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beweisen (1+sec(x))/(1+cos(x))=sec(x)

Lösung

beweisen

\frac{1 + sec ( x )}{1 + cos ( x )} = sec (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 + sec ( x )}{1 + cos ( x )} = sec (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 + sec ( x )}{1 + cos ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 + sec ( x )}{1 + cos ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1 + \frac{1}{c o s ( x )}}{1 + cos ( x )}

Vereinfache

\frac{1 + \frac{1}{c o s ( x )}}{1 + cos ( x )} : \frac{1}{cos ( x )}

\frac{1 + \frac{1}{c o s ( x )}}{1 + cos ( x )}

Füge

1 + \frac{1}{cos ( x )}

zusammen:

\frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

1 + \frac{1}{cos ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{1}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

= \frac{\frac{c o s ( x ) + 1}{c o s ( x )}}{1 + cos ( x )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x ) ( 1 + cos ( x ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x) + 1

= \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( x )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec (x)

sec (x)

sec (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )} = cot (x) cos (x)

p ro v e 7 cos^{2} (x) + 5 sin^{2} (x) = cos (2 x) + 6

p ro v e 1 + sec^{2} (x) = 2 + tan^{2} (x)

p ro v e 9 (1 + sin (y)) (1 + sin (- y)) = 9 cos^{2} (y)

p ro v e sin (4 5^{\circ}) cot (4 5^{\circ}) = cos (4 5^{\circ})