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beweisen (sin(2θ)+sin(θ))/(cos(2θ)+cos(θ)+1)=tan(θ)

Lösung

beweisen

\frac{sin ( 2 θ ) + sin ( θ )}{cos ( 2 θ ) + cos ( θ ) + 1} = tan (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sin ( 2 θ ) + sin ( θ )}{cos ( 2 θ ) + cos ( θ ) + 1} = tan (θ)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sin ( 2 θ ) + sin ( θ )}{cos ( 2 θ ) + cos ( θ ) + 1}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ( 2 θ ) + sin ( θ )}{cos ( 2 θ ) + cos ( θ ) + 1}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= \frac{sin ( 2 θ ) + sin ( θ )}{2 cos ^{2} ( θ ) - 1 + cos ( θ ) + 1}

2 cos^{2} (θ) - 1 + cos (θ) + 1 = 2 cos^{2} (θ) + cos (θ)

2 cos^{2} (θ) - 1 + cos (θ) + 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (θ) + cos (θ) - 1 + 1

- 1 + 1 = 0

= 2 cos^{2} (θ) + cos (θ)

= \frac{sin ( 2 θ ) + sin ( θ )}{2 cos ^{2} ( θ ) + cos ( θ )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{2 sin ( θ ) cos ( θ ) + sin ( θ )}{2 cos ^{2} ( θ ) + cos ( θ )}

Vereinfache

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ ) + sin ( θ )}{2 cos ^{2} ( θ ) + cos ( θ )} : \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ ) + sin ( θ )}{2 cos ^{2} ( θ ) + cos ( θ )}

Klammere gleiche Terme aus

sin (θ)

= \frac{sin ( θ ) ( 2 cos ( θ ) + 1 )}{2 cos ^{2} ( θ ) + cos ( θ )}

Faktorisiere

2 cos^{2} (θ) + cos (θ) : cos (θ) (2 cos (θ) + 1)

2 cos^{2} (θ) + cos (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{2} (θ) = cos (θ) cos (θ)

= 2 cos (θ) cos (θ) + cos (θ)

Klammere gleiche Terme aus

cos (θ)

= cos (θ) (2 cos (θ) + 1)

= \frac{sin ( θ ) ( 2 cos ( θ ) + 1 )}{cos ( θ ) ( 2 cos ( θ ) + 1 )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2 cos (θ) + 1

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 1 + (tan (a))^{2} = 1 + tan^{2} (a)

p ro v e 4 cos^{2} (θ) + 4 sin^{2} (θ) = 4

p ro v e \frac{- cos ^{2} ( 2 θ )}{2} = \frac{- 1 - cos ( 4 θ )}{8}

p ro v e \frac{1 - cos ( x )}{- 1 + sec ( x )} = cos (x)

p ro v e 2 sin (y) cos (y) sec (2 y) = tan (2 y)