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Beliebt Trigonometrie >

beweisen tan(x)=tan(x)csc^2(x)+cot(-x)

Lösung

beweisen

tan (x) = tan (x) csc^{2} (x) + cot (- x)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

tan (x) = tan (x) csc^{2} (x) + cot (- x)

Manipuliere die linke Seite

tan (x)

Drücke mit sin, cos aus

tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

tan (x) csc^{2} (x) + cot (- x)

Verwende die negative Winkelidentität:

cot (- x) = - cot (x)

= - cot (x) + csc^{2} (x) tan (x)

Drücke mit sin, cos aus

- cot (x) + csc^{2} (x) tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= - \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + csc^{2} (x) tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + (\frac{1}{sin ( x )})^{2} tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + (\frac{1}{sin ( x )})^{2} \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Vereinfache

- \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + (\frac{1}{sin ( x )})^{2} \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) cos ( x )}

- \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + (\frac{1}{sin ( x )})^{2} \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{1}{sin ( x ) cos ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) ( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}{cos ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{1}{s i n ^{2} ( x )} sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere

sin (x) \frac{1}{sin ^{2} ( x )} : \frac{1}{sin ( x )}

sin (x) \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{\frac{1}{s i n ( x )}}{cos ( x )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{sin ( x ) cos ( x )}

= - \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x ) cos ( x )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

sin (x), sin (x) cos (x) : sin (x) cos (x)

sin (x), sin (x) cos (x)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

sin (x)

oder

sin (x) cos (x)

auftauchen.

= sin (x) cos (x)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

sin (x) cos (x)

Für

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos (x)

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= - \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} + \frac{1}{sin ( x ) cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- cot (x) + csc^{2} (x) tan (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= - cot (x) + csc^{2} (x) tan (x)

= - cot (x) + csc^{2} (x) tan (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen tan(8x)=(2tan(x))/(1-tan^2(x))

p ro v e tan (8 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

beweisen (cos(x)sin(x))/(sin(x)cos(x))=1

p ro v e \frac{cos ( x ) sin ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} = 1

beweisen 1/(cot^2(x))+sec(x)cos(x)=1

p ro v e \frac{1}{cot ^{2} ( x )} + sec (x) cos (x) = 1

beweisen 3-3(cos(x)-sin(x))^2=-3cos(2x)

p ro v e 3 - 3 (cos (x) - sin (x))^{2} = - 3 cos (2 x)

beweisen csc^2(x)+tan^2(x)-1=tan^2(x)

p ro v e csc^{2} (x) + tan^{2} (x) - 1 = tan^{2} (x)