - 4 \cdot 4 (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 4^{2} + 32

4^{2} = 16

= 16 + 32

Addiere die Zahlen:

16 + 32 = 48

= 48

Primfaktorzerlegung von

48 : 2^{4} \cdot 3

48

48

ist durch

248 = 24 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 24

24

ist durch

224 = 12 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{4} \cdot 3

= 2^{4} \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 3 2^{4}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 3

Fasse zusammen

= 43

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 3}{2 \cdot 4}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 4 + 4 3}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 4 - 4 3}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 4 + 4 3}{2 \cdot 4} : \frac{- 1 + 3}{2}

\frac{- 4 + 4 3}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4 + 4 3}{8}

Faktorisiere

- 4 + 43 : 4 (- 1 + 3)

- 4 + 43

Schreibe um

= - 4 \cdot 1 + 43

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (- 1 + 3)

= \frac{4 ( - 1 + 3 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{- 1 + 3}{2}

u = \frac{- 4 - 4 3}{2 \cdot 4} : - \frac{1 + 3}{2}

\frac{- 4 - 4 3}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4 - 4 3}{8}

Faktorisiere

- 4 - 43 : - 4 (1 + 3)

- 4 - 43

Schreibe um

= - 4 \cdot 1 - 43

Klammere gleiche Terme aus

4

= - 4 (1 + 3)

= - \frac{4 ( 1 + 3 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{1 + 3}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{- 1 + 3}{2}, u = - \frac{1 + 3}{2}

u = \frac{- 1 + 3}{2}, u = - \frac{1 + 3}{2}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

3 (u - u^{- 1}) + u + u^{- 1}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = \frac{- 1 + 3}{2}, u = - \frac{1 + 3}{2}

u = \frac{- 1 + 3}{2}, u = - \frac{1 + 3}{2}

Setze

u = e^{x} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

e^{x} = \frac{- 1 + 3}{2} : x = ln (\frac{- 1 + 3}{2})

e^{x} = \frac{- 1 + 3}{2}

Wende Exponentenregel an

e^{x} = \frac{- 1 + 3}{2}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{- 1 + 3}{2})

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{- 1 + 3}{2})

x = ln (\frac{- 1 + 3}{2})

Löse

e^{x} = - \frac{1 + 3}{2} :

Keine Lösung für

x \in R

e^{x} = - \frac{1 + 3}{2}

a^{f (x)}

darf nicht null oder negativ sein

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

x = ln (\frac{- 1 + 3}{2})

x = ln (\frac{- 1 + 3}{2})

Graph

Beliebte Beispiele

cos(2+3*x)-cos(-0.5)=0

cos (2 + 3 \cdot x) - cos (- 0.5) = 0

2cos(θ)=1,0<= θ<= 2pi

2 cos (θ) = 1, 0 \leq θ \leq 2 π

arctan(x+1)+arctan(x-1)=arctan(8/31)

arctan (x + 1) + arctan (x - 1) = arctan (\frac{8}{31})

4cos(2θ)+19=-22cos(θ)+6

4 cos (2 θ) + 19 = - 22 cos (θ) + 6

8cos^2(x)+16cos(x)+8=0

8 cos^{2} (x) + 16 cos (x) + 8 = 0