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Popular Trigonometría >

tan(x)>= sin(2x)

Solución

tan (x) \geq sin (2 x)

Solución

\frac{π}{4} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn or \frac{3 π}{4} + πn \leq x \leq π + πn

Notación de intervalos

[\frac{π}{4} + πn, \frac{π}{2} + πn) \cup [\frac{3 π}{4} + πn, π + πn]

Decimal

0.78539 \dots + πn \leq x < 1.57079 \dots + πn or 2.35619 \dots + πn \leq x \leq 3.14159 \dots + πn

Pasos de solución

tan (x) \geq sin (2 x)

Desplace

sin (2 x)

a la izquierda

tan (x) \geq sin (2 x)

Restar

sin (2 x)

de ambos lados

tan (x) - sin (2 x) \geq sin (2 x) - sin (2 x)

tan (x) - sin (2 x) \geq 0

tan (x) - sin (2 x) \geq 0

Periodicidad de

tan (x) - sin (2 x) : π

La periodicidad combinada de la suma de funciones periódicas es el mínimo común múltiplo de los períodos

tan (x), sin (2 x)

Periodicidad de

tan (x) : π

La periodicidad de

tan (x)

π

= π

Periodicidad de

sin (2 x) : π

La periodicidad de

a \cdot sin (b x + c) + d = \frac{periodicidad de sin ( x )}{∣ b ∣}

La periodicidad de

sin (x)

2 π

= \frac{2 π}{∣ 2 ∣}

Simplificar

= π

Combinar períodos:

π, π

= π

Expresar con seno, coseno

tan (x) - sin (2 x) \geq 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - sin (2 x) \geq 0

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - sin (2 x) \geq 0

Simplificar

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - sin (2 x) : \frac{sin ( x ) - sin ( 2 x ) cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - sin (2 x)

Convertir a fracción:

sin (2 x) = \frac{sin ( 2 x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{sin ( 2 x ) cos ( x )}{cos ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) - sin ( 2 x ) cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( x ) - sin ( 2 x ) cos ( x )}{cos ( x )} \geq 0

Encontrar los ceros y puntos indefinidos de

\frac{sin ( x ) - sin ( 2 x ) cos ( x )}{cos ( x )}

para

0 \leq x < π

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

\frac{sin ( x ) - sin ( 2 x ) cos ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{sin ( x ) - sin ( 2 x ) cos ( x )}{cos ( x )} = 0, 0 \leq x < π : x = 0, x = \frac{3 π}{4}, x = \frac{π}{4}

\frac{sin ( x ) - sin ( 2 x ) cos ( x )}{cos ( x )} = 0, 0 \leq x < π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (x) - sin (2 x) cos (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (x) - cos (x) sin (2 x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= sin (x) - cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x)

cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) = 2 cos^{2} (x) sin (x)

cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 2 sin (x) cos^{1 + 1} (x)

Sumar:

1 + 1 = 2

= 2 sin (x) cos^{2} (x)

= sin (x) - 2 cos^{2} (x) sin (x)

sin (x) - 2 cos^{2} (x) sin (x) = 0

Factorizar

sin (x) - 2 cos^{2} (x) sin (x) : - sin (x) (2 cos (x) + 1) (2 cos (x) - 1)

sin (x) - 2 cos^{2} (x) sin (x)

Factorizar el termino común

- sin (x)

= - sin (x) (- 1 + 2 cos^{2} (x))

Factorizar

2 cos^{2} (x) - 1 : (2 cos (x) + 1) (2 cos (x) - 1)

2 cos^{2} (x) - 1

Reescribir

2 cos^{2} (x) - 1

como

(2 cos (x))^{2} - 1^{2}

2 cos^{2} (x) - 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} cos^{2} (x) - 1

Reescribir

1

como

1^{2}

= (2)^{2} cos^{2} (x) - 1^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} cos^{2} (x) = (2 cos (x))^{2}

= (2 cos (x))^{2} - 1^{2}

= (2 cos (x))^{2} - 1^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 cos (x))^{2} - 1^{2} = (2 cos (x) + 1) (2 cos (x) - 1)

= (2 cos (x) + 1) (2 cos (x) - 1)

= - sin (x) (2 cos (x) + 1) (2 cos (x) - 1)

- sin (x) (2 cos (x) + 1) (2 cos (x) - 1) = 0

Resolver cada parte por separado

sin (x) = 0 or 2 cos (x) + 1 = 0 or 2 cos (x) - 1 = 0

sin (x) = 0, 0 \leq x < π : x = 0

sin (x) = 0, 0 \leq x < π

Soluciones generales para

sin (x) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < π

x = 0

2 cos (x) + 1 = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{3 π}{4}

2 cos (x) + 1 = 0, 0 \leq x < π

Desplace

1

a la derecha

2 cos (x) + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

2 cos (x) + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 cos (x) = - 1

2 cos (x) = - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 cos (x) = - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 cos ( x )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 cos ( x )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 cos ( x )}{2} : cos (x)

\frac{2 cos ( x )}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= cos (x)

Simplificar

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Racionalizar

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

cos (x) = - \frac{2}{2}

cos (x) = - \frac{2}{2}

cos (x) = - \frac{2}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{2}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn

x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < π

x = \frac{3 π}{4}

2 cos (x) - 1 = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{4}

2 cos (x) - 1 = 0, 0 \leq x < π

Desplace

1

a la derecha

2 cos (x) - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

2 cos (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 cos (x) = 1

2 cos (x) = 1

Dividir ambos lados entre

2

2 cos (x) = 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 cos ( x )}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 cos ( x )}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 cos ( x )}{2} : cos (x)

\frac{2 cos ( x )}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= cos (x)

Simplificar

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplicar por el conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

cos (x) = \frac{2}{2}

cos (x) = \frac{2}{2}

cos (x) = \frac{2}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{2}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < π

x = \frac{π}{4}

Combinar toda las soluciones

x = 0, x = \frac{3 π}{4}, x = \frac{π}{4}

Encontrar los puntos indefinidos:

x = \frac{π}{2}

Encontrar los ceros del denominador

cos (x) = 0

Soluciones generales para

cos (x) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < π

x = \frac{π}{2}

0, \frac{π}{4}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}

Identificar los intervalos

0 < x < \frac{π}{4}, \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4} < x < π

Resumir en una tabla:

sin (x) - sin (2 x) cos (x) cos (x) \frac{s i n ( x ) - s i n ( 2 x ) c o s ( x )}{c o s ( x )} x = 0 0 + 0 0 < x < \frac{π}{4} - + - x = \frac{π}{4} 0 + 0 \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} + + + x = \frac{π}{2} + 0 Sin definir \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4} + - - x = \frac{3 π}{4} 0 - 0 \frac{3 π}{4} < x < π - - + x = π 0 - 0

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\geq 0

x = 0 or x = \frac{π}{4} or \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} or x = \frac{3 π}{4} or \frac{3 π}{4} < x < π or x = π

Mezclar intervalos sobrepuestos

x = 0 or \frac{π}{4} \leq x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} \leq x < π or x = π

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

x = 0

x = \frac{π}{4}

x = 0 or x = \frac{π}{4}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

x = 0 or x = \frac{π}{4}

\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}

x = 0 or \frac{π}{4} \leq x < \frac{π}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

x = 0 or \frac{π}{4} \leq x < \frac{π}{2}

x = \frac{3 π}{4}

x = 0 or \frac{π}{4} \leq x < \frac{π}{2} or x = \frac{3 π}{4}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

x = 0 or \frac{π}{4} \leq x < \frac{π}{2} or x = \frac{3 π}{4}

\frac{3 π}{4} < x < π

x = 0 or \frac{π}{4} \leq x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} \leq x < π

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

x = 0 or \frac{π}{4} \leq x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} \leq x < π

x = π

x = 0 or \frac{π}{4} \leq x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} \leq x \leq π

x = 0 or \frac{π}{4} \leq x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} \leq x \leq π

Utilizar la periodicidad de

tan (x) - sin (2 x)

\frac{π}{4} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn or \frac{3 π}{4} + πn \leq x \leq π + πn

Ejemplos populares

sqrt(3)tan(x)>1

cos((pix)/2)> 1/2

2sin^2(x)-7sin(x)+3>0

sin(5x-30)<= (sqrt(3))/2

sec(x)<0,csc(x)>0,0<= x<= 2pi